張明鐸 郝長春 莫潤陽 沈壯志

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119)

(收稿日期：2016-04-26)

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剛體與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)關(guān)系的內(nèi)在統(tǒng)一性*

張明鐸 郝長春 莫潤陽 沈壯志

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119)

(收稿日期：2016-04-26)

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)分別遵循牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理，好像互不相關(guān),但這兩個(gè)規(guī)律本質(zhì)上都是描述適用對(duì)象在外因作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與外因量之間的關(guān)系，反映相關(guān)物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程形式上完全一樣．通過對(duì)比分析這些內(nèi)在聯(lián)系，給出了這兩個(gè)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)方程的統(tǒng)一表述．

質(zhì)點(diǎn) 剛體 動(dòng)力學(xué)規(guī)律 動(dòng)量定理 牛頓第二定律 角動(dòng)量定理 轉(zhuǎn)動(dòng)定理

1 引言

質(zhì)點(diǎn)和剛體是分析和研究力學(xué)現(xiàn)象的兩個(gè)非常重要的基本模型，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)是大學(xué)物理教學(xué)的主要內(nèi)容[1～4]．中學(xué)物理涉及的動(dòng)力學(xué)問題絕大多數(shù)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)．與中學(xué)物理相比，大學(xué)物理有關(guān)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的主要差異在于更多的強(qiáng)調(diào)矢量的概念、運(yùn)動(dòng)的多維性和瞬態(tài)性以及微積分的應(yīng)用等．所以，學(xué)生對(duì)于這一部分的學(xué)習(xí)理解相對(duì)容易些．但剛體動(dòng)力學(xué)涉及的概念、定義、定律等，對(duì)學(xué)生來說幾乎是“全新”的問題，大家往往感覺理解困難．本文從動(dòng)力學(xué)的因果關(guān)系入手，結(jié)合剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，運(yùn)用比較的方法，揭示這兩個(gè)力學(xué)模型實(shí)質(zhì)上的“統(tǒng)一性”．

2 兩個(gè)力學(xué)模型的概念與主要研究內(nèi)容

2.1 質(zhì)點(diǎn)的概念與主要內(nèi)容

就所研究的問題而言，當(dāng)物體的大小和形狀可忽略不計(jì)時(shí)，可把物體簡化為理想化的模型——只有質(zhì)量而沒有形狀和大小的幾何點(diǎn)，稱之為質(zhì)點(diǎn)．一個(gè)物體能否看作質(zhì)點(diǎn)，并不取決于其實(shí)際大小，而是由研究問題的性質(zhì)確定．

描述質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)關(guān)系的物理量主要有：位置矢量、位移、速度、加速度、動(dòng)量、動(dòng)能及勢(shì)能等．相關(guān)的主要定律、定理有：牛頓定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能轉(zhuǎn)化與守恒定律等．

質(zhì)點(diǎn)模型主要用于研究物體平動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象．

2.2 剛體的概念與主要內(nèi)容

對(duì)所研究的問題來說，當(dāng)物體在受力時(shí)發(fā)生的形變很小且可忽略不計(jì)時(shí)，可把物體簡化為理想化的模型——在任何情況下其形狀和大小都保持不變的物體，稱之為剛體．一個(gè)物體能否看作剛體，并不取決于其形變的實(shí)際大小，而是由研究問題的性質(zhì)確定．

描述剛體動(dòng)力學(xué)關(guān)系的物理量主要有：角坐標(biāo)、角位移、角速度、角加速度、角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等．相關(guān)的主要定律、定理有：角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定理、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能轉(zhuǎn)化與守恒定律等．

剛體模型主要用于研究物體較復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象．許多情況下，物體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可看作由兩種基本運(yùn)動(dòng)(物體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和物體繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng))疊加而成．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)描述，所以，本文重點(diǎn)探討剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題．

3 兩個(gè)力學(xué)模型的比較

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)是大學(xué)物理力學(xué)部分的主要內(nèi)容，相關(guān)物理量的定義以及它們各自所遵循的規(guī)律，在相關(guān)教材[1～4]中都有詳盡的描述．為便于比較和分析，本文作了簡要總結(jié)，如表1和表2所示．

表1 質(zhì)點(diǎn)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的比較之一

注1：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)一維直線運(yùn)動(dòng)，為了保持表述的連貫性，即使是矢量，表中繼續(xù)沿用中學(xué)物理的表述方法．

注2：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度也是矢量，表中只是給出計(jì)算其大小的公式，其方向的確定方法在大學(xué)物理教材中有詳細(xì)的表述，這里不再贅述．

表2 質(zhì)點(diǎn)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的比較之二

4 兩個(gè)力學(xué)模型的內(nèi)在統(tǒng)一性分析

表面上看，兩個(gè)力學(xué)模型互相獨(dú)立且分別遵循不同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，好像互不相關(guān)，其實(shí)不然．

首先，所有大學(xué)物理教材[1～4]都強(qiáng)調(diào)，處理剛體動(dòng)力學(xué)問題遵循如下原則：

(1)將剛體分成若干微小部分．

(2)將每一微小部分看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)．

(3)將剛體看作是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系．

(4)構(gòu)成剛體的任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離在運(yùn)動(dòng)中恒定不變．

(5)以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)為基礎(chǔ)研究剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，每一質(zhì)點(diǎn)是局部，剛體是全局．

所以，就分析和研究問題的思路而言，這里還是將剛體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)看待，只不過是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系．

其次，物理規(guī)律的定量描述是通過一系列數(shù)學(xué)方程表述的，如表1和表2所示．仔細(xì)分析表中對(duì)相關(guān)量和定理、定律的表述不難發(fā)現(xiàn)，它們描述的物理現(xiàn)象雖然不同，但如果剔除各個(gè)符號(hào)的具體物理意義，其數(shù)學(xué)方程的形式則是一樣的．

例如，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系是用牛頓第二定律表述的，即

其中力F是導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——?jiǎng)恿縫發(fā)生變化的原因，正是由于受到外因(力)的作用，使得質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量發(fā)生了變化，或者說使得質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了加速度a．從式(1)可知，(慣性)質(zhì)量m相同的物體，所受外力越大，其動(dòng)量變化率和加速度越大；受力相同的物體，質(zhì)量越大，其動(dòng)量變化率和加速度越小，即質(zhì)量越大，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不易發(fā)生變化．

又比如，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系是用轉(zhuǎn)動(dòng)定理(角動(dòng)量定理的特例)表述的，即

其中力矩M是導(dǎo)致剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)——角動(dòng)量L發(fā)生變化的原因，正是由于受到外因(力矩)的作用，使得剛體的角動(dòng)量發(fā)生了變化，或者說使得剛體產(chǎn)生了角加速度β．從式(2)可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J相同的物體，所受外力矩越大，其角動(dòng)量變化率和角加速度越大；受力矩相同的物體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，其角動(dòng)量變化率和角加速度越小，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)越不易發(fā)生變化．

綜合上述分析可知，質(zhì)點(diǎn)或剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之所以會(huì)發(fā)生變化，是由于有外因的作用；外因量(力或力矩)越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)量或角動(dòng)量)的變化越大；慣性量(質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不易發(fā)生變化．

據(jù)此，若換一種表述，將質(zhì)點(diǎn)和剛體動(dòng)力學(xué)關(guān)系中物理意義相似的量統(tǒng)一用一個(gè)新的量來表述，如表3所示，則質(zhì)點(diǎn)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系可統(tǒng)一表述為

表3 質(zhì)點(diǎn)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)部分相關(guān)量的統(tǒng)一

質(zhì)點(diǎn)剛體統(tǒng)一量物理量符號(hào)物理量符號(hào)物理量符號(hào)質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J慣性量I速度v角速度ω速度量V加速度a角加速度β加速度量A動(dòng)量p=mv角動(dòng)量L=Jβ運(yùn)動(dòng)量m=IV力F力矩M外因量R

通過類似的變換，當(dāng)然可以得到質(zhì)點(diǎn)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)關(guān)系的統(tǒng)一表述，如表4所示．

表4 質(zhì)點(diǎn)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的統(tǒng)一性表述

續(xù)表

5 結(jié)束語

表面上看，兩個(gè)互相獨(dú)立的力學(xué)模型——質(zhì)點(diǎn)和剛體分別遵循不同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，好像互不相關(guān),但就其本質(zhì)上而言，牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理所描述的都是在外因作用下，適用對(duì)象運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與外因量之間的關(guān)系，反映相關(guān)物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程形式上是完全一樣的．本文通過對(duì)比分析這些內(nèi)在聯(lián)系，給出了這兩個(gè)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)關(guān)系的統(tǒng)一表述．本文結(jié)論對(duì)于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和理解剛體力學(xué)相關(guān)內(nèi)容有很大的幫助．

致謝:真誠感謝陜西師范大學(xué)吳勝舉、盧永智、李永放、陳玲、王元、醋燕妮等老師對(duì)本文工作的支持與幫助．

1 程守洙，江之永．普通物理學(xué)(第1冊(cè))(第4版)．北京: 人民教育出版社，1982．6～143

2 馬文蔚．物理學(xué)(上冊(cè))(第5版)．北京：高等教育出版社，2006．1～136

3 范中和．大學(xué)物理學(xué)(上冊(cè))(第2版)．西安: 陜西師范大學(xué)出版社，2008．14～141

4 彭志華，付茂林．大學(xué)物理(上冊(cè))(第2版)．武漢: 華中科技大學(xué)出版社，2009．7～75

The Inherent Uniformity of the Dynamic Relationship of Rigid Body and Mass Point

Zhang Mingduo Hao Changchun Mo Runyang Shen Zhuangzhi

(College of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University, Xi′an,Shaanxi 710119)

Mass point dynamics and rigid body dynamics of the axial rotation follow Newton′s second law and rotation theorem respectively, as if they are not correlate to each other. But all the two laws are essentially to describe the relationship between the change of the moving state of an applicable object and the external paramerters when external factors act on the object. And, the forms of the mathematical equations reflecting the relationship between the relevant physical quantities are exactly the same. By comparativing and analyzing the internal relationships, this paper gives the unitive expression of the dynamic equation of the two mechanic models.

mass point; rigid body; dynamic law; theorem of momentum; Newton′s second law; theorem of angular momentum; rotation theorem

*陜西師范大學(xué)2016年度校級(jí)綜合教學(xué)改革項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：16JG23

張明鐸(1963- )，男，副研究員，主要從事聲學(xué)及大學(xué)物理的教學(xué)和科研工作.