姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

(收稿日期：2016-04-08)

?

三體問題一類特解的研究

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

(收稿日期：2016-04-08)

采用等效質(zhì)量的方法對(duì)三體問題中3個(gè)天體始終構(gòu)成一個(gè)正三角形的特解進(jìn)行研究，得到了其運(yùn)動(dòng)的軌跡方程和運(yùn)動(dòng)周期的解析解.

三體問題 等效質(zhì)量 解析解

宇宙中由3個(gè)天體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他天體對(duì)它們的作用時(shí)存在一種運(yùn)動(dòng)形式：3個(gè)天體在相互之間的萬有引力的作用下，分別位于等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上，繞其一共同圓心在三角形所在平面內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng).本文先研究了3個(gè)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，后研究一般軌道上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

1 三體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

圖1 三體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

A，B星系統(tǒng)的質(zhì)心為D在x軸上坐標(biāo)為

設(shè)A，B，C 3天體的質(zhì)心為O′，則O′在CD的連線上，C天體做勻速圓周的半徑為

同理可求得天體A和B的軌道半徑分別為

C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程中受到的萬有引力的合力為

F=

三體若始終構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)不變的正三角形，則系統(tǒng)的周期與邊長(zhǎng)和三體的總質(zhì)量有關(guān).

2 三體的一般軌道

若用等效質(zhì)心法,則3個(gè)天體一定組成一個(gè)正三角形，質(zhì)心位置不變.

代入F和rC可求得

同理得

圖2 三體等效質(zhì)量的計(jì)算

在圖3中，令中心天體的等效質(zhì)量為M，某一個(gè)天體的質(zhì)量為m，則星體與中心天體的作用力可寫為

圖3 三體的一般軌道

由比耐公式[2]

代入后得

即

這個(gè)微分方程形式與諧振動(dòng)方程完全一樣，它的解為

ξ=Acos(θ-θ0)

而

即

三體問題中的某一個(gè)天體的軌道方程可寫為

式中

其中θ0與初始位置有關(guān).

當(dāng)E<0時(shí)，則e<1軌道為橢圓;

當(dāng)E>0時(shí)，則e>1軌道為雙曲線;

當(dāng)E=0時(shí)，則e=1軌道為拋物線.

說明:

(1)要保證3個(gè)天體始終組成一個(gè)正三角形，則3個(gè)天體運(yùn)動(dòng)軌跡的離心率應(yīng)相等.

3 三體問題的周期

設(shè)A是矢徑掃過的面積，由開普勒第二定律，知單位時(shí)間內(nèi)矢徑掃過的面積相等，即

即

或

將上式兩邊積分后得

2A=h(T-t0)

當(dāng)矢徑掃過全部橢圓后，A=πab，而所需的時(shí)間就是周期T，2πab=hT，整理后得

即

整理為

實(shí)際運(yùn)動(dòng)中能量為NE0，即

當(dāng)N>0時(shí)，則e<1軌道為橢圓;

當(dāng)N<0時(shí)，則e>1軌道為雙曲線;

當(dāng)N=0時(shí)，則e=1軌道為拋物線.

4 數(shù)值模擬

為了研究問題的方便，令G=1,m1=1,m2=2,m3=3,數(shù)值模擬如圖4所示.

圖4 三體運(yùn)動(dòng)軌道的數(shù)值模擬

5 結(jié)束語

通過對(duì)三體問題此類特解的分析可以發(fā)現(xiàn)，三體的運(yùn)動(dòng)軌道和周期與它們初始狀態(tài)有關(guān)，比如能