李永利

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 467000)

1977年，R.Evans在《美國數(shù)學(xué)月刊》上提出一個未決問題[1]：“求出所有的整數(shù)邊三角形,使它的某個高與底邊之比為整數(shù).”此問題稱為Evans問題，被Richard K.Guy收錄在《數(shù)論中未解決的問題》一書中.文[2]指出這個比不能為1和2，但可以為3，并提出問題：這個比能否為大于3的整數(shù)？

定義1某個高與底邊之比為整數(shù)的整數(shù)邊三角形稱為Evans三角形，并稱三邊長互素的Evans三角形為本原Evans三角形.

定義2Evans三角形中是整數(shù)的高與底邊之比稱為該Evans三角形的Evans比.

約定：a,b,c表示△ABC的三邊長，rc表示c邊上的高hc與c邊長之比.

2000年以來，Evans問題引起國內(nèi)眾多學(xué)者的關(guān)注與探究，得到一些有價值的結(jié)果.最近，張敬坤老師在文[3]中給出Evans三角形的一個充要條件，得到

命題[3]設(shè)n為正整數(shù)，則n是某個Evans三角形的Evans比，當且僅當存在正整數(shù)x,y，使得y2=x2(x+1)2-x(x+1)n2(1)

其三邊長滿足

本文將給出不定方程(1)的三種類型的解，由此可構(gòu)造出三簇新的Evans三角形.為此，先給出函數(shù)f(t)=2t2-1有關(guān)迭代的一個引理.

(3)

證明用數(shù)學(xué)歸納法.

1)當m=1時，

=f2(t)-1

=[f(t)+1]·[f(t)-1]

=2t2·(2t2-2)

=4t2(t2-1)，

=4(t2-1)t2

=4t2(t2-1)，

所以，當m=1時(3)式成立.

2)假設(shè)當m=k(其中k為正整數(shù))時(3)式成立，即

則當m=k+1時，有

=[f(fk(t))+1]·[f(fk(t))-1]

所以，(3)式當m=k+1時也成立.

由1)，2)的證明可知，(3)式對一切正整數(shù)m均成立.引理證畢.

注：顯然f1(t)=f(t)，fm(t)是f(t)的m-1次迭代函數(shù).

例1設(shè)m為正整數(shù)，函數(shù)f(t)=2t2-1，定義fi(t)=f(fi-1(t))，其中i=1,2,…,m，并記f0(t)=t，pk=k2-1，k為大于1的整數(shù)，令

則由引理可知

可驗證n,x,y滿足(1)式，由(2)式可得Evans三角形的三邊長為

(5)

其Evans比為

(6)

例2設(shè)m為正整數(shù)，函數(shù)f(t)=2t2-1，定義fi(t)=f(fi-1(t))，其中i=1,2,…,m，并記f0(t)=t，qk=2k2-1，k為大于1的整數(shù)，令

則由引理可知

可驗證n,x,y滿足(1)式，由(2)式可得Evans三角形的三邊長為

其Evans比為

例3設(shè)m為正整數(shù)，函數(shù)f(t)=2t2-1，定義fi(t)=f(fi-1(t))，其中i=1,2,…,m，并記f0(t)=t，lk=k4-3k2+1，k為大于1的整數(shù)，令

則由引理可知

可驗證n,x,y滿足(1)式，由(2)式可得Evans三角形的三邊長為

其中

其各邊長同除以公因子d，得到與其相似的Evans三角形，其三邊長為

其Evans比為

(12)

注1在例1中，取m=1，可得Evans比為[4]

rc=4k(k2-2)(2k4-4k2+1)的Evans三角形.

注2在例2中，取m=1，可得Evans比為[5][6]

rc=4(k2-1)(2k2-1)(8k4-8k2+1)

的Evans三角形.

注3在例3中，取m=1，可得Evans比為

rc=4k(k2-1)(k2-2)(k2-3)[2(k4-3k2+1)2-1]

的Evans三角形.

注4可以證明，例1和例3中得到的Evans三角形均為本原Evans三角形，例2中得到的Evans三角形當k為偶數(shù)時為本原Evans三角形，證明從略.

Evans三角形的求解問題，歸結(jié)為求三元不定方程(1)的正整數(shù)解問題.本文給出的(4)、(7)、(10)三式 ，分別是不定方程(1)的三簇類型的正整數(shù)解.當正整數(shù)m或k取定值時，由這三簇解可得到無窮多類新的Evans三角形.如何求出不定方程(1)的所有正整數(shù)解，有待進一步探究.