周薇 李德華
摘要:本文用系綜理論證明了能量均分定理,說明能量均分定理對于互作用粒子系統(tǒng)也是正確的。進(jìn)一步澄清了能量均分定理中自由度的含義。
關(guān)鍵詞:能量均分定理;自由度;系綜理論;哈密頓量
中圖分類號(hào):G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2018)42-0195-02
在大學(xué)物理或熱學(xué)課程中,能量均分定理是一項(xiàng)非常重要的教學(xué)內(nèi)容,且有廣泛的應(yīng)用,因此,對能量均分定理的正確闡釋和嚴(yán)格證明有著十分重要的意義。
一、常見的兩種表述及證明方法
一般教材和文獻(xiàn)中有兩種常見的表述[1],其一:在溫度為T的平衡狀態(tài)下,分子的每一個(gè)自由度都具有kT的平均能量(也有表述為平均動(dòng)能)。另一種表述為:處在溫度為T的平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng),粒子能量中每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值均為kT。對比這兩種表述很容易產(chǎn)生一個(gè)誤解,即粒子能量中每一個(gè)平方項(xiàng)對應(yīng)一個(gè)自由度,而經(jīng)典力學(xué)中的自由度定義為確定一個(gè)物體的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù),這個(gè)數(shù)目一般與粒子能量平方項(xiàng)數(shù)并不一致。這個(gè)問題往往成為理解能量均分定理的困擾。
現(xiàn)有的教材及文獻(xiàn)[2-4]中對能量均分定理的證明,多采用針對近獨(dú)立粒子系統(tǒng)的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論, 然而能量均分定理對于有相互作用的粒子系統(tǒng)亦是成立的,因此更嚴(yán)格更廣泛的證明應(yīng)該采用適用于粒子之間存在相互作用的系綜理論來進(jìn)行。
二、系綜理論證明能量均分定理
設(shè)N個(gè)自由度為r的互作用粒子組成的系統(tǒng)的哈密頓量為H(q,p),如果把所有的相空間坐標(biāo)q,p用x替代,x應(yīng)包括所有動(dòng)量與坐標(biāo)(i=1,2…,2rN)。下面先計(jì)算x的平均值,其中x和x為任意兩個(gè)坐標(biāo)或動(dòng)量
=xρ(x)dx (1)
這里沒有考慮全同粒子的不可分辨性,但不影響證明結(jié)果。采用微正則系綜,則
ρ(x)= E≤H(x)≤E+ΔE 0 H(x)≤E, H(x)≥E+ΔE (2)
式(2)中Ω是厚度為ΔE的能量層內(nèi)的狀態(tài)總數(shù)。將式(2)代入式(1),并考慮到E是定值,=0,所以
=xdx
=xdx
=ΔExdx (3)
=ΔEx(H-E)?搖dx
-(H-E)dx
式(3)中最后一步用了分部積分,其中第一項(xiàng)對除了x的2Nr-1個(gè)變量積分。x取極值,相應(yīng)的點(diǎn)在能量曲面上,因此H=E,第一項(xiàng)為零。令λ=,則
=-ΔE(H-E)dx (4)
利用數(shù)學(xué)公式
Fα,xdx=dx
+Fα,gα?搖?搖-Fα,fα?搖?搖
可以得到
=-ΔE(-1)dx
=λΣ (5)
式(5)中Σ是能量曲面內(nèi)的狀態(tài)總數(shù),那么厚度為ΔE的能量層內(nèi)的狀態(tài)數(shù)Ω=ΔE,所以
=λ=
再利用玻爾茲曼關(guān)系S=klnΣ,可得
=k=λkT (6)
式中λ=只有當(dāng)i=j時(shí)等于1,其余為零。
下面的討論用到哈密頓正則方程
=-,= (7)
若x為坐標(biāo)q,則
=-=-=kT (8)
若x為坐標(biāo)p,則
==kT (9)
式(9)中p正是某一運(yùn)動(dòng)方向的動(dòng)能的兩倍(比如mυ),對于三維運(yùn)動(dòng)粒子平均動(dòng)能為
=kT (10)
現(xiàn)在來分析式(8)的意義,對于三維運(yùn)動(dòng)粒子,此式可以改寫為
-=3kT (11)
假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)粒子的相互作用勢能ε∝r,將力表達(dá)為勢能梯度,則得到
-===α=3kT (12)
若α=2,即對于平方形式的勢能有
=kT (13)
式(10)和式(13)說明平均動(dòng)能和平均勢能具有相同的大小,且對每一方向都有kT。
哈密頓量如果只包括平方項(xiàng)可以表示為
H=ap+bq (14)
利用全微分可得
dH=(2aipidpi+2biqidqi)
=dp+dq
可以看出
=2aipi,=2biqi (15)
將式(15)代入式(14)得
H=p+q (16)
所以
==fkT (17)
式中f表示哈密頓量中平方項(xiàng)的數(shù)目,如式(16)中f=2Nr。這說明哈密頓量中每一個(gè)平方項(xiàng)的平均能量為kT。
用正則系綜理論同樣可以證明上述結(jié)論。
三、總結(jié)
在系綜理論中,不存在獨(dú)立粒子,由N個(gè)坐標(biāo)為 r的粒子組成的系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由Nr個(gè)廣義坐標(biāo)和Nr個(gè)廣義動(dòng)量確定,決定一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所需的獨(dú)立變數(shù)為2Nr,如果把這個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的總數(shù)稱為自由度數(shù),這樣定義的自由度的數(shù)量與獨(dú)立的平方項(xiàng)數(shù)量是一致的。這在一定程度上澄清了能量均分定理兩種表述的關(guān)系,明確了自由度的各種含義。當(dāng)然文中所指能量均分定理只針對動(dòng)能和勢能均為平方項(xiàng)能量的特殊情況。對于非平方相,需要用廣義能量均分定理來求解。
參考文獻(xiàn):
[1]徐勞立.關(guān)于能量均分定理的討論[J].物理與工程,2005,15(6):61-62.
[2]汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理[M].第二版.北京:高等教育出版社,1993:244-246.
[3]朱曙華.關(guān)于能量均分[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,16(2):37-40.
[4]翁甲強(qiáng).能量均分定理證明的探討[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998,16(3):6-9.