朱裕華

[摘 要]從數(shù)學(xué)理解入手，提高概念的理解水平，應(yīng)聚焦概念的本質(zhì)，從外延向內(nèi)涵推進(jìn)，突出核心概念的思維建構(gòu)過(guò)程；由數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)，從表面向深層發(fā)展，突出思想方法的領(lǐng)悟和應(yīng)用過(guò)程。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)理解 概念 數(shù)學(xué)本質(zhì) 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)思想

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）23-028

“數(shù)學(xué)理解的核心是對(duì)基本概念及其所反映的數(shù)學(xué)思想方法的理解。”從數(shù)學(xué)理解入手，提高概念的理解水平，應(yīng)成為新課程背景下概念教學(xué)的應(yīng)然追求。那么，數(shù)學(xué)概念課到底應(yīng)傳遞給學(xué)生什么樣的數(shù)學(xué)理解呢？我經(jīng)過(guò)實(shí)踐認(rèn)為，只有善于抓住概念的核心內(nèi)涵和思想方法，更多地呈現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，才能使學(xué)生的認(rèn)知更生動(dòng)、更完整、更靈活、更深刻。下面，談?wù)勎覍?duì)“正比例的意義”一課的教學(xué)實(shí)踐與思考。

一、有效載體——促概念從外延到內(nèi)涵的推進(jìn)

對(duì)概念的理解，首先是內(nèi)涵和外延的有效表達(dá)。概念的內(nèi)涵就是概念對(duì)事物的特有屬性的反映，外延就是具體的概念所反映的特有屬性的那些事物。

如教材呈現(xiàn)如下圖：

解讀教材，“兩種相關(guān)聯(lián)的量”是判斷正比例關(guān)系的必要前提，由此可認(rèn)為，“變化的量之間的關(guān)系”應(yīng)為這一概念的外延，“比值一定”則是正比例關(guān)系的核心。然而，“教材無(wú)非是個(gè)例子”，僅以這樣一個(gè)正面的例子就想讓學(xué)生理解正比例意義的概念顯然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這也正是很多教師所犯的錯(cuò)誤。課堂教學(xué)中唯教材是尊，僅以本為本，缺少概念外延到內(nèi)涵推進(jìn)的有效載體，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法完整地經(jīng)歷概念形成的一般過(guò)程。

1.提供豐富的生活素材

教師應(yīng)創(chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)、利用教學(xué)資源，提供豐富的學(xué)習(xí)素材，挖掘隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的豐富內(nèi)涵。因此，在本課教學(xué)內(nèi)容的選擇和呈現(xiàn)上，我給學(xué)生提供的學(xué)習(xí)素材均來(lái)自于學(xué)生身邊的生活例子，如汽車行駛的路程和時(shí)間變化、摩天輪乘坐的時(shí)間和高度的變化、購(gòu)物時(shí)總價(jià)和數(shù)量的變化等，并改變?cè)滩闹袉我坏谋砀袷匠尸F(xiàn)，使內(nèi)容更加生動(dòng)有趣。這些學(xué)習(xí)素材貫穿于每一個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)中，是學(xué)生研究規(guī)律的具體載體，也是實(shí)現(xiàn)概念意義構(gòu)建的有效載體。

2.經(jīng)歷完整的建構(gòu)過(guò)程

課堂教學(xué)中，教師應(yīng)抓住知識(shí)間的脈絡(luò)，把握概念間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生有層次地經(jīng)歷概念的建構(gòu)過(guò)程。

（1）分類感知，弄清研究范圍。

認(rèn)識(shí)相關(guān)聯(lián)的量是判斷正比例的前提條件。通過(guò)對(duì)素材的初步觀察，使學(xué)生理解路程隨著時(shí)間的變化而變化，路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，并用這樣的判斷方法遷移至其他兩種量是不是相關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從新的角度重新審視和理解一些常見(jiàn)的變化的量。

（2）引領(lǐng)點(diǎn)撥，明確研究主題。

通過(guò)對(duì)素材的深入研究，使學(xué)生充分感受到路程和時(shí)間之間的聯(lián)系與變化，能從變化的量中找到不變的量，經(jīng)歷尋找和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的完整過(guò)程，初步了解路程和時(shí)間這兩種量的特殊關(guān)系模型，進(jìn)而明確研究的主題，為后面的自主研究提供范式。

（3）比較分析，自主構(gòu)建概念。

繼續(xù)利用這些素材，讓學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)的各種規(guī)律，然后篩選、剝離出與路程和時(shí)間的變化規(guī)律不同的例子，提煉例子中共同的變化規(guī)律，逐步逼近概念的內(nèi)涵。

教學(xué)片斷：自主探究，發(fā)現(xiàn)共性特征

師：在這些圖表（略）中，哪幾組量的變化規(guī)律與路程和時(shí)間的變化規(guī)律是完全一致的？你會(huì)排除哪些？ 同時(shí)說(shuō)明理由。

生1：我會(huì)排除圖二，因?yàn)閳D二中時(shí)間和高度的變化方向是不一致的。

生2：我會(huì)排除表五中面積和邊長(zhǎng)的關(guān)系，因?yàn)槊娣e和邊長(zhǎng)的比值不一定。

生3：我還會(huì)排除表四，因?yàn)榘职值哪挲g和小明的年齡是差一定，而不是比值一定。

師：那剩余的兩張表中兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律與路程和時(shí)間的變化規(guī)律一樣嗎？你能說(shuō)說(shuō)它們?cè)谧兓^(guò)程中有什么相同的地方嗎？

生4：都有兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也跟著變化；兩種量的變化方向一致；兩種量相對(duì)應(yīng)的比的比值一定。

師（揭示）：當(dāng)兩種量具有這樣的關(guān)系時(shí)，我們就說(shuō)這兩種量成正比例關(guān)系。這也是正比例的意義。

……

（4）提煉模型，明晰本質(zhì)屬性。

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合正比例的例子理解正比例的意義，并再次通過(guò)反例，使學(xué)生明確正比例意義的判斷要素，進(jìn)一步凸顯正比例意義的本質(zhì)屬性，即比值一定，由此提煉出正比例關(guān)系的模型，即y / x=k（一定）。

教學(xué)片斷：凸顯核心特征，提煉正比例模型

師：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，路程也隨著變化，當(dāng)路程和時(shí)間相對(duì)應(yīng)的比的比值總是一定（也就是速度）時(shí)，我們就說(shuō)路程和時(shí)間成正比例關(guān)系，路程和時(shí)間就是成正比例的量。

師：你也能像老師一樣來(lái)說(shuō)說(shuō)總價(jià)和數(shù)量的關(guān)系嗎？[隨著學(xué)生交流，師板書：鉛筆 / 數(shù)量=單價(jià)（一定）]

師：周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例關(guān)系嗎？為什么？[板書：周長(zhǎng) / 邊長(zhǎng)=4（一定）]（生答略）

師：那剛才圖二中高度和時(shí)間成正比例嗎？為什么？表四中爸爸的年齡和小明的年齡成正比例嗎？表五中正方形的面積和邊長(zhǎng)呢？（生答略）

師：看來(lái)，判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是不是成正比例，必須符合哪些條件？（明確判斷要素：相關(guān)聯(lián)的量，變化方向一致，比值一定）其中最主要的特征又是什么？（板書：比值一定，只要比值一定，前兩個(gè)條件也必然符合了）

師：如果用x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子表示？[板書：y / x=k（一定）]

……

教學(xué)實(shí)踐表明，豐富的學(xué)習(xí)素材，使學(xué)生經(jīng)歷“變化的量——兩種相關(guān)聯(lián)的量——一變化方向一致——不變的量——比值一定……y / x=k（一定）”的正比例意義的構(gòu)建過(guò)程。

二、數(shù)形結(jié)合——促概念從表面到深層的理解

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，促進(jìn)概念理解從表面到深層的躍進(jìn)。

1.幾何直觀，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)過(guò)程

第一次教學(xué)，我和學(xué)生從對(duì)左下圖的靜態(tài)觀察，發(fā)現(xiàn)橫軸在變化——表示時(shí)間在推移，縱軸在變化——表示路程在變化，由此猜想“時(shí)間和路程的變化，路程隨著時(shí)間的變化而變化”。但是，細(xì)細(xì)想來(lái)，這樣的變化難道僅僅體現(xiàn)在橫軸和縱軸上嗎？顯然不止。

“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。”要突破這一認(rèn)知局限，僅靠靜態(tài)的想象是不夠的，我認(rèn)為要讓變化過(guò)程“動(dòng)”起來(lái)，就必須借助直觀演示。因此，第二次教學(xué)，在學(xué)生認(rèn)識(shí)“時(shí)間在變化，路程也隨著變化”后，我先通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示橫軸上的時(shí)間點(diǎn)與直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)同時(shí)、連續(xù)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，再演示縱軸上的路程點(diǎn)與直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)同時(shí)、連續(xù)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，接著演示對(duì)應(yīng)于直線上的一個(gè)點(diǎn)及路程和時(shí)間同時(shí)、連續(xù)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程（如上右圖）。由最初的靜態(tài)觀察改為現(xiàn)在的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，化靜為動(dòng)，讓學(xué)生直觀、形象地感受到時(shí)間和路程的變化，深刻認(rèn)識(shí)相關(guān)聯(lián)的量，為后面研究對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間之間的關(guān)系做好準(zhǔn)備。

2.一一對(duì)應(yīng)，滲透函數(shù)思想

教學(xué)片斷：探究?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律

師：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，那路程是怎樣隨著時(shí)間的變化而變化的呢？你能找到哪些變化規(guī)律呢？

生：時(shí)間在增加，路程也在增加。

師：能具體說(shuō)說(shuō)嗎？

學(xué)生由對(duì)圖像的觀察轉(zhuǎn)到對(duì)表格的分析，發(fā)現(xiàn)一：隨著這些點(diǎn)的變化，每個(gè)點(diǎn)所表示的時(shí)間在增加，相對(duì)應(yīng)的路程也在增加，時(shí)間和路程是同時(shí)增加的，它們的變化方向是一致的；反過(guò)來(lái)看也如此。發(fā)現(xiàn)二：可以計(jì)算每個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比值，發(fā)現(xiàn)比值不變。

……

數(shù)學(xué)思想方法是形成數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的靈魂。對(duì)圖中規(guī)律的觀察，我的教學(xué)定位是通過(guò)研究直線上的點(diǎn)，找到每個(gè)點(diǎn)所表示的時(shí)間和它對(duì)應(yīng)的路程。通過(guò)這些變化的點(diǎn)的研究，不僅可以發(fā)現(xiàn)變化方向一致，更主要的是能發(fā)現(xiàn)不變的量，而要發(fā)現(xiàn)這個(gè)不變的量，則要利用以前學(xué)過(guò)的比的知識(shí)，將研究目光聚焦到路程和它對(duì)應(yīng)的時(shí)間的比的比值的研究上。“變化”“不變”“對(duì)應(yīng)”“比值”這些關(guān)鍵詞即研究要素，從對(duì)圖上點(diǎn)的直觀理解到對(duì)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的數(shù)據(jù)分析，從“變化”中發(fā)現(xiàn)“不變”，即對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比值一定。這樣教學(xué)，使圖像、表格、式子在研究中實(shí)現(xiàn)了有效承接與轉(zhuǎn)化，初步滲透了函數(shù)思想。

3.數(shù)形轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)回歸和超越

教學(xué)片斷：成正比例的量圖像特征的猜想

師（出示表三、表五，略）：這是成正比例的兩組量，表中的各組數(shù)據(jù)可以用圖中的點(diǎn)來(lái)表示，想象一下，如果連接圖中各點(diǎn)，會(huì)是什么形狀？

生：會(huì)是一條直線。

（課件演示，發(fā)現(xiàn)確實(shí)是一條直線）

師：成正比例的兩個(gè)量除了比值一定外，是不是還有其他特征呢？我們下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)！

……

在課的結(jié)尾由已經(jīng)判斷確認(rèn)的兩個(gè)成正比例量的例子，通過(guò)描點(diǎn)、猜想、連線，使學(xué)生對(duì)正比例的特征產(chǎn)生新的探究欲望，從而對(duì)正比例圖像的特征產(chǎn)生初步的猜想。

總之，教師不僅要在揭示概念的內(nèi)涵上下工夫，而且要從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué)，這樣才能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，使學(xué)生獲得所學(xué)的知識(shí)。

（責(zé)編 藍(lán) 天）