☉江蘇省連云港市黑林中學(xué)　許銀銀

恰到好處：談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

☉江蘇省連云港市黑林中學(xué)許銀銀

中考壓軸題承載了區(qū)分選拔功能，命題組專家們常常要根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗和大樣本下學(xué)情的了解，設(shè)計出有難度、富有挑戰(zhàn)的壓軸題.值得多數(shù)人認(rèn)同的壓軸題風(fēng)格是簡潔好懂、富有生長、少算多思，又要嚴(yán)守國家課程標(biāo)準(zhǔn)的剛性要求.然而每年中考試卷出來之后，我們總能見到有些地區(qū)由于命題組的“個人喜好”，置教學(xué)導(dǎo)向和課標(biāo)要求于不顧，無度鏈接高中解析幾何的知識點，使得提前補充過高中階段解析幾何性質(zhì)的考生“沾了大光”，而嚴(yán)守課標(biāo)的師生陷入初中繁雜解法的構(gòu)造與運算之中.本文關(guān)注一道2016年壓軸題，先給出思路突破，再跟進(jìn)命題商榷和變式打磨.

一、考題及思路突破

考題（2016年四川成都）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）2-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P、Q兩點，點Q在y軸的右側(cè).

圖1

（1）求a的值及點A、B的坐標(biāo).

（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分時，求直線l的函數(shù)表達(dá)式.

（3）當(dāng)點P位于第二象限時，設(shè)PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否成菱形？若能，求出點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

思路突破：

（2）在進(jìn)入面積比為3∶7的兩部分的探索之前，先算出四邊形ABCD的面積.由于拋物線的解析式在上一問中已明確為可很快確定頂點所以

接下來利用直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分，分析可知直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：①如圖2，直線l與AD交于點M；②如圖3，直線l與BC交于點M.

圖2　

圖3　

由于直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7，所以其中一部分面積為四邊形ABCD面積的即在圖2或圖3中，△AMH、△BMH的面積為3，即AH、BH邊上的高為2.以下分類說明.

情況1：如圖2，當(dāng)直線l與AD交于點M時，過點M作MN⊥x軸于點N，由上面的分析，可得MN=2.利用MN∥DH帶來的△AMN～△ADH，得比例式，可解得AN=2，ON=2，則M（-2，-2）.設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，由于l過M（-2，-2）、H（-1，0），則解得所以直線l的解析式為y=2x+2.

情況2：如圖3，當(dāng)直線l與BC交于點M時，過點M作MN⊥x軸于點N，則類似地，利用△BMN～△BCO，得，則所以所以設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，由于l過H（-1，0），則解得即直線l的解析式為

另解反思：由上面的分析，還可將兩種情況統(tǒng)一在圖4中，作直線y=-2交AD、BC于M1、M2，這也是兩個符合要求的點M.

圖4　

圖5　

（3）構(gòu)造圖5這樣的可能的圖形輔助分析.

由線段PQ的中點為M，四邊形DMPN若為菱形，有DN∥=MQ.設(shè)直線ND的解析式為y=kx+b1，由D（-1，-3），得-3=-k+b1，所以b1=k-3，所以直線ND的解析式為y=kx+ k-3.由，解得xN=3k-1，即N（3k-1，3k2-3）.

類似地，再設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b2.由H（-1，0），得y=kx+k.由得則x1+所以所以.再結(jié)合，可得xM-xN=xQ-xD，即解得所以所以.再驗證發(fā)現(xiàn)，此時DN∥PM且四邊形DMPN為菱形.

綜上，以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，當(dāng)四邊形DMPN為菱形時，點N的坐標(biāo)為

另解思考：如圖5，也可先從直線PQ的解析式入手，設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），且過點H（-1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b.-k+b=0，則b=k，則y=kx+k.由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有x1+x2=-2+3k.y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2.由于點M是線段PQ的中點，所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式得點

假設(shè)存在這樣的N點，則直線DN∥PQ.設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k-3.

二、導(dǎo)向之思與命題商榷

靜心演算之后，筆者深感這道試題的繁雜，根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗，若非人群中前5%的優(yōu)秀學(xué)生，要想在考場限時獨立的背景下圓滿解題是很難的.特別是第（3）問，如果熟悉高中階段解析幾何中的中點坐標(biāo)公式、直線與拋物線交點的靈活處理等“高位知識”，則可以快速獲得思路貫通，進(jìn)入運算求解，使得“多想少算”的命題追求大打折扣.以下本著個人命題研究的興趣，圍繞該考題給出變式改編.

改編題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y= a（x+1）2-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點頂點為D.

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）在拋物線的對稱軸上取點G，當(dāng)△BCG的周長最小時，求點G的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H，拋物線上有一點P，若直線PH將四邊形ABCD的面積分成3∶7兩部分，求點P的坐標(biāo).

改編意圖：將原考題第（3）問刪減，主要是原問過分鏈接拓展了高中階段的解析內(nèi)容，如果僅從初中階段教材上的解法來處理，又顯得力量不夠.而將原題的第（2）問進(jìn)行適度放開，使得點P有4個可能的位置，也達(dá)到了區(qū)分選拔的功能.

三、結(jié)束語

綜合題命制是一個經(jīng)典話題，初中數(shù)學(xué)考卷解答題的最后一道通常是大綜合，往往選擇一個開闊的平臺，融入一些新的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)，漸次生長，拓展挑戰(zhàn)，供高層次學(xué)生展示解題實力.就本文想表達(dá)的觀點來看，在增設(shè)條件或增加解題層次時，一定要注意恰到好處，而不能陷入“惡性生長”的無度地步，那樣既影響了試題的內(nèi)容效度，也影響教學(xué)導(dǎo)向和數(shù)學(xué)面貌.從這個意義上說，茲事體大，而非細(xì)節(jié)，也非小事，不容忽視.

1.王東.從“形聚”到“神似”：大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.Z