吳 超 王海艷

宜春學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 江西宜春 336000

J-C模型是量子光學(xué)發(fā)展的基本模型，已經(jīng)有近50年歷史，正是J-C模型的建立，才讓物質(zhì)與光場(chǎng)相互作用的研究越來(lái)越清晰。它主要描述的是限制在光學(xué)腔中的單個(gè)電磁模和一個(gè)兩能級(jí)原子的相互作用，能量則在場(chǎng)和原子間相互交換，從而可以直接導(dǎo)致相干布居振蕩以及疊加態(tài)的產(chǎn)生。由于J-C模型精確可解，相關(guān)物理問題就研究更為透徹，比如研究量子糾纏、量子邏輯門、光力等問題。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)而言，多能級(jí)原子與多模電磁場(chǎng)的相互作用研究顯得更為重要，而將這些復(fù)雜系統(tǒng)的哈密頓量簡(jiǎn)化成J-C模型則是一項(xiàng)很重要的理論工作。

下文總結(jié)了物質(zhì)與光相互作用系統(tǒng)的幾種哈密頓量，并求解了其中一種較為復(fù)雜實(shí)際系統(tǒng)的有效哈密頓量，也概述了一些復(fù)雜實(shí)際系統(tǒng)是如何簡(jiǎn)化成J-C模型的有效哈密頓量。這對(duì)從事理論量子光學(xué)研究有一定參考價(jià)值[1-3]。

1 一個(gè)兩能級(jí)原子與一個(gè)外加經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)相互作用的哈密頓量

(1)

2 一個(gè)兩能級(jí)原子與一個(gè)外加量子場(chǎng)相互作用的哈密頓量

(2)

3 一個(gè)三能級(jí)原子與兩個(gè)外加經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)相互作用的哈密頓量

根據(jù)理論量子光學(xué)理論，第一、第二和第三能級(jí)的頻率為ω1、ω2、ω3，與第一個(gè)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)(頻率為μ1)有關(guān)的拉比頻率為Ω1，與第二個(gè)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)(頻率為μ2)有關(guān)的拉比頻率為Ω2，能夠得到它的哈密頓量為：

H=?ω1|1〉〈1|+?ω2|2〉〈2|+?ω3|3〉〈3|+?Ω1[|1〉〈2|e-iμ1t+|2〉〈1|eiμ1t]+?Ω2[|2〉〈3|e-iμ2t+|3〉〈2|eiμ2t]

(3)

4 一個(gè)兩能級(jí)原子與一個(gè)外加經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)，兩個(gè)外加量子場(chǎng)的相互作用的哈密頓量

(4)

現(xiàn)在我們將這一復(fù)雜系統(tǒng)的哈密頓量進(jìn)行推導(dǎo)，導(dǎo)出具有類J-C模型的有效哈密頓量。

首先我們將上式的哈密頓量分解成兩部分：

(5)

σ+=|e〉〈g|=cosθsinθπz+cos2θπ+-sin2θπ,σ=|g〉〈e|=cosθsinθπz-sinθπ++cos2θπ

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

我們也可以得到以上類J-C模型的哈密頓量。

5 幾種復(fù)雜實(shí)際系統(tǒng)簡(jiǎn)化后的J-C模型的哈密頓量

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

很明顯，(12)、(13)、(14)、(15)式也是類J-C模型。

Case2：一個(gè)三能級(jí)原子與雙模量子場(chǎng)相互作用，這雙模量子場(chǎng)分別為一個(gè)為泵浦場(chǎng)，一個(gè)為斯托克斯模，|1〉，|2〉，|3〉分別代表原子的三個(gè)能級(jí)，該復(fù)雜系統(tǒng)總哈密頓量為[5]：

(16)

經(jīng)過(guò)幺正變化得到有效哈密頓量為：

(17)

Case3：一個(gè)三能級(jí)原子與雙模量子腔場(chǎng)相互作用，|1〉、|2〉、|3〉分別代表原子的三個(gè)能級(jí)，任何高能級(jí)與最低能級(jí)的躍遷由兩個(gè)經(jīng)典場(chǎng)Ω1和Ω2來(lái)驅(qū)動(dòng)，失諧量為Δ，；兩個(gè)量子腔模g1，g2分別耦合在能級(jí)|3〉?|2〉和|3〉?|1〉之間，失諧量為Δ。該復(fù)雜系統(tǒng)總哈密頓量為[6]：

(18)

(19)

(20)

(21)

結(jié)語(yǔ)

在物質(zhì)與光相互作用的研究中，由于模型變得越來(lái)越復(fù)雜，經(jīng)常用到單個(gè)二能級(jí)原子或者多個(gè)二能級(jí)原子，有時(shí)又用到單個(gè)三能級(jí)原子或多個(gè)三能級(jí)原子，有時(shí)又研究N原子樣本，甚至要考慮用經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)原子躍遷。躍遷過(guò)程中有時(shí)是共振狀態(tài)，有時(shí)又是失諧狀態(tài)，嚴(yán)格點(diǎn)還考慮馬爾可夫效應(yīng)。所以初始的系統(tǒng)哈密頓量極其復(fù)雜，這就使得獲得系統(tǒng)的有效哈密頓量變得很重要。本文給出了一點(diǎn)數(shù)學(xué)技巧和有效哈密頓量總結(jié)，這對(duì)更復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化成類似J-C模型的哈密頓量有參考價(jià)值。