白伊秀，胡 潔

（首都師范大學(xué)物理系，北京 100048）

0 引 言

在量子力學(xué)中［1］，算符在不同表象中有不同的表現(xiàn)形式.當用矩陣表示算符時，如果取本征矢為基矢時，此算符矩陣為對角矩陣，當算符處于自身表象時，很多問題處理起來比較方便，如分析準粒子能譜、計算單分量玻色超流體系中的衰變率等［2-3］.因此，需要將研究體系中的算符對角化到本征態(tài)下，對角化算符的過程稱為幺正變換.在冷原子體系中，當研究低能物理中的玻色-愛因斯坦凝聚［4-6］、超流［4］和巴丁-庫柏-徐瑞弗（Bardeen-Cooper-Schrieffer，BCS）超導(dǎo)態(tài)［7-9］時，需要做 Bogoliubov變換［10-12］，使其從粒子數(shù)表象變成準粒子表象，而Bogoliubov變換的本質(zhì)就是對角化平均場近似下的體系哈密頓量.進行Bogoliubov變換時需要考慮體系中的粒子是玻色子還是費米子，如果體系中的粒子為費米子，則哈密頓量的對角化按正常的幺正變換進行操作，但是若為玻色子，則不能做哈密頓量的幺正變換，即量子力學(xué)中的幺正變換只適用于費米子體系，而不適用于玻色子體系，其根本原因在于幺正變換是一個三角變換(sin2θ+cos2θ=1)，滿足反對易關(guān)系，而玻色子對角化是雙曲變換(cosh2θsinh2θ=1)，需滿足對易關(guān)系，因此，不能直接用幺正變換，通?？梢赃x擇代數(shù)方法，在滿足玻色子對易關(guān)系的條件下對角化哈密頓量，但是由于計算的復(fù)雜性，代數(shù)方法不利于推廣到高維哈密頓量體系，因此，本文研究如何在玻色子體系中通過矩陣變換實現(xiàn)Bogoliubov變換.

1 費米子體系Bogoliubov變換

在研究玻色子體系之前，首先考慮一個自旋1/2、相互作用為接觸勢能的費米子體系，其二次量子化之后的哈密頓量為［13-15］

在Nambu表象中用矩陣表示此哈密頓量為

2 玻色子體系Bogoliubov變換

為了研究玻色子體系如何做Bogoliubov變換從而得到超流，考慮自旋為0、相互作用為接觸勢能的玻色子體系，其二次量子化之后的哈密頓量為［14］

在Nambu表象下得

需要通過做Bogoliubov變換尋找本征表象，并且在本征表象下，哈密頓量矩陣是對角的.首先，按照費米子對角化的方式，嘗試玻色子體系是否可以實現(xiàn)Bogoliubov變換，從而對角化玻色子哈密頓量.假設(shè)玻色子準粒子算符為k，變換矩陣為，則準粒子表象下的算符及哈密頓量與粒子數(shù)表象下的算符及哈密頓量的關(guān)系為準粒子算符需滿足玻色子對易關(guān)系，即.但通過計 算式（26）可 知，，即用幺正變換來對角化無法滿足玻色子對易關(guān)系.因此，通過幺正變換對玻色子體系做Bogoliubov變換的方法是不正確的.

通?？梢杂么鷶?shù)的方法，假設(shè)變換矩陣是普適的，在滿足玻色子準粒子對易關(guān)系的情況下計算出每個矩陣元，但是當考慮高維玻色子體系時，如討論自旋為1的玻色子時，需要對角化的是6×6的矩陣，若用代數(shù)方法對角化哈密頓量存在計算的復(fù)雜性.因此，需要找到可行的哈密頓量矩陣對角化方法，來實現(xiàn)Bogoliubov變換.本文構(gòu)造如何對玻色子體系做矩陣變換來實現(xiàn)Bogoliubov變換.

Ek,α對應(yīng)的本征態(tài)為2，代表2個不同的本征態(tài)，而本征態(tài)的歸一化關(guān)系為：

按照此歸一化條件計算出本征態(tài)為

通過此變換矩陣不僅得到正確的超流能譜，還滿足玻色子對易關(guān)系，并且對角化體系的哈密頓量.此方法還可以推廣到高維體系，只需在Bk的偶數(shù)行乘以-1，得到新的哈密頓量′，再解′的久期方程，計算本征態(tài)時，本征值為正的本征態(tài)滿足式（29）的歸一化關(guān)系，本征值為負的本征態(tài)滿足式（30）的歸一化關(guān)系.

3 結(jié) 論

量子力學(xué)中幺正變換對角化哈密頓量得到的變換矩陣滿足反對易關(guān)系，因此，適用于費米子體系.然而玻色子滿足對易關(guān)系，幺正變換已不再適用.因此，本文研究了玻色子體系哈密頓量的對角化問題，為了滿足對易關(guān)系，需要將哈密頓量的偶數(shù)行乘以-1，再計算久期方程，本征態(tài)的歸一化條件也因本征值的正負不同而不同，最后將得到的本征態(tài)組成變換矩陣，而這個變換矩陣即可完成玻色子體系的Bogoliubov變換.需要說明的是，得到此變換矩陣的方法可以推廣到高維體系，從而解決代數(shù)方法計算的復(fù)雜性.