王懷玉
(清華大學(xué) 物理系, 北京 100084)
在文獻(xiàn)[1]中,給出了量子體系的相空間規(guī)范變換。就是對(duì)于坐標(biāo)和動(dòng)量做一個(gè)尺度變換,尺度變換因子α>0,而體系的能量譜保持不變。因此這個(gè)變換的特點(diǎn)是保能量的。該規(guī)范變換是適用于薛定諤方程的。也就是在低動(dòng)量運(yùn)動(dòng)時(shí)的規(guī)范變換。
本文將相空間規(guī)范變換推廣到狹義相對(duì)論的情形。我們發(fā)現(xiàn),在狹義相對(duì)論的情況,為了繼續(xù)保能量,光速常數(shù)需要做一個(gè)與坐標(biāo)一樣的尺度變換。
在文獻(xiàn)[1]中,當(dāng)一個(gè)粒子服從量子力學(xué)的薛定諤方程
(1)
可以對(duì)于坐標(biāo)和動(dòng)量做如下的尺度變換,
r→r/α=r′,p→pα=p′
(2)
我們此處用黑斜體表示矢量。它們可以是一維、二維和三維空間中的量。做了這樣的變換后,只要哈密頓量中的參量做相應(yīng)的尺度變換,則哈密頓量的形式保持不變。相應(yīng)地,能量本征值譜保持不變。所以說,這樣的變換是保能量譜的。
文獻(xiàn)[1]給出了兩個(gè)典型的粒子體系。一個(gè)是簡(jiǎn)諧振子模型,其哈密頓量是
(3)
注意,其中勢(shì)能項(xiàng)已經(jīng)按照文獻(xiàn)[1]那樣,寫成一個(gè)彈性系數(shù)k的形式。對(duì)此哈密頓量做式(2)的尺度變換,相當(dāng)于質(zhì)量和彈性系數(shù)做如下的變換,
m→mα2=m′,k→kα2=k′
(4)
哈密頓量(3)式就成為
(5)
可見,式(3)哈密頓量的形式保持不變。因而,本征波函數(shù)和本征值的形式也保持不變。由于頻率ω并未變化,說明能譜也沒有變化。因此,這個(gè)變換是保能量的。
另一個(gè)例子是氫原子勢(shì)。哈密頓量為
(6)
除了做(2)的變換,同時(shí)令
e2→e2/α=e′2
(7)
那么,哈密頓量(6)就成為
(8)
哈密頓量的形式就保持不變。由于本征能量的表達(dá)式中含有因子me4,因此也是保能量的。
我們現(xiàn)在要把式(2)的這種尺度變換推廣到狹義相對(duì)論的情況。
在狹義相對(duì)論中,時(shí)空坐標(biāo)構(gòu)成四維矢量。不同慣性參照系的四維矢量之間是通過洛倫茲變換相聯(lián)系的。本文所涉及的是兩個(gè)基本的四維量:時(shí)空坐標(biāo)和四維能量-動(dòng)量。
x=(r,ict),p=(p,iE/c)
(9)
首先想到的是,四維量如三維量一樣,按照式(2)做尺度變換。即對(duì)式(2)添加時(shí)間和能量分量即可。經(jīng)過嘗試,我們發(fā)現(xiàn)不是這樣的。
現(xiàn)在我們把相對(duì)論量子力學(xué)方程寫下來。它們是自旋為0的克萊因-高登方程
(10)
和自旋為1/2的狄拉克方程。
(11)
先考慮自由粒子的情況,即在上兩式中,令勢(shì)能V=0.我們立即可以看到,除了做式(2)的尺度變換之外,還要對(duì)于光速常數(shù)做如下的尺度變換:
c→c/α=c′.
(12)
如此,自由粒子的哈密頓量的形式可以保持不變。注意,既然現(xiàn)在是保能量的變換,哈密頓量就應(yīng)該保持不變,相應(yīng)地,時(shí)間變量也不需要做變換。這一點(diǎn)與作者前面的預(yù)想不一樣。我們注意到,將變換式(2)和(12)應(yīng)用于(9)式的四維量,
x→(r/α,i(c/α)t)=(r′,ic′t)=x′,p→(pα,iEα/c)=(p′,iE/c′)=p′
(13)
時(shí)間和能量確實(shí)就不需要做變換了。反過來,由于時(shí)間不做尺度變換,因此,速度與坐標(biāo)具有同樣尺度變換。此處對(duì)于式(13)中的四維矢量要有一個(gè)說明。空時(shí)四維矢量x的第四個(gè)分量如果稱為時(shí)間分量,是不確切的。真正的時(shí)間是t??諘r(shí)矢量的第四個(gè)分量是ict。同理,動(dòng)量能量四維矢量的第四個(gè)分量iE/c不是真正的能量,能量是E。
以下以氫原子和諧振子模型為例進(jìn)行討論。
對(duì)于氫原子勢(shì),狄拉克哈密頓量是
(14)
做式(2)、(4)、(7)和(12)的尺度變換之后,哈密頓量的形式保持不變。狄拉克方程求解氫原子的問題,在量子力學(xué)教科書上有介紹[2]。此處就不敘述了。我們只是提到一點(diǎn),在氫原子的本征能級(jí)的表達(dá)式中,有一個(gè)重要的常數(shù):精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù),記為αs.它的表達(dá)式為
(15)
在式(7)和(12)的尺度變換下,精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)也保持不變。這是因?yàn)?,精?xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)在這兒的作用是表示能級(jí)劈裂。既然整個(gè)能譜是在相空間規(guī)范變換下不變的,表示能級(jí)劈裂的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)當(dāng)然也不應(yīng)該變換。
我們?cè)賮碛懻撝C振子模型。
一般說來,在薛定諤方程中的勢(shì)能是V,那么,在狄拉克方程中的勢(shì)能保持不變。例如,在薛定諤哈密頓量中是庫侖勢(shì)(6)式,在狄拉克哈密頓量中是加在對(duì)角元上的同樣的庫侖勢(shì),見式(14)??墒侵C振子的情況有所不同。
早在1978年,就有人考慮過相對(duì)論諧振子的問題[3]。1989年,Moshinsky和Szczepaniak基于狄拉克方程,提出了三維相對(duì)論性諧振子的模型[4]。他們就把這個(gè)模型稱為狄拉克諧振子。隨后,文獻(xiàn)[5-8]專門研究了這個(gè)模型。在文獻(xiàn)[9]中有較為詳細(xì)的介紹。三維狄拉克諧振子模型出現(xiàn)之后,自然地,有人給出了相應(yīng)的一維和二維狄拉克諧振子模型{10-11}。本文為簡(jiǎn)便起見,只討論一維狄拉克諧振子。二維和三維的情況同此討論,只是表達(dá)式更為繁瑣。
一維狄拉克哈密頓量如下
(16)
狄拉克諧振子哈密頓量(16)式的一個(gè)特點(diǎn)是,代表勢(shì)的項(xiàng)是加在非對(duì)角元上的,所以是一個(gè)矢量勢(shì),而不是加在對(duì)角元上的標(biāo)量勢(shì)。這就是前面所說的,相對(duì)論性的諧振子勢(shì)與一般的勢(shì)能不同之處。
對(duì)于式(10)做式(2)、(4)和(12)的尺度變換之后,哈密頓量的形式保持不變。而且,其中頻率ω不參與變換。
本征值中的正能量支是
(17)
相應(yīng)的歸一化本征波函數(shù)是
(18)
其中ψn(x)是歸一化的諧振子本征函數(shù)。兩個(gè)分量的下標(biāo)量子數(shù)剛好差1。兩個(gè)分量的系數(shù)如下,
(19)
我們看到,經(jīng)過尺度變換(4)和(12)式,能譜(17)式是不變的。而且系數(shù)a1和a2也保持不變。
最后我們簡(jiǎn)單提一下二維和三維狄拉克諧振子。
二維狄拉克諧振子的哈密頓量為
(20)
正的能量本征值為
(21)
三維狄拉克諧振子的哈密頓量為
H=cα·(p-imωβr)+βmc2
(22)
三維空間中,除了自旋角動(dòng)量,還有軌道角動(dòng)量。求解得到的正能量本征值是
(23)
其中,l=0,1,2,…;j=l+1/2.由于總角動(dòng)量是軌道角動(dòng)量與自旋角動(dòng)量之和,總角動(dòng)量量子數(shù)總是半整數(shù),因而j+1/2總是整數(shù)。
二維和三維狄拉克諧振子哈密頓量都是在式(2)、(4)和(12)的尺度變換之后,其形式保持不變,它們的本征函數(shù)也具有(18)和(19)式的形式。
對(duì)于薛定諤量子體系的尺度變換[1],為了保能量不變,除了對(duì)于坐標(biāo)和動(dòng)量做式(2)的尺度變換,還需要對(duì)其它的量特別是對(duì)物理常數(shù)的尺度變換。例如對(duì)于質(zhì)量的變換(4)式和對(duì)于單位電荷的變換(7)式。在相對(duì)論量子力學(xué)體系中,還要加上對(duì)光速c這個(gè)物理常數(shù)的變換(12)式。在[1]中未涉及到對(duì)于c的變換,是因?yàn)槿缦碌脑颉?/p>
一個(gè)相對(duì)論自由粒子的能量是
(24)
文獻(xiàn)[1]中只考慮了薛定諤方程的情況,也就是粒子做低動(dòng)量運(yùn)動(dòng)。它的動(dòng)能就是將(24)式做展開后再減去靜止能量。
(25)
由于根號(hào)只展開至一級(jí)項(xiàng),所以這個(gè)動(dòng)能的表達(dá)式中,不出現(xiàn)光速。因此,文獻(xiàn)[1]中未涉及對(duì)于光速的尺度變換。如果將根號(hào)展開至二級(jí)項(xiàng),
(26)
那么,在動(dòng)能的表達(dá)式中,光速常數(shù)就顯現(xiàn)出來。就會(huì)涉及光速的尺度變換式(12)。因?yàn)槎?jí)項(xiàng)體現(xiàn)了相對(duì)論修正,所以就必然涉及光速常數(shù)。
不過,普朗克常數(shù)?是不做尺度變換的。這一點(diǎn),反映了量子力學(xué)的特征性。因?yàn)槠渌牧?,如電荷、光速等,?jīng)典力學(xué)中也有這樣的量。當(dāng)取經(jīng)典極限時(shí),量子力學(xué)的尺度變換自然過渡到對(duì)應(yīng)的經(jīng)典力學(xué)的尺度變換,盡管后者可能不是保能量的。但是普朗克常數(shù)?是經(jīng)典力學(xué)所沒有的。如果?也做尺度變換,那么,當(dāng)過渡到經(jīng)典力學(xué)時(shí),必須取?→0.從而?的變換在經(jīng)典力學(xué)就消失了,這個(gè)變換在經(jīng)典力學(xué)中就沒有對(duì)應(yīng)物,這會(huì)引起矛盾。因此,為了不導(dǎo)致矛盾,普朗克常數(shù)?不能做尺度變換。這也表明,無論空間如何在尺度變換下伸縮,能量量子是不變的。這也與保能量變換這一特點(diǎn)相一致。
上一節(jié)我們只討論狄拉克方程了。本文未對(duì)克萊因-高登方程做討論,因?yàn)橛懻撌穷愃频?,沒有新的內(nèi)容。
在相對(duì)論量子力學(xué)中,并不是式(9)的四維矢量都做尺度變換,而只是空間的三維矢量做變換,時(shí)間和能量不做變換。這相當(dāng)于低速或者靜止的粒子的狀態(tài)。確實(shí),文獻(xiàn)[1]和本文所舉的體系,例如氫原子和諧振子模型,哈密頓量都與時(shí)間無關(guān),都是計(jì)算定態(tài)薛定諤方程。
狹義相對(duì)論的時(shí)空坐標(biāo)符合洛倫茲變換。粒子在運(yùn)動(dòng)時(shí),沿運(yùn)動(dòng)方向的空間會(huì)有收縮,看到的一個(gè)物體會(huì)有旋轉(zhuǎn)后的效果。
狹義相對(duì)論中粒子在運(yùn)動(dòng)時(shí),由于洛倫茲變換所感受到的空間的壓縮與空間尺度變換相比,各有特點(diǎn)。狹義相對(duì)論中,粒子運(yùn)動(dòng)時(shí),只感受到沿著運(yùn)動(dòng)方向上的空間的壓縮而沒有膨脹;壓縮的程度在不同的點(diǎn)是不一樣的,而且其中涉及到時(shí)間的因素;在垂直于運(yùn)動(dòng)方向上的空間尺度不變。相空間尺度變換時(shí),空間各點(diǎn)既可以有壓縮也可以膨脹,這取決于比例因子α的數(shù)值;在空間的所有維度上都有壓縮或者膨脹;空間各點(diǎn)的壓縮 或者膨脹的比例是完全相同的,且與時(shí)間無關(guān)。
如果勢(shì)能是含時(shí)間的,那么,時(shí)間也就不得不做尺度變換。相應(yīng)地,能量也就必須做尺度變換。那時(shí),就不能保證這樣的尺度變換是保能量的。所以,本文討論的空間尺度變換,只適用于粒子靜止或低動(dòng)量運(yùn)動(dòng)的體系。
(1) 本文把量子體系的相空間規(guī)范變換推廣到相對(duì)論情形。在相對(duì)論情況下相空間規(guī)范變換是r→r/α,p→pα再加上光速常數(shù)的變換c→c/α=c′.時(shí)間和能量不做變換。因此,仍然是保能量的。
(2) 相空間規(guī)范變換有效的前提是,哈密頓量與時(shí)間無關(guān)。如果哈密頓量與時(shí)間有關(guān),那么,為了保持哈密頓量在尺度變換下保持不變,時(shí)間就不可避免地也要做變換。相應(yīng)地,能量也必須做變換。就不能實(shí)現(xiàn)保能量。在做尺度變換時(shí),單位電荷和光速常數(shù)等一些物理常數(shù)也會(huì)做相應(yīng)的變換。但是普朗克常數(shù)不做變換。原因是,普朗克常數(shù)只在量子力學(xué)中出現(xiàn),而在經(jīng)典力學(xué)中沒有這個(gè)量。