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        恰到好處:談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

        2016-11-24 01:34:16江蘇省連云港市黑林中學(xué)許銀銀
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年10期
        關(guān)鍵詞:命制壓軸菱形

        ☉江蘇省連云港市黑林中學(xué) 許銀銀

        恰到好處:談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

        ☉江蘇省連云港市黑林中學(xué)許銀銀

        中考壓軸題承載了區(qū)分選拔功能,命題組專家們常常要根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗和大樣本下學(xué)情的了解,設(shè)計出有難度、富有挑戰(zhàn)的壓軸題.值得多數(shù)人認(rèn)同的壓軸題風(fēng)格是簡潔好懂、富有生長、少算多思,又要嚴(yán)守國家課程標(biāo)準(zhǔn)的剛性要求.然而每年中考試卷出來之后,我們總能見到有些地區(qū)由于命題組的“個人喜好”,置教學(xué)導(dǎo)向和課標(biāo)要求于不顧,無度鏈接高中解析幾何的知識點,使得提前補充過高中階段解析幾何性質(zhì)的考生“沾了大光”,而嚴(yán)守課標(biāo)的師生陷入初中繁雜解法的構(gòu)造與運算之中.本文關(guān)注一道2016年壓軸題,先給出思路突破,再跟進(jìn)命題商榷和變式打磨.

        一、考題及思路突破

        考題(2016年四川成都)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=a(x+1)2-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點頂點為D,對稱軸與x軸交于點H,過點H的直線l交拋物線于P、Q兩點,點Q在y軸的右側(cè).

        圖1

        (1)求a的值及點A、B的坐標(biāo).

        (2)當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分時,求直線l的函數(shù)表達(dá)式.

        (3)當(dāng)點P位于第二象限時,設(shè)PQ的中點為M,點N在拋物線上,則以DP為對角線的四邊形DMPN能否成菱形?若能,求出點N的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

        思路突破:

        (2)在進(jìn)入面積比為3∶7的兩部分的探索之前,先算出四邊形ABCD的面積.由于拋物線的解析式在上一問中已明確為可很快確定頂點所以

        接下來利用直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分,分析可知直線l只能與邊AD或BC相交,所以有兩種情況:①如圖2,直線l與AD交于點M;②如圖3,直線l與BC交于點M.

        圖2 

        圖3 

        由于直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7,所以其中一部分面積為四邊形ABCD面積的即在圖2或圖3中,△AMH、△BMH的面積為3,即AH、BH邊上的高為2.以下分類說明.

        情況1:如圖2,當(dāng)直線l與AD交于點M時,過點M作MN⊥x軸于點N,由上面的分析,可得MN=2.利用MN∥DH帶來的△AMN~△ADH,得比例式,可解得AN=2,ON=2,則M(-2,-2).設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,由于l過M(-2,-2)、H(-1,0),則解得所以直線l的解析式為y=2x+2.

        情況2:如圖3,當(dāng)直線l與BC交于點M時,過點M作MN⊥x軸于點N,則類似地,利用△BMN~△BCO,得,則所以所以設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,由于l過H(-1,0),則解得即直線l的解析式為

        另解反思:由上面的分析,還可將兩種情況統(tǒng)一在圖4中,作直線y=-2交AD、BC于M1、M2,這也是兩個符合要求的點M.

        圖4 

        圖5 

        (3)構(gòu)造圖5這樣的可能的圖形輔助分析.

        由線段PQ的中點為M,四邊形DMPN若為菱形,有DN∥=MQ.設(shè)直線ND的解析式為y=kx+b1,由D(-1,-3),得-3=-k+b1,所以b1=k-3,所以直線ND的解析式為y=kx+ k-3.由,解得xN=3k-1,即N(3k-1,3k2-3).

        類似地,再設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b2.由H(-1,0),得y=kx+k.由得則x1+所以所以.再結(jié)合,可得xM-xN=xQ-xD,即解得所以所以.再驗證發(fā)現(xiàn),此時DN∥PM且四邊形DMPN為菱形.

        綜上,以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形,當(dāng)四邊形DMPN為菱形時,點N的坐標(biāo)為

        另解思考:如圖5,也可先從直線PQ的解析式入手,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),且過點H(-1,0)的直線PQ的解析式為y=kx+b.-k+b=0,則b=k,則y=kx+k.由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,有x1+x2=-2+3k.y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2.由于點M是線段PQ的中點,所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式得點

        假設(shè)存在這樣的N點,則直線DN∥PQ.設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k-3.

        二、導(dǎo)向之思與命題商榷

        靜心演算之后,筆者深感這道試題的繁雜,根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗,若非人群中前5%的優(yōu)秀學(xué)生,要想在考場限時獨立的背景下圓滿解題是很難的.特別是第(3)問,如果熟悉高中階段解析幾何中的中點坐標(biāo)公式、直線與拋物線交點的靈活處理等“高位知識”,則可以快速獲得思路貫通,進(jìn)入運算求解,使得“多想少算”的命題追求大打折扣.以下本著個人命題研究的興趣,圍繞該考題給出變式改編.

        改編題:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y= a(x+1)2-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點頂點為D.

        (1)求四邊形ABCD的面積;

        (2)在拋物線的對稱軸上取點G,當(dāng)△BCG的周長最小時,求點G的坐標(biāo);

        (3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H,拋物線上有一點P,若直線PH將四邊形ABCD的面積分成3∶7兩部分,求點P的坐標(biāo).

        改編意圖:將原考題第(3)問刪減,主要是原問過分鏈接拓展了高中階段的解析內(nèi)容,如果僅從初中階段教材上的解法來處理,又顯得力量不夠.而將原題的第(2)問進(jìn)行適度放開,使得點P有4個可能的位置,也達(dá)到了區(qū)分選拔的功能.

        三、結(jié)束語

        綜合題命制是一個經(jīng)典話題,初中數(shù)學(xué)考卷解答題的最后一道通常是大綜合,往往選擇一個開闊的平臺,融入一些新的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì),漸次生長,拓展挑戰(zhàn),供高層次學(xué)生展示解題實力.就本文想表達(dá)的觀點來看,在增設(shè)條件或增加解題層次時,一定要注意恰到好處,而不能陷入“惡性生長”的無度地步,那樣既影響了試題的內(nèi)容效度,也影響教學(xué)導(dǎo)向和數(shù)學(xué)面貌.從這個意義上說,茲事體大,而非細(xì)節(jié),也非小事,不容忽視.

        1.王東.從“形聚”到“神似”:大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(9).

        2.周紅娟.開放與放開:概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(8).Z

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