☉江蘇省泰興市第四高級中學　肖雪平

例說數(shù)學思想在高中數(shù)學解題中的運用

☉江蘇省泰興市第四高級中學肖雪平

函數(shù)是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，高中數(shù)學大部分章節(jié)都涉及函數(shù)或函數(shù)思想方法，是高中數(shù)學的一條主線.縱觀中學數(shù)學，可謂是以函數(shù)為中心，以函數(shù)為綱，“綱舉目張”，抓住了函數(shù)這個“綱”就帶動起了中學數(shù)學的“目”.即使對函數(shù)極限、導數(shù)的研究，也完全是以函數(shù)為對象、為中心的.熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ).善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵.在教學中，若能根據(jù)題設(shè)特點，靈活地運用相應(yīng)的數(shù)學思想，往往能化難為易，化繁為簡，從而優(yōu)化解題過程，達到培養(yǎng)思維的目的.

一、方程思想

方程思想，就是分析數(shù)學問題中的變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組；或者運用方程的性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)化，使問題獲得解決.

例1已知數(shù)列｛an｝滿足an+2=an+1-an，a1=1，a2=2，求

解：記f（n）=an，則有f（n+2）=f（n+1）-f（n），對于函數(shù)f（x），若有f（x+2）=f（x+1）-f（x），則有f（x+3）=f（x+2）-f（x+ 1），將上面兩式相加，則有f（x+3）=-f（x），（*）即有f（x+6）= -f（x+3）=-（-f（x））=f（x），因此可知函數(shù)f（x）的周期為6，可知數(shù)列｛an｝的周期也為6，而且借助（*）可求得f（x）+ f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）+f（x+4）+f（x+5）=0，所以對于數(shù)列｛an｝，也有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，所以S2013=a1+a2+a3=a1+a2+（a2-a1）=2a2=4.

點評：本題是通過對數(shù)列的各項之間的規(guī)律的探究，構(gòu)造函數(shù)來發(fā)現(xiàn)周期性，并將周期性運用到數(shù)列前n項和的求解中，使得求解直觀而且簡便，這體現(xiàn)了函數(shù)思想的在數(shù)列求解問題中的作用，根據(jù)題設(shè)條件靈活地構(gòu)建方程是解決本題的關(guān)鍵.

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中最基本的思想方法，是指在解決問題時，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學學科的一個特有的思想方法.化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，將復雜問題化歸為簡單問題，達到最終解決問題的目的.

例2若關(guān)于x的不等式（2x-1）2

分析：對不等式（2x-1）2

（一）代數(shù)法（解一次、二次不等式，研究解的個數(shù)）

方法1：由題意可知，a>0，

若a≥4，x有無數(shù)解，舍去；

當x=0時，x無解，舍去.

方法2：將不等式（2x-1）2

要使恰有3個整數(shù)解，

（二）幾何法（數(shù)形結(jié)合，用基本函數(shù)圖像研究解的個數(shù)）

方法3：設(shè)f（x）=（2x-1）2，g（x）=ax2.

當a=0時，y=g（x）表示x軸，舍去.

當a<0時，y=g（x）表示開口向下，對稱軸為y軸的二次函數(shù)圖像，舍去.

當a>0時，y=g（x）表示開口向上，對稱軸為y軸的二次函數(shù)圖像，由ax2>（2x-1）2，得g（x）>f（x），即恰有3個整數(shù)x值，使得g（x）的圖像在f（x）圖像的上方，

圖1　

方法4：研究不等式ax2>（2x-1）2.

當x=0時，不滿足，舍去.

圖2　

則g（3）

方法5：研究不等式ax2>（2x-1）2.

當x=0時，不滿足，舍去.

圖3　

方法6：研究不等式ax2>（2x-1）2.

由題意可知，a>0.

當x=0時，不滿足舍去.

圖4　

如圖4，

點評：對于代數(shù)法可以通過化歸，避免討論；對于幾何法更要通過化歸轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，并利用函數(shù)圖像解決問題.在方法3、4、5、6中，化歸程度層層遞進，化歸得越徹底，得到的基本函數(shù)圖像越容易，解答也就越簡單.函數(shù)不斷等價轉(zhuǎn)化的過程，正是數(shù)學思維力的體現(xiàn).

化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合是高中的重要思想方法，我們將陌生的函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，將復雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)，然后通過研究基本函數(shù)圖像，找到解題的路徑.層層轉(zhuǎn)化，化繁為簡需要學生有扎實的基本功，敏銳的觀察力和解題時的一絲靈感.

三、分類與整合思想

根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性相同點和不同點，確定劃分標準進行分類，然后對每一類進行求解，科學合理的分類以互質(zhì)、無漏、最簡為原則.

（1）求f（x）在［0，+∞）內(nèi)的最小值；

（2）設(shè)曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=，求a，b的值.

解：（1）設(shè)t=ex（t≥1），

點評：本題是考查函數(shù)、導數(shù)的基礎(chǔ)知識，需要分類討論、化整為零，各個擊破從而求出答案.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，與抽象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.

例4f（x）為R上的奇函數(shù)且x∈［0，2］時，f（x）單調(diào)遞增，對x∈R有f（x+4）=-f（x），g（x）=m（m＞0），設(shè)f（x）= g（x）在［-8，8］上有四個根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= ______.

解：作出f（x）在［-2，2］上的圖像，再由f（x+4）=-f（x）知，T=8.由f（x+2）=f（2-x）知，對稱軸x=2，作出f（x）在［2，6］上圖像，則得到f（x）在［-2，6］（在一個周期）內(nèi)的圖

像，左、右平移得［-8，8］上的圖像如圖5所示.

圖5　

整個問題置于圖像中即為整體觀的運用，雖然x1，x2，x3，x4隨直線g（x）=m的移動存在變化性，但x1+x2=2×（-6），x3+x4=2×2則始終不變，故x1+x2+x3+x4=-8.

點評：本題若利用代數(shù)法是不可能求出α與β的值，從而不能求出α+β的值，而運用數(shù)形結(jié)合思想可以間接巧妙地求出α+β的值.

五、特殊與一般的思想

特殊性寓于普遍性之中，具體問題、具體分析，通過特例分析，往往能獲得解題的重要信息，達到減縮思維過程，降低推算難度的目的.

點評：考慮本題是選擇題，a、b是用字母表示的數(shù)，我們不妨用特殊值來研究，答案來得簡單.

總之，數(shù)學思想是從數(shù)學內(nèi)容提煉出來的數(shù)學知識精髓.只有運用數(shù)學思想方法，考查函數(shù)概念、性質(zhì)及導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)極值、函數(shù)單調(diào)性、零點，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，才能使數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為分析問題，解決問題的能力，才能體現(xiàn)數(shù)學學科特點，才能形成優(yōu)秀數(shù)學素養(yǎng).