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        恰到好處:談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

        2016-11-24 01:34:16江蘇省連云港市黑林中學(xué)許銀銀
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年10期
        關(guān)鍵詞:命制壓軸菱形

        ☉江蘇省連云港市黑林中學(xué) 許銀銀

        恰到好處:談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

        ☉江蘇省連云港市黑林中學(xué)許銀銀

        中考?jí)狠S題承載了區(qū)分選拔功能,命題組專家們常常要根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和大樣本下學(xué)情的了解,設(shè)計(jì)出有難度、富有挑戰(zhàn)的壓軸題.值得多數(shù)人認(rèn)同的壓軸題風(fēng)格是簡(jiǎn)潔好懂、富有生長(zhǎng)、少算多思,又要嚴(yán)守國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的剛性要求.然而每年中考試卷出來(lái)之后,我們總能見(jiàn)到有些地區(qū)由于命題組的“個(gè)人喜好”,置教學(xué)導(dǎo)向和課標(biāo)要求于不顧,無(wú)度鏈接高中解析幾何的知識(shí)點(diǎn),使得提前補(bǔ)充過(guò)高中階段解析幾何性質(zhì)的考生“沾了大光”,而嚴(yán)守課標(biāo)的師生陷入初中繁雜解法的構(gòu)造與運(yùn)算之中.本文關(guān)注一道2016年壓軸題,先給出思路突破,再跟進(jìn)命題商榷和變式打磨.

        一、考題及思路突破

        考題(2016年四川成都)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=a(x+1)2-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn),點(diǎn)Q在y軸的右側(cè).

        圖1

        (1)求a的值及點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

        (2)當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分時(shí),求直線l的函數(shù)表達(dá)式.

        (3)當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí),設(shè)PQ的中點(diǎn)為M,點(diǎn)N在拋物線上,則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否成菱形?若能,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        思路突破:

        (2)在進(jìn)入面積比為3∶7的兩部分的探索之前,先算出四邊形ABCD的面積.由于拋物線的解析式在上一問(wèn)中已明確為可很快確定頂點(diǎn)所以

        接下來(lái)利用直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分,分析可知直線l只能與邊AD或BC相交,所以有兩種情況:①如圖2,直線l與AD交于點(diǎn)M;②如圖3,直線l與BC交于點(diǎn)M.

        圖2 

        圖3 

        由于直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7,所以其中一部分面積為四邊形ABCD面積的即在圖2或圖3中,△AMH、△BMH的面積為3,即AH、BH邊上的高為2.以下分類說(shuō)明.

        情況1:如圖2,當(dāng)直線l與AD交于點(diǎn)M時(shí),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,由上面的分析,可得MN=2.利用MN∥DH帶來(lái)的△AMN~△ADH,得比例式,可解得AN=2,ON=2,則M(-2,-2).設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,由于l過(guò)M(-2,-2)、H(-1,0),則解得所以直線l的解析式為y=2x+2.

        情況2:如圖3,當(dāng)直線l與BC交于點(diǎn)M時(shí),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,則類似地,利用△BMN~△BCO,得,則所以所以設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,由于l過(guò)H(-1,0),則解得即直線l的解析式為

        另解反思:由上面的分析,還可將兩種情況統(tǒng)一在圖4中,作直線y=-2交AD、BC于M1、M2,這也是兩個(gè)符合要求的點(diǎn)M.

        圖4 

        圖5 

        (3)構(gòu)造圖5這樣的可能的圖形輔助分析.

        由線段PQ的中點(diǎn)為M,四邊形DMPN若為菱形,有DN∥=MQ.設(shè)直線ND的解析式為y=kx+b1,由D(-1,-3),得-3=-k+b1,所以b1=k-3,所以直線ND的解析式為y=kx+ k-3.由,解得xN=3k-1,即N(3k-1,3k2-3).

        類似地,再設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b2.由H(-1,0),得y=kx+k.由得則x1+所以所以.再結(jié)合,可得xM-xN=xQ-xD,即解得所以所以.再驗(yàn)證發(fā)現(xiàn),此時(shí)DN∥PM且四邊形DMPN為菱形.

        綜上,以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形,當(dāng)四邊形DMPN為菱形時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)為

        另解思考:如圖5,也可先從直線PQ的解析式入手,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),且過(guò)點(diǎn)H(-1,0)的直線PQ的解析式為y=kx+b.-k+b=0,則b=k,則y=kx+k.由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,有x1+x2=-2+3k.y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2.由于點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn),所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)

        假設(shè)存在這樣的N點(diǎn),則直線DN∥PQ.設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k-3.

        二、導(dǎo)向之思與命題商榷

        靜心演算之后,筆者深感這道試題的繁雜,根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),若非人群中前5%的優(yōu)秀學(xué)生,要想在考場(chǎng)限時(shí)獨(dú)立的背景下圓滿解題是很難的.特別是第(3)問(wèn),如果熟悉高中階段解析幾何中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與拋物線交點(diǎn)的靈活處理等“高位知識(shí)”,則可以快速獲得思路貫通,進(jìn)入運(yùn)算求解,使得“多想少算”的命題追求大打折扣.以下本著個(gè)人命題研究的興趣,圍繞該考題給出變式改編.

        改編題:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y= a(x+1)2-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為D.

        (1)求四邊形ABCD的面積;

        (2)在拋物線的對(duì)稱軸上取點(diǎn)G,當(dāng)△BCG的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);

        (3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H,拋物線上有一點(diǎn)P,若直線PH將四邊形ABCD的面積分成3∶7兩部分,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

        改編意圖:將原考題第(3)問(wèn)刪減,主要是原問(wèn)過(guò)分鏈接拓展了高中階段的解析內(nèi)容,如果僅從初中階段教材上的解法來(lái)處理,又顯得力量不夠.而將原題的第(2)問(wèn)進(jìn)行適度放開(kāi),使得點(diǎn)P有4個(gè)可能的位置,也達(dá)到了區(qū)分選拔的功能.

        三、結(jié)束語(yǔ)

        綜合題命制是一個(gè)經(jīng)典話題,初中數(shù)學(xué)考卷解答題的最后一道通常是大綜合,往往選擇一個(gè)開(kāi)闊的平臺(tái),融入一些新的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì),漸次生長(zhǎng),拓展挑戰(zhàn),供高層次學(xué)生展示解題實(shí)力.就本文想表達(dá)的觀點(diǎn)來(lái)看,在增設(shè)條件或增加解題層次時(shí),一定要注意恰到好處,而不能陷入“惡性生長(zhǎng)”的無(wú)度地步,那樣既影響了試題的內(nèi)容效度,也影響教學(xué)導(dǎo)向和數(shù)學(xué)面貌.從這個(gè)意義上說(shuō),茲事體大,而非細(xì)節(jié),也非小事,不容忽視.

        1.王東.從“形聚”到“神似”:大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(9).

        2.周紅娟.開(kāi)放與放開(kāi):概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說(shuō)起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(8).Z

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