☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)　陳　剛

例析線性規(guī)劃中常見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)陳剛

線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)必修5不等式章節(jié)中的內(nèi)容，高考中常見(jiàn)的問(wèn)題類型有關(guān)于目標(biāo)函數(shù)最值求解、目標(biāo)函數(shù)取值范圍、約束條件中參數(shù)范圍、整點(diǎn)問(wèn)題和可行域面積等一類.其中前兩類是有關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的問(wèn)題是各種考試中出現(xiàn)頻率較高的類型.對(duì)于這類問(wèn)題有兩個(gè)難點(diǎn)：其一，識(shí)別問(wèn)題中線性規(guī)劃的問(wèn)題本質(zhì)，出題人考查線性規(guī)劃，并不死板直接給出線性壓縮條件來(lái)求解目標(biāo)函數(shù)取值，而是給線性規(guī)劃加一層“外衣”讓學(xué)生無(wú)法直接判定利用線性規(guī)劃解決；其二，判別目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于這類問(wèn)題另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的類型，以便采取相對(duì)應(yīng)的策略，而對(duì)學(xué)生而言，很難想出行之有效的方法來(lái)處理目標(biāo)函數(shù)，其關(guān)鍵原因是他們無(wú)法判別目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.掃描線性規(guī)劃中與目標(biāo)函數(shù)取值相關(guān)的問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有z=2等幾種形式.觀察這幾個(gè)式子的形式特征，其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子都有其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分別對(duì)應(yīng)面積模型、斜率模型、截距模型和點(diǎn)距模型.文章試圖以理論與實(shí)例結(jié)合的方式來(lái)闡述線性規(guī)劃中常見(jiàn)的四種目標(biāo)函數(shù).

一、z=xy：面積模型

理論分析：目標(biāo)函數(shù)z=xy中的x，y分別代表了可行域中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，從幾何學(xué)的角度來(lái)看，x與y乘積的幾何意義是坐標(biāo)軸與點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)線圍成的矩形的面積.當(dāng)x與y之間存在一定的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以利用這個(gè)等量關(guān)系進(jìn)行消元，將目標(biāo)函數(shù)中的兩個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于x或y的表達(dá)式，從而通過(guò)求解函數(shù)取值范圍的方式來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值或取值范圍.

解析：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減表明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上小于0恒成立，因此，本題可表達(dá)成導(dǎo)函數(shù)f′（x）≤0在區(qū)間上恒成立，從而可列出關(guān)于m和n的不等關(guān)系式，以此不等關(guān)系式為線性壓縮條件畫出可行域，并尋找目標(biāo)函數(shù)k=mn的最優(yōu)解.

導(dǎo)函數(shù)f′（x）=（m-2）x+n-8，明顯導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)或常數(shù)，要求導(dǎo)函數(shù)f′（x）≤0在區(qū)間上恒成立，即保證其最大值為小于等于0，所以保證f′（2）和同時(shí)小于0，即以此為線性壓縮條件，繪制如圖1所示的可行域.顯然，此線性規(guī)劃的最優(yōu)解應(yīng)當(dāng)在兩條直線上.兩條直線的交點(diǎn)為（2，8），所以當(dāng)m∈（0，2）時(shí)，mn=9m-當(dāng)m∈（2，6）時(shí)，mn=12m-2m2，mn可以寫成分段函數(shù)的形式：mn=此分段函數(shù)在m=3時(shí)取最大值18.

圖1　

實(shí)例說(shuō)明：（2012年江蘇高考14題）正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，求的取值范圍.

解析：由于a，b，c均為正數(shù)，所以將題設(shè)中不等式同時(shí)除以c，可得，而換元后原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組畫圖2所示的可行域可看成看成可行域中的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成直線的斜率，圖形可知當(dāng)直線與y≥ex相切時(shí)斜率最小為e，當(dāng)直線過(guò)兩條直線交點(diǎn)（0.5，3.5）時(shí)斜率最大為7，所以

圖2　

三、z=mx+ny（n≠0）：截距模型

理論分析：將目標(biāo)函數(shù)z=mx+ny（n≠0）的表達(dá)形式略作調(diào)整變形為，此時(shí)可將z看作是直線y=的縱截距相關(guān)的量，要求z的取值范圍（或最值），即求直線縱截距在線性壓縮條件下的取值范圍（或最值）.需要注意的是當(dāng)n為正數(shù)時(shí)，z的最大值在縱截距最大時(shí)取，最小值在縱截距最小時(shí)??；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)，z的最大值在縱截距最小時(shí)取，最小值在縱截距最大時(shí)取.

實(shí)例說(shuō)明：（2014年合肥校級(jí)模擬）定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且對(duì)任意a∈R都有f（-a）+f（a）=0，若x，y滿足不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，求z= 2x-y的最大值和最小值的最優(yōu)解.

解析：由y=f（x）對(duì)任意a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知y=f（x）為定義在R上的奇函數(shù).又f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0，所以f（x2-2x）≤f（y2-2y）.因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的減函數(shù)，所以x2-2x≥y2-2y，整理后可得（x+y-2）（x-y）≥0，線性壓縮條件為得圖3所示的可行域.將目標(biāo)函數(shù)改寫成y=2x-z，因此，當(dāng)z取最大值10時(shí)，最優(yōu)解為（4，-2），z取最大值1時(shí)，最優(yōu)解為（1，1）.

圖3　

四、z=（x-a）2+（y-b）2：點(diǎn)距模型

理論分析：目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)形式與解析幾何中兩點(diǎn)之間距離公式相似，所以目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可解讀為兩點(diǎn)之間距離的平方.因此，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的幾何意義，可以將目標(biāo)函數(shù)理解成可行域中的任意一點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（a，b）之間的距離的平方，對(duì)于這種與兩點(diǎn)之間距離公式相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，我們將其的數(shù)學(xué)原型稱為點(diǎn)距模型.

實(shí)例說(shuō)明：（2014年?yáng)|港區(qū)校級(jí)模擬）已知方程x2+ ax+2b=0（a，b∈R）一根在區(qū)間（0，1）之間，另一根在區(qū)間（1，2）之間，求z=（a+3）2+b2的取值范圍.

解析：令f（x）=x2+ax+2b，由實(shí)根分布的知識(shí)可知，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）代表f（0）>0， f（1）<0，f（2）>0三者同時(shí)成立，即

以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，畫出可行域，如圖4，當(dāng)a=-1，b=0時(shí)，zmax=4；當(dāng)a=-2.5，b=0.5時(shí)，zmin=0.5.由于邊界取不到，所以z∈（0.5，4）.

回顧上述幾道典型的例題可以發(fā)現(xiàn)每道題都不是直接給定可行域，而是以另外一種知識(shí)背景出現(xiàn)，然后回歸到線性規(guī)劃的本質(zhì).因此，數(shù)學(xué)問(wèn)題常常會(huì)帶有一定的偽裝性，為了讓學(xué)生不能夠直接判斷要使用哪一種類型的知識(shí)點(diǎn)，出題人常常會(huì)為試題帶上一些“面具”，例如上文四例就分別以導(dǎo)數(shù)、不等式、函數(shù)性質(zhì)和實(shí)根分布表面知識(shí)為背景，來(lái)考查線性規(guī)劃的本質(zhì).然而這恰恰是數(shù)學(xué)美麗的地方，靈活多變的外表卻隱藏著同一個(gè)本質(zhì).

圖4　

1.張紅菊.剔除干擾因素還原本來(lái)面目——不同視角下線性規(guī)劃問(wèn)題的求解［J］.高中數(shù)理化，2015（19）.