☉江蘇省鹽城中學(xué)　劉海濱

為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)：教學(xué)設(shè)計(jì)最根本的著力點(diǎn)*——以“函數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省鹽城中學(xué)劉海濱

一、教材分析

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的核心概念之一，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決數(shù)學(xué)問題，是高中數(shù)學(xué)主要的學(xué)習(xí)任務(wù)之一.然而，函數(shù)概念因其取元的任意性、成象的唯一性及對(duì)應(yīng)法則“f”的高度抽象性，而成為最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在很大困難.因此，如何全面而深刻地理解函數(shù)概念、破解概念教學(xué)難點(diǎn)是學(xué)好函數(shù)概念的根本所在.

從教的角度看，函數(shù)概念教學(xué)的核心是引導(dǎo)學(xué)生開展概括活動(dòng)：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念.數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”，概念教學(xué)則要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程.

從學(xué)的角度看，概念形成和概念同化是兩種基本的概念獲得方式.概念形成的實(shí)質(zhì)是抽象出一類對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的過程，其思維活動(dòng)的核心是概括；概念同化就是學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)理解新概念，理解的過程是新舊知識(shí)的相互作用過程，是將新知識(shí)納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，思維活動(dòng)的核心仍是概括.

二、教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)回顧，點(diǎn)擊課題

教師：在初中，我們是如何定義函數(shù)的？學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？

學(xué)生：對(duì)于一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x，y，若對(duì)于任意一個(gè)值x，都有唯一值y與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，其中x叫作自變量.學(xué)過了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過舉例回顧，強(qiáng)調(diào)“單值對(duì)應(yīng)”，思考題是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

2.探索實(shí)例，建構(gòu)模型

教師：今天我們來進(jìn)一步從其他角度學(xué)習(xí)函數(shù)的概念.（板書課題）

實(shí)例一：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2.

問題1：炮彈飛行1s，5s，13s，30s時(shí)離地面的高度？

問題2：變量t和h的取值范圍是多少？用集合表示.

問題3：對(duì)于數(shù)集A的任意一個(gè)時(shí)間t，按照變化規(guī)律，在數(shù)集B中是否都有唯一確定的高度h和它對(duì)應(yīng).

實(shí)例二：圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979～2001年的變化情況.

圖1　

問題4：曲線中，哪一年空洞面積S最大？S=1500萬平方千米的年份有哪些？

問題5：t和S的取值范圍是什么？用集合表示.

問題6：對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)時(shí)刻t，按照曲線，在數(shù)集B中是否都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對(duì)應(yīng).

實(shí)例三：表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間（年）變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.

時(shí)間1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001恩格爾系數(shù)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

問題7：系數(shù)y與時(shí)間x之間的關(guān)系是否和前面兩例中的變量之間的關(guān)系相似？

問題8：仿照前面兩個(gè)實(shí)例來描述這個(gè)關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是兩個(gè)變量之間的函數(shù)模型.

3.歸納共性，形成概念

教師：以上三個(gè)實(shí)例有什么共同點(diǎn)？

學(xué)生：在集合A中每取一個(gè)數(shù)，按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng).

教師：如果我們把A中的數(shù)記為x，集合B中的數(shù)記為y，對(duì)應(yīng)關(guān)系記為f，那么我們又如何歸納上述三個(gè)例子的共同特征呢？

學(xué)生：對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng).

教師補(bǔ)充：像這樣在對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用下集合A到集合B，我們記作：f：A→B，讀作：f，A到B.為此我們得到函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作：y=f（x），x∈A.其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x值對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合C=｛f（x）|x∈A｝叫值域（range）.

教師：對(duì)于函數(shù)定義中的“f（x）”，我們?cè)撊绾卫斫饽?？可否理解成f與x的乘積呢？

學(xué)生活動(dòng)（分組討論，代表回答）：f（x）只是表示函數(shù)符號(hào)，是集合A中取x時(shí)，按對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中的值.不能理解成f與x的乘積.

設(shè)計(jì)意圖：三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同引導(dǎo)學(xué)生引進(jìn)符號(hào)表示，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

4.辨析概念，深化鞏固

教師：f（x）是否可以換成其他符號(hào)呢？

學(xué)生：因?yàn)閒（x）只表示函數(shù)符號(hào)，f是表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的字母，也可用其他字母表示，如g表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，則g（x）就表示在集合A中取x時(shí)，按對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合B中的值.

學(xué)生（一名突然舉手的學(xué)生）：老師，“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是什么意思？

教師：通過前面實(shí)例，我們不妨可以這樣理解：把f看成一臺(tái)加工的機(jī)器，集合A是原料箱，集合B是產(chǎn)品箱，集合A中每給一個(gè)原料經(jīng)過f機(jī)器加工就成B中的一件產(chǎn)品.例如h與變量t滿足的關(guān)系式h=130t-5t2，t每取一個(gè)值，按照這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，h都有唯一對(duì)應(yīng)的值.

例1你能說說已學(xué)函數(shù)的定義域和值域嗎？（師生共同完成）

①一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）：定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；

②反比例函數(shù)（k≠0）：定義域?yàn)椋鹸|x≠0｝，值域?yàn)椋鹸|x≠0｝；

③二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）：定義域?yàn)镽，值域：當(dāng)a>0時(shí)

注：（1）函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定，如我們剛開始所述的三個(gè)實(shí)例.如果只給出解析式y(tǒng)= f（x），而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的自變量的取值集合.（2）函數(shù)的定義域和值域用集合表示.

例2（幻燈片展示）下列哪些表示集合A到集合B的函數(shù)？若不是，說明理由.

學(xué)生1：①是；②也是函數(shù).

教師追問：②為什么是函數(shù)呢？在集合A中沒有數(shù)與集合B中的6對(duì)應(yīng)呀？

學(xué)生1遲疑后回答：因?yàn)楹瘮?shù)的定義是如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng).本題滿足函數(shù)的定義.

教師追問：也就是說集合B中可以有元素剩余了？

學(xué)生1：是.

教師借此機(jī)會(huì)把剛才板書的函數(shù)定義中“值域是集合B的子集”進(jìn)行解釋.

教師強(qiáng)調(diào)：像①中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們就可以理解為集合A中數(shù)的2倍等于集合B中的數(shù)；②中也存在著一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是我們找不出具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的式子.

學(xué)生2：③④都不能表示函數(shù)關(guān)系；因?yàn)棰鄣腁集合中的數(shù)1在集合B中有2與4兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)定義；④的A集合中的數(shù)3在集合B中沒有數(shù)與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)定義.

教師：很好.所以在剛才給出函數(shù)定義時(shí)，自變量的取值集合就是A，我們稱作函數(shù)的定義域.⑤⑥⑦找一名同學(xué)回答.

學(xué)生3：都是（教師疑惑）

學(xué)生4：⑤⑥是，⑦不是.

教師：為什么？

學(xué)生4：因?yàn)棰叩膬蓚€(gè)集合中元素都是省名和省的簡稱，故不滿足函數(shù)概念.

教師提出：不錯(cuò)，基本上說到實(shí)質(zhì)上了.⑤⑥是嗎？判斷是否為函數(shù)關(guān)系，主要看是否滿足函數(shù)定義.

學(xué)生5（在大家紛紛議論一會(huì)后舉手回答）：⑤⑥⑦都不是，因?yàn)楹瘮?shù)定義中說A、B集合的元素必須是數(shù)，而⑤中集合A、⑥中集合B的元素都是字母，⑦中集合的元素都不是數(shù).

教師：太棒了?。ㄊ疽馊鄬W(xué)生為學(xué)生5鼓掌）.請(qǐng)同學(xué)們?cè)賮砜匆幌滤伎急嫖?，進(jìn)一步來鞏固函數(shù)的概念.

設(shè)計(jì)意圖：用任意性和唯一性判斷，找對(duì)應(yīng)法則，分析定義域值域，小結(jié)：從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是一對(duì)一、多對(duì)一，不能是一對(duì)多.函數(shù)概念的核心本質(zhì)：兩個(gè)數(shù)集A、B之間的一種單值對(duì)應(yīng)關(guān)系：從自變量x的集合A到函數(shù)值y的集合C的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于A中的任意一個(gè)元素，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，即一對(duì)一、多對(duì)一；而B中的元素在A中的對(duì)應(yīng)元素可以不唯一，也可以沒有，顯然B包含值域C，原因是：函數(shù)的三要素中值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的.

例3辨析下面語句的正誤.

（1）y=1（x∈R）是函數(shù)嗎？

學(xué)生：（1）是；（2）不是，因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y有兩個(gè)值；（3）是.

教師：若（3）是，請(qǐng)大家求一下它的定義域.（板書提示：由x-3≥0且1-x≥0來求x的取值集合）.

學(xué)生：空集.

教師追問：這樣還能是函數(shù)嗎？

學(xué)生：不能，因?yàn)楹瘮?shù)定義中說A、B是兩個(gè)非空數(shù)集.

教師：這個(gè)問題大家終于看出來了.通過以上例子，大家討論一下，我們從中總結(jié)函數(shù)定義具有哪些特點(diǎn)？

學(xué)生回答不同情況以后，教師與學(xué)生共同總結(jié)，函數(shù)定義有以下特點(diǎn)：①A、B必須是非空數(shù)集（若是空集就沒有研究意義）；②集合A中不能有元素剩余，集合B中可以有元素剩余；③按對(duì)應(yīng)關(guān)系只能一對(duì)一或多對(duì)一，但不能一對(duì)多；④集合A是函數(shù)的定義域，集合B包含函數(shù)的值域（或稱函數(shù)的值域是集合B的子集）；⑤f（x）表示每給一個(gè)自變量x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，都對(duì)應(yīng)確定一個(gè)函數(shù)值f（x），而不是f與x的乘積.

教師：函數(shù)的概念主要由哪幾部分構(gòu)成？

學(xué)生：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.

教師：很好.我們把定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域稱為函數(shù)的三要素.

（1）求函數(shù)的定義域；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f（a），f（a-1）的值.

（學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng)，具體解答略）

5.課堂小結(jié)，知識(shí)提煉

今天我們收獲是什么？（學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)）

（1）你對(duì)“函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”這句話有什么體會(huì)？

（2）對(duì)比初中和高中函數(shù)概念，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：反饋學(xué)生的當(dāng)堂表現(xiàn)，了解知識(shí)掌握情況.

三、結(jié)束語

函數(shù)概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本思想之一，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心概念，它滲透到了數(shù)學(xué)的一切領(lǐng)域.函數(shù)是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的有力基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最難掌握的概念之一.

數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善，經(jīng)歷了漫長而曲折的過程.這不但因?yàn)楹瘮?shù)概念系統(tǒng)復(fù)雜、涉及因素眾多，更重要的是伴隨著函數(shù)概念的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)思維方式也發(fā)生了重要轉(zhuǎn)折：思維從靜止走向了運(yùn)動(dòng)、從離散走向了連續(xù)、從運(yùn)算轉(zhuǎn)向了關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在符號(hào)語言與圖、表語言之間可以靈活轉(zhuǎn)換.在函數(shù)的研究中，思維超越了形式邏輯的界限，進(jìn)入了辯證邏輯思維.與常量數(shù)學(xué)相比，函數(shù)概念的抽象性更強(qiáng)、形式化程度更高.總之，概念的識(shí)別優(yōu)于概念特征的說明，概念外延的掌握優(yōu)于概念內(nèi)涵的掌握.對(duì)概念內(nèi)涵的掌握，取決于概念本質(zhì)特征的多少及它們之間的關(guān)系.本質(zhì)屬性越多越鮮明，概念形成越容易；非本質(zhì)屬性越多越明顯，概念形成越難.對(duì)于所有概念，都是先掌握具體概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辯證概念.

*本文是江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室第九期課題《基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建構(gòu)的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式的研究》（編號(hào)：Jk9-L157）的研究成果之一.