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        一道高考模擬錯(cuò)題的分析與啟示

        2016-11-21 08:56:50首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)馮會(huì)哲郭文華
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年10期
        關(guān)鍵詞:異面多面體長(zhǎng)方體

        ☉首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué) 馮會(huì)哲 郭文華

        一道高考模擬錯(cuò)題的分析與啟示

        ☉首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)馮會(huì)哲郭文華

        在高三下學(xué)期,筆者選用了北京市東城區(qū)2015年高三三模試卷數(shù)學(xué)文科第17題作為課后作業(yè).講評(píng)時(shí),發(fā)現(xiàn)該題第三問(wèn)有兩種解法,兩個(gè)答案.筆者對(duì)其進(jìn)行研究分析,發(fā)現(xiàn)該題所給條件不足,不完善,導(dǎo)致了結(jié)論的不唯一.本文將詳加論說(shuō).

        一、題目呈現(xiàn)

        如圖1,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG.

        (1)求證:CE⊥BD;

        (2)若BC=CD=CE=2AD=2BG=2,求證:AG∥平面BDE;

        (3)求幾何體EG-ABCD的體積.

        (北京市東城區(qū)2015年高三三模試卷數(shù)學(xué)文科第17題)

        圖1 

        二、兩種解法,兩個(gè)答案

        此題的第三問(wèn),標(biāo)準(zhǔn)答案及部分學(xué)生解答如下:如圖2,連接BG.由于CD⊥BC,平面ABCD⊥平面BCEG,

        平面ABCD∩平面BCEG=BC,所以CD⊥平面BCEG.

        同理可證BG⊥平面ABCD.

        圖2 

        也有部分的同學(xué)解答如下:

        連接AE,AC,如圖3.

        圖3 

        學(xué)生提出疑問(wèn),這兩種解法看起來(lái)都對(duì),按道理答案應(yīng)該一樣,為什么會(huì)是兩個(gè)答案?哪種解法出錯(cuò)了,錯(cuò)在哪?筆者仔細(xì)分析了題目,添加輔助線后兩種解法都沒(méi)有錯(cuò),而是題目出錯(cuò)了.題目條件給的不嚴(yán)謹(jǐn),導(dǎo)致了兩種解法,兩個(gè)答案.

        三、錯(cuò)因分析及題目修正

        1.從圖形的角度說(shuō)明

        筆者引導(dǎo)學(xué)生,從數(shù)的運(yùn)算來(lái)看,數(shù)值不同;接下來(lái)就從形入手,觀察這個(gè)幾何體的形狀.此題所涉及的幾何體為多面體,而題目條件描述的多面體并不唯一.見(jiàn)多面體的定義:若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱.棱與棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)[1].

        此題雖然各頂點(diǎn)都明確了,但是由哪幾個(gè)平面多邊形圍成的?并不明確.此題中直線AE、DG是異面直線.把它們放在棱長(zhǎng)為2的正方體模型中,如圖4所示.題目所給的相當(dāng)于從正視圖的方向去看,有些學(xué)生缺乏空間想象的“火眼金睛”判斷不出,筆者借助幾何畫(huà)板,把圖4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖5,相當(dāng)于換一個(gè)視角,從左視圖角度去看,學(xué)生很容易判斷出AE、DG是異面直線.A、D、E、G四點(diǎn)不共面,G點(diǎn)不在面ADE上(圖6);E點(diǎn)不在面ADG上(圖7).而題目并沒(méi)有給出相鄰兩個(gè)面的公共邊,即少給一條棱.所以,涉及這四點(diǎn)的面可能是由面ADE和面AEG圍成的(見(jiàn)圖8),也有可能是由面DEG和面ADG圍成的(見(jiàn)圖9).

        圖4 

        圖5 

        圖6 

        圖7 

        圖8 

        圖9 

        學(xué)生由于空間想象能力不足,誤認(rèn)為A、D、E、G這四個(gè)點(diǎn)是共面的,才會(huì)覺(jué)得兩個(gè)解法應(yīng)該有同一個(gè)答案.而該題所給條件能畫(huà)出兩個(gè)滿足題意的多面體,而這兩個(gè)多面體的形狀是不同的,體積也是不同的.學(xué)生的兩種解法實(shí)際求的是不同的幾何體,所以答案是不同的.

        2.從理論層面說(shuō)明

        教師引導(dǎo)學(xué)生,僅從形上觀察出A、D、E、G四點(diǎn)不共面還不夠.擺在桌子上的幾何體實(shí)物,同學(xué)們可以圍著它從不同角度觀察;畫(huà)在試卷上的幾何體,同學(xué)們作答時(shí)既不方便做到換一個(gè)角度去觀察它(就像圖4到圖5),也不能借助幾何畫(huà)板來(lái)畫(huà)圖.這就需要我們煉就“火眼金睛”,從題目給的圖1上就能看出A、D、E、G四點(diǎn)不共面.這就需要同學(xué)們有一定的知識(shí)儲(chǔ)備,了解相關(guān)的理論依據(jù).

        帶著學(xué)生復(fù)習(xí)以下結(jié)論并給出證明.

        結(jié)論:設(shè)a、b是兩條異面直線,在直線a上任取兩點(diǎn)A、B,在直線b上任取兩點(diǎn)C、D,則直線AC、BD仍然是異面直線.

        證明:假設(shè)直線AC、BD不是異面直線,則AC、BD共面,則AB、CD共面,即a、b共面,這與已知條件a、b是兩條異面直線矛盾.所以,假設(shè)不成立,所以直線AC、BD是異面直線.

        此題中,直線AD、EG是異面直線,顯然直線EA、DG是異面直線,若同學(xué)們熟悉此結(jié)論,很容易根據(jù)題干中圖1判斷出A、D、E、G這四個(gè)點(diǎn)是不共面的,這個(gè)多面體的形狀沒(méi)描述清楚,體積不唯一.

        3.題目的修正

        題目的修正,包括兩部分:圖形的修正和題干部分的修正.圖形部分需要再添加一條棱,AE或DG,就能確定幾何體的形狀,答案也就唯一了.

        題干文字部分也需要改,第(2)問(wèn)的條件之前有“若”字,這說(shuō)明條件只適用這一問(wèn).條件“BC=CD=CE=2AD= 2BG=2”出現(xiàn)在題干中,第(3)問(wèn)才可以用.這也是學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn),是該強(qiáng)調(diào)的地方.平時(shí)練習(xí)中,不少學(xué)生誤把小前提的條件用到下一問(wèn),而惋惜失分.

        所以本題題干文字部分應(yīng)該改為:

        如圖1,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG.BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

        (1)求證:CE⊥BD;

        (2)求證:AG∥平面BDE;

        (3)求幾何體EG-ABCD的體積.

        或改為:如圖1,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG.

        (1)求證:CE⊥BD.

        (2)若BC=CD=CE=2AD=2BG=2,

        ①求證:AG∥平面BDE;

        ②求幾何體的體積.

        四、幾點(diǎn)啟示

        1.重視概念

        學(xué)生用兩種方法,得到兩個(gè)答案之后,找不出問(wèn)題出在哪里.筆者講評(píng)時(shí)指出實(shí)質(zhì)是學(xué)生對(duì)多面體的概念掌握得不牢.誤以為多面體的頂點(diǎn)確定了,幾何體的形狀就確定了.實(shí)質(zhì)上,圍成多面體的平面多邊形確定了,幾何體的形狀才能確定.最終是回歸定義之后,問(wèn)題才得以解決.筆者強(qiáng)調(diào),高三的后期復(fù)習(xí),學(xué)生不僅要做題,也要回歸課本,熟悉基本的概念、定義.

        2.強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)方體模型的重要作用

        A、D、E、G這四個(gè)點(diǎn)是不共面的,過(guò)E作AD的平行線EF,G點(diǎn)不在面ADEF上.通過(guò)以下圖10和圖11的對(duì)比,學(xué)生很清楚地看到借助長(zhǎng)方體模型更直觀.在這個(gè)題的分析過(guò)程中,學(xué)生多次感受到以長(zhǎng)方體模型為載體,更直觀、更好理解.筆者適時(shí)強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)方體模型的工具性作用.長(zhǎng)方體是立體幾何學(xué)習(xí)中的基本幾何體,其中蘊(yùn)含了點(diǎn)、線、面的對(duì)稱、相等、平行、垂直等數(shù)量和位置關(guān)系,是展開(kāi)空間想象的重要載體.

        圖10 

        圖11 

        為了突出長(zhǎng)方體模型的重要作用,筆者拿前兩天學(xué)生剛做過(guò)的一道高考題舉例說(shuō)明.

        (2014·湖北卷文7)在如圖12所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為①,②,③,④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()

        圖12 

        A.①和②B.①和③C.③和②D.④和②

        這道題與以往的三視圖題目不同,以往的幾何體大多數(shù)都是水平放置的,而這個(gè)四面體是架空在空間的,考查學(xué)生的空間想象能力.學(xué)生憑空去想,很難想象出這個(gè)幾何體的形狀和它的三視圖,而借助正方體模型,如圖13,有了三視圖需要的幾個(gè)投影面,和與這些面垂直、平行的線,三視圖則迎刃而解.有學(xué)生感嘆:我們沒(méi)有空間想象的“火眼金睛”,然而何其有幸,我們有長(zhǎng)方體模型.文[3]中也強(qiáng)調(diào)了長(zhǎng)方體作為背景模型在解題中的奇效,利用長(zhǎng)方體模型,提升了學(xué)生的空間想象能力.

        圖13 

        在教學(xué)中遇見(jiàn)了錯(cuò)題,筆者并沒(méi)有直接翻篇到下一題,也沒(méi)有一帶而過(guò).筆者引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度對(duì)比了計(jì)算結(jié)果,利用幾何畫(huà)板,讓學(xué)生從形的角度直觀感受了原因,再上升到理論層面,給出理論支撐.講完,學(xué)生感到很有收獲.錯(cuò)題有錯(cuò)題的價(jià)值.通過(guò)這個(gè)題,學(xué)生認(rèn)識(shí)到后續(xù)的復(fù)習(xí)應(yīng)該多注意概念,也對(duì)長(zhǎng)方體模型的工具作用有了更深刻的體會(huì).

        1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2[M].北京:人民教育出版社,2007.

        2.劉岳.一道中考錯(cuò)題的分析與啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2015(1-2).

        3.金偉兵.題高一尺技高一丈——立體幾何三視圖、直觀圖新題“破題法門(mén)”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2015(3).

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