2017年3月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2351設(shè)a,b,c>0求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

證明所證不等式等價于

等價于

等價于

因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以，只要證明

等價于(a+b+c)(ab+bc+ca)2

≥3abc(a2+b2+c2+ab+bc+ca). (*)

事實上，應(yīng)用2元均值不等式，得

(ab+bc+ca)2

=(ab)2+(bc)2+(ca)2+2abc(a+b+c)

所以 (a+b+c)(ab+bc+ca)2

≥3abc(a+b+c)2

>3abc(a2+b2+c2+ab+bc+ca).

即不等式(*)獲得證明，從而所要證明的不等式成立.

2352設(shè)△ABC的三邊a,b,c上的高分別為ha,hb,hc,外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,求證：

(四川成都金牛西林巷18號華鑫園A601宿曉陽 610031)

證明設(shè)△ABC面積為△，半周長為s,

則由三角形的面積公式

易知證式等價于

(1)

又a2≥a2-(b-c)2=4(s-b)(s-c),

三式相加，即得(1)式.故證式成立.

(江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 陳志欽 335000)

2.充分條件：若EF滿足

則EF過△ABC重心G.

當(dāng)x=2時，命題成立，當(dāng)x≠2時，與已知矛盾，所以EF過△ABC重心G.

2354已知a,b,c是正數(shù)，求證：

(上海市寶山區(qū)寶林六村42號101姜坤崇201999)

證明對于兩個正數(shù)x,y,因為(x-y)2≥0，

所以x(x+y)+4y2≥3y(x+y).

由此得

以上三個不等式相加即得所證不等式.

2355已知正實數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xλ+yλ+zλ，求證：

當(dāng)λ<1時xxyyzz≥1;當(dāng)λ>1時xxyyzz≤1.

(江蘇省常熟市中學(xué) 查正開 215500)

(1)當(dāng)λ<1時，對x∈(0,1)，f′(x)<0，

對x∈(1,+∞)，f′(x)>0，

則函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

則由f(x)≥f(1)=0，

xlnx+ylny+zlnz

所以，當(dāng)λ<1時xxyyzz≥1；

(2)當(dāng)λ>1時，對x∈(0,1)，f′(x)>0，

對x∈(1,+∞)，f′(x)<0，

則函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

則由f(x)≤f(1)=0，

因此，有xlnx+ylny+zlnz

所以當(dāng)λ>1時xxyyzz≤1.

由(1)(2)得原命題成立.

2017年4月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2356設(shè)a,b,c,d>0，且a+b+c+d=4，求證：

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

2357在任意△ABC中，求證：

cot2A+cot2B+cot2C

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟300456)

2358如圖，在△ABC中，∠BAC≠90°，點O是其外心，△OBC的外接圓K分別與邊AB、AC交于P、Q，直線OK交BC、圓K分別于M、D，求證：∠PDA=∠PAM.

(陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

2360n是非負整數(shù)，記Fn=22n+1，這稱為Fermat數(shù). 對于給定的m∈N+，求能整除2m+1的所有不同的Fermat數(shù).

(浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)