李建軍，張振東

(北京工業(yè)大學(xué) 電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,北京 100124)

布里淵區(qū)(BZ，Brillouin Zone)是固體物理學(xué)中的一個(gè)非常重要的概念，在晶格振動及能帶論等與波相關(guān)的章節(jié)都有涉及[1,2]. BZ定義為波矢空間的點(diǎn)的集合，三維情況下，BZ是由倒格矢的垂直平分面圍成的區(qū)域. 根據(jù)從原點(diǎn)到各布里淵區(qū)需穿越垂直平分面的數(shù)目，劃分為第一BZ(不穿過任何垂直平分面)，第二BZ(穿過1個(gè)垂直平分面)，以及第N個(gè)BZ(穿過N-1個(gè)垂直平分面)[3]. 不論是能帶論中的E-k關(guān)系，還是晶格振動中ω-q關(guān)系，都具有關(guān)于倒格矢的平移對稱性，因此可以通過平移將E-k或ω-q關(guān)系約化在第一BZ內(nèi)表示，因此第一BZ也叫簡約布里淵區(qū)，通常所說的BZ一般是指簡約布里淵區(qū).

BZ的一個(gè)重要性質(zhì)是所有BZ的體積都相等，且等于倒格子原胞的體積[4]. 對于不同的晶體結(jié)構(gòu)，由于倒格子形式不同，因此簡約BZ的形狀也不同. 當(dāng)前，為了具體計(jì)算簡約BZ區(qū)的體積以體現(xiàn)其等于倒格子原胞的體積，需要針對不同的簡約BZ形狀采用不同的方法求解其體積，即使是求解同一種BZ的體積，也有不同的方法[5-8]. 這就增加了本知識點(diǎn)的教和學(xué)的難度. 據(jù)此，本文根據(jù)簡約BZ的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出一種可求解各種形狀BZ體積的普適方法，此方法簡單且易于掌握.

1 簡約BZ體積的求解

簡約BZ是由距k空間原點(diǎn)Γ最近或次近的倒格點(diǎn)的連線的垂直平分面圍成的凸多面體，因此Γ點(diǎn)位于該多面體內(nèi)部. 設(shè)凸表平面的數(shù)目為N，從Γ點(diǎn)到多面體的各頂點(diǎn)做連線，則凸多面體被劃分成為N個(gè)以Γ為頂點(diǎn)的棱錐，簡約BZ的體積V便是這N個(gè)棱錐體積的和，即

(1)

(2)

圖1 面心立方簡約布里淵區(qū)的體積的求解

(3)

式(3)中，利用了兩個(gè)矢量叉乘的模等于其圍建的平行四邊形的面積這一性質(zhì)，將式(3)代入式(2)，得

(4)

(5)

將式(5)代入式(1)，即得到求解BZ體積的普適公式為

(6)

由式(6)可見，不論是哪種形式的布里淵區(qū)，只要確定出其表面各頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及與各表面相對應(yīng)的倒格矢，即可求得其體積.

歸納用式(6)求解BZ體積的具體過程如下：① 從原點(diǎn)Γ向有N個(gè)表平面的BZ的各頂點(diǎn)做直線，以各直線為棱邊將BZ劃分為以Γ為共同頂點(diǎn)的N個(gè)棱錐體；② 寫出以各棱錐底面為垂直平分面的倒格矢Gn；③ 寫出棱錐底面各頂點(diǎn)的坐標(biāo)An,m；④ 由式(5)求各棱錐的體積；⑤ 由式(6)對各棱錐的體積求和得到BZ的體積.

2 應(yīng)用實(shí)例

下面首先以面心立方正格子為例，給出應(yīng)用實(shí)例. 對于面心立方的正格子，其固體物理學(xué)原胞的基矢為

(7)

其中，a是晶格常量，i、j、k是直角坐標(biāo)系3個(gè)方向的單位矢量. 根據(jù)正、倒格子基矢間的關(guān)系，求得倒格子基矢為

(8)

面心立方的簡約BZ是由體心立方8個(gè)頂角的最近鄰倒格矢及6個(gè)次近鄰倒格矢的垂直平分面圍成的14面體，如圖1(a)所示.14個(gè)面中的8個(gè)面是正六邊形，6個(gè)面是正四邊形.從原點(diǎn)Γ向各面的頂點(diǎn)引直線作為棱邊，由于簡約BZ的對稱性，簡約BZ被劃分為8個(gè)體積相同的正六棱錐和6個(gè)體積相同的正四棱錐.

(9)

最后，把8個(gè)六棱錐與6個(gè)四棱錐的體積求和，得簡約BZ的體積為4(2π/a)3，與前述倒格子原胞的體積相等.

對于正格子為體心立方的晶體結(jié)構(gòu)，其固體物理學(xué)原胞的基矢為

(10)

根據(jù)正、倒格子基矢間的關(guān)系，求得體心立方的倒格子基矢為

(11)

(12)

圖2 體心立方簡約布里淵區(qū)體積的求解

3 結(jié)語

為求解BZ的體積，可將其離散為以原點(diǎn)Γ為共同頂點(diǎn)的N個(gè)棱錐體來求解. 此方法簡單直觀、易于掌握，且適于求解任意晶體結(jié)構(gòu)的BZ區(qū)體積. 布里淵區(qū)是固體物理學(xué)的一個(gè)重要概念，本文提出的BZ體積的求解方法對該知識點(diǎn)的教與學(xué)提供了有益的手段.