林正喆，陳 熙

(西安電子科技大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

通常在量子力學(xué)教科書中對自旋角動量的規(guī)范的說法是：自旋角動量是量子力學(xué)中的一個新的自由度，沒有經(jīng)典對應(yīng)[1-6]. 把自旋歸結(jié)為經(jīng)典的轉(zhuǎn)動是不合適的.實(shí)際上，經(jīng)典力學(xué)中存在軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量的概念. 對具有幾何形狀的物體的空間運(yùn)動，軌道角動量指的是其質(zhì)心運(yùn)動的角動量，自轉(zhuǎn)角動量指的是其繞自身質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角動量.我們有必要在經(jīng)典力學(xué)中建立兩種角動量的嚴(yán)格理論，并對一些實(shí)際的體系進(jìn)行研究.本文試圖闡述經(jīng)典力學(xué)中的軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量的嚴(yán)格理論框架，并通過一些例子總結(jié)出完善的經(jīng)典力學(xué)角動量理論.

1 經(jīng)典力學(xué)中的軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量

在力學(xué)中，先對單個質(zhì)點(diǎn)的角動量進(jìn)行定義，而后給出質(zhì)點(diǎn)系的總角動量.在慣性系中，質(zhì)點(diǎn)系相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O的總角動量為

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其中第1項(xiàng)表示系統(tǒng)質(zhì)心繞坐標(biāo)原點(diǎn)運(yùn)動的角動量，稱作軌道角動量.第2項(xiàng)為系統(tǒng)內(nèi)各個質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心的角動量之和，與系統(tǒng)繞其質(zhì)心的運(yùn)動有關(guān)，稱為自轉(zhuǎn)角動量.該式對慣性系中任意質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動成立，可應(yīng)用于剛體力學(xué).該式給出了與量子力學(xué)中角動量類似的形式，將總角動量分解為軌道角動量與自轉(zhuǎn)角動量的和.

圖1 質(zhì)點(diǎn)的位置和速度相對于質(zhì)心坐標(biāo)系的分解

2 總角動量分解的應(yīng)用意義

對剛體的一般運(yùn)動，通過將體系的運(yùn)動分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分進(jìn)行分析.設(shè)第i個質(zhì)點(diǎn)受到的合外力為Fi，按質(zhì)心運(yùn)動定理有

(4)

對系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，按質(zhì)心系角動量定理有

(5)

對于剛體，將式(5)中的繞質(zhì)心角動量用轉(zhuǎn)動慣量張量和角速度矢量表達(dá)之后，這兩個式子構(gòu)成可完備求解的方程組.對系統(tǒng)的總角動量式(3)運(yùn)用角動量定理則有

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3 軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量在力學(xué)問題中的應(yīng)用

3.1 重對稱陀螺的運(yùn)動

下面利用軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量的概念，建立對重對稱陀螺運(yùn)動的一種描述方法.如圖2所示，質(zhì)量為m，O點(diǎn)與地面相接觸的重對稱陀螺.C為其質(zhì)心.以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)心位置為rC.陀螺以角速度ω繞其對稱軸自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)軸與z軸夾角為θ.陀螺繞z軸進(jìn)動的角速度為Ω.

圖2 重對稱陀螺

為了描述角動量，在陀螺質(zhì)心C上建立χ-ζ坐標(biāo)系(圖2).其中ζ沿陀螺對稱軸方向.陀螺質(zhì)心C繞O點(diǎn)的軌道角動量為

(7)

陀螺的自轉(zhuǎn)為兩種轉(zhuǎn)動的合成，其一是自身以角速度ω繞ζ軸的旋轉(zhuǎn)，其二是進(jìn)動引起的以角速度Ω繞z軸的旋轉(zhuǎn).由于對稱性，χ、ζ軸為陀螺的慣性主軸.陀螺的自轉(zhuǎn)角動量為

Ls=Iζ(ω+Ωcosθ)eζ+IχΩsinθeχ

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總角動量L=Lo+Ls的水平分量(沿x軸)為

Lx=Iζ(ω+Ωcosθ)sinθ-

(9)

重力對O點(diǎn)力矩為mgrCsinθ.若陀螺處在穩(wěn)定的(無章動)進(jìn)動狀態(tài)，則根據(jù)角動量定理mgrCsinθ=ΩLx得

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式(10)的解為無章動進(jìn)動Ω所需滿足的條件.若Ω小于該方程的解，則陀螺自轉(zhuǎn)軸向下運(yùn)動以補(bǔ)償不足的角動量變化率dL/dt，同時Lx增大.Lx增大到一定程度以后將遏制陀螺自轉(zhuǎn)軸的向下運(yùn)動，并反過來朝上運(yùn)動.此過程反復(fù)，形成章動.

通過重對稱陀螺模型，可使學(xué)生深入理解經(jīng)典力學(xué)中的軌道角動量與自轉(zhuǎn)角動量概念.在日后學(xué)習(xí)量子力學(xué)時，學(xué)生將經(jīng)典力學(xué)的自轉(zhuǎn)角動量和量子力學(xué)中的自旋角動量概念相互比較，認(rèn)識其異同.在經(jīng)典力學(xué)中建立軌道角動量與自轉(zhuǎn)角動量概念，使其理論構(gòu)架更加完善，并使學(xué)生對角動量建立全面的認(rèn)識.

3.2 兩個邊緣相接觸的轉(zhuǎn)盤

如圖3所示，將兩個正在旋轉(zhuǎn)的、半徑分別為R和r旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)盤邊緣相互接觸，二者發(fā)生摩擦，在經(jīng)過一段時間后達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài).設(shè)二者均為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別為M和m，初始角速度為Ω0和ω0，不計(jì)兩個輪軸的摩擦，計(jì)算達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài)后二者的角速度.

圖3 兩個邊緣相互接觸的轉(zhuǎn)盤

(11)

(12)

(13)

可根據(jù)式(11)驗(yàn)證式(13)成立.雖然式(13)不足以用來求解體系運(yùn)動過程，但通過以上討論可加深對力學(xué)中角動量原理的理解.

3.3 平行軸定理

剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理也是與總角動量分解相關(guān)聯(lián)的一個例子.如圖4所示，一個質(zhì)量為m、繞O軸旋轉(zhuǎn)角速度為ω的剛體，設(shè)C為其質(zhì)心、OC兩軸距離為d，則剛體繞O軸的總角動量可分解為

L=mωd2+ICω

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其中第1項(xiàng)為質(zhì)心繞O軸的軌道角動量，第2項(xiàng)為剛體繞其質(zhì)心的自轉(zhuǎn)角動量，IC為繞C軸的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)L=Iω，則可得剛體繞O軸的轉(zhuǎn)動慣量為

I=IC+md2

(15)

即平行軸定理.由此可看到，總角動量的分解自然地與平行軸定理相自洽.

圖4 繞O軸旋轉(zhuǎn)的剛體，C為其質(zhì)心

4 結(jié)論

軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量的概念可從經(jīng)典力學(xué)中得到.事實(shí)上，在人們建立量子力學(xué)自旋概念的過程中，借助了經(jīng)典的自轉(zhuǎn)角動量概念.角動量作為力學(xué)中的重要概念，有必要對其進(jìn)行深入的理論闡述.本文建立了經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系的軌道角動量和自轉(zhuǎn)角動量的概念，使經(jīng)典力學(xué)的理論體系更加完備.