周 健，馬瑛晗，毛英臣

(遼寧師范大學 物理與電子技術學院,遼寧 大連 116029)

拉梅(G. Lamé)系數(shù)，又被稱為度規(guī)元，反映了在任意點P處沿坐標(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標增量的比值，在數(shù)學與物理中有重要的應用.如沈孝明利用拉梅系數(shù)給出了動力學方程的一種新形式[1]，張春雷等利用拉梅系數(shù)給出了正交曲線坐標系中加速度的矢量求法[2]，謝樹藝利用拉梅系數(shù)給出了梯度、散度、旋度與調(diào)和量的表達式[3], 上述工作僅對拉梅系數(shù)在某一知識點的應用進行了介紹.本文對拉梅系數(shù)在力學方面的應用做了系統(tǒng)梳理，為方便讀者理解、記憶給出了對應物理量的一般表達式，并結合具體事例介紹了其在運動學和分析力學里的應用．

1 拉梅系數(shù)

在空間中任意一點，如果3個坐標曲線都互相正交，并且3個坐標曲面也互相正交，則稱這樣的坐標系為正交曲線坐標系．若空間某一點P的坐標為(q1,q2,q3)，位矢為r，則位矢r的增量為

(1)

(2)

(3)

由式(3)可知，拉梅系數(shù)反映了任意點P沿(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標增量的比值．

圖1 球坐標示意圖

如圖1所示，可通過對球坐標系中拉梅系數(shù)的計算來加深對其定義的理解．在點P沿(r,θ,φ)方向的長度增量分別為

dlr=dr， dlθ=rdθ， dlφ=rsinθdφ

根據(jù)定義很容易得到球坐標系中拉梅系數(shù)為

(4)

同理，易求得其他坐標系中的拉梅系數(shù)，如表1第2列所示．

2 拉梅系數(shù)在運動學中的應用

2.1 弧長、面元和體元

(5)

進一步，利用上式可以將弧長表示為

(6)

曲線的弧長微元ds在坐標軸上的投影為dsi，通常取弧長增大的方向與對應的曲線增大時坐標曲線的走向一致，這樣dsi與dqi就有相同的正負號，從而有

dsi=hidqi

(7)

由此可將面元和體元分別表示為

dSij=dsidsj=hihjdqidqj， (i≠j)

(8)

dV=hihjhkdqidqjdqk， (i≠j≠k)

(9)

2.2 速度

設點P處位矢r可表示為曲線坐標的函數(shù)r=r(q1,q2,q3)，其中q是時間t的函數(shù)，故點P處的速度可表示為

(10)

利用式(3)可將點P處的速度表示為如下形式：

(11)

式(11)給出的速度是正交曲線坐標系中的一般形式，實際問題中最常用的直角坐標系、極坐標系、柱坐標系以及球坐標系都可看作正交曲線坐標系的特殊情況．為表述方便，可將正交單位向量基用ei(α)(下標標注對應不同的坐標參量)表示．下面以極坐標系為例，來看一下點P處速度的具體表達式．

極坐標系下的位矢r=rer，從表1可知其拉梅系數(shù)為hr=1、hθ=r，將其代入式(11)可以得到在點P處的速度為

(12)

所得結果即大家所熟悉的形式．

為方便理解和記憶，筆者在表1中列出了不同坐標系中點P的拉梅系數(shù)、位移dr、體元和速度．

表1 不同坐標系中點P的拉梅系數(shù)、位移dr、體元和速度

3 拉梅系數(shù)在分析力學中的應用

3.1 廣義力

分析力學是對經(jīng)典力學的高度數(shù)學化的表達[5]，它通過用廣義坐標來描述質(zhì)點系．對受穩(wěn)定、理想約束的體系，一般將廣義力定義為

(13)

其中qα為廣義坐標，將不同坐標系的拉梅系數(shù)代入公式(13)，可得極坐標系中廣義力為

Qr=Fr

Qθ=rFθ

以及球坐標系中廣義力為

Qr=Fr

Qθ=rFθ

Qφ=rsinθFφ

其他坐標系中的廣義力被展示在表2中，通過對比表2的第2列，利用拉梅系數(shù)可將廣義力表示為

(14)

顯然廣義力Qα是主動力Fi在其坐標方向的投影與相應拉梅系數(shù)乘積的代數(shù)和．結合虛功的定義和式(14)，我們可以得到廣義坐標下虛功的表達式為

(15)

下面，可通過對質(zhì)點在球坐標系中運動方程[6]的求解過程來理解應用拉梅系數(shù)的便捷性．

將球坐標系中的拉梅系數(shù)hr=1、hθ=r、hφ=rsinθ代入式(6)可得

(ds)2=(dr)2+r2(dθ)2+r2sin2θ(dφ)2

故質(zhì)點的速度可表示為

進而可得質(zhì)點的動能為

將質(zhì)點動能和廣義力代入基本形式的拉氏方程,有

整理可得質(zhì)點在球坐標系下的運動方程為

這里需要指出的是，在求解質(zhì)點速度時，還可直接應用式(11)，這樣計算更加簡潔．從上述分析中可以看出，應用拉梅系數(shù)可串聯(lián)對線元、速度和廣義力的求解，從而利于對這些知識的整合理解．

3.2 哈密頓量

對于穩(wěn)定的保守系統(tǒng)，哈密頓量H等于系統(tǒng)的總機械能，即哈密頓量H=T+V.H的物理意義是代表廣義能量，它是用正則坐標和正則動量表示的函數(shù)，而利用拉梅系數(shù)hα可將廣義動能表示為

(16)

因此利用拉梅系數(shù)可將系統(tǒng)的哈密頓量表示為

(17)

一般地，勢能是已知項，利用帶有拉梅系數(shù)的廣義動能函數(shù)很容易求出體系的哈密頓量．例如在求解平面開普勒問題的哈密頓量時，我們可以直接由極坐標系下的動能函數(shù)求得系統(tǒng)的哈密頓量[7]．

取極坐標r、θ為廣義坐標，則勢能為

其中κ為比例系數(shù).將極坐標系的拉梅系數(shù)hr=1、hθ=r代入式(16)，可得

故開普勒問題的哈密頓量為

由此我們發(fā)現(xiàn)，可不用求解體系的拉格朗日量，便可利用拉梅系數(shù)直接寫出體系的動能函數(shù)，從而得到哈密頓量，簡化了運算過程．表2展示了利用拉梅系數(shù)表示的廣義力、虛功和動能函數(shù)的一般表達式．實際上，也可通過坐標變換關系得到用廣義坐標、廣義速度表示的力和動能等物理量．結合表1和表2可以看出，利用拉梅系數(shù)，我們可以把運動學和分析力學串聯(lián)起來，從而很容易得出力學量的一般表達式，有利于對相關知識的串聯(lián)整合．

4 小結

本文首先介紹了拉梅系數(shù)的定義，然后以球坐標系為例，求解了該坐標系的拉梅系數(shù)，進而系統(tǒng)分析了拉梅系數(shù)在求解面元、體元、位移以及速度中的應用．為充分理解拉梅系數(shù)的使用范圍，我們通過兩個具體問題討論了拉梅系數(shù)在表示廣義力、虛功和哈密頓量中的應用．通過分析，我們可知拉梅系數(shù)揭示了一類物理問題的數(shù)學基礎，利用該量可簡化對這類問題的理解．此外，利用拉梅系數(shù)表示力學量的過程可以增強對力學中相關知識的整合與梳理．

表2 利用拉梅系數(shù)表示的廣義力、虛功和動能函數(shù)