安徽省教育科學研究院　　李院德　　(郵編：230001)

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復習

2016年安徽省數學學科調研性試題分析與備考建議

安徽省教育科學研究院李院德(郵編：230001)

摘要為了加強對高考使用全國卷背景下高中數學教學的指導，安徽省教科院組織學科專家研制了數學學科調研性測試題.根據測試情況，以及對具體試題的分析，就如何做好高三數學復習教學進行了若干思考，對備考工作提出一些建議.

關鍵詞全國卷；調研試題；備考建議

2016年安徽省數學學科調研性試題分文、理科，各五道大題，分別是解答題第17題，第21題，以及選做題第22題，第23題和第24題，重點就數列、導數、選修4-1、4-4和4-5等內容進行了考查.

1試題的總體特點

此次安徽省數學調研性試題的命制，主要依據《2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》的要求，參照高考全國卷Ⅰ的命題風格，充分考慮“安徽卷”與“全國卷”考查重點的不同，特別關注我省普通高中數學教學的實際情況.

在題型與難度方面，試題兼顧了傳承與創(chuàng)新的關系.在確保科學性與規(guī)范性的前提下，試題注重基礎知識、基本方法、數學思想和數學能力的考查.通過測試學校反饋的情況看，學生在答題過程中出現的錯誤和問題具有一定的共性，反映了我省高考數學復習存在著一些不足，這表明調研性試題具有很好的測試和反饋功能，既讓高三師生初步感知了“全國卷”的要求，又為下一步高考復習提升效益指引了方向.

2數據分析

2.1數據來源

為了確保數據的科學性、有效性和準確性，筆者隨機選取了一所普通高中使用調研性試題進行了測試，從該校698名理科學生中隨機抽取195人、262名文科學生中隨機抽取122人，對他們的答題情況進行了分析.

2.2數據統(tǒng)計

表1　理科測試情況

表2　文科測試情況

3試題分析

3.1對第17題的分析

圖1　理科第17題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問可以通過函數的奇偶性確定零點，從而得到遞推公式.根據遞推公式可求通項公式.主要失分原因有：

(1)由于綜合考查了函數與數列的相關知識，不少學生不會分析解決問題的途徑；

(2)部分學生雖然得到了遞推公式，卻不會由遞推公式求通項公式，或者在求解過程中運算錯誤；

(3)幾乎沒有同學考慮到求出通項公式后還需要進行檢驗，反映出了思維的嚴密性有待提高.

第(Ⅱ)問失分的主要原因是：部分學生沒能發(fā)現新數列的特點(分子正好是分母中兩項的差)，這也是正確解決問題的關鍵.

圖2　文科第17題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問根據

第(Ⅱ)問失分原因與理科相同.

復習建議從近五年高考全國Ⅰ卷看，理科2011、2014、2015和文科2011、2014年第(17)題均是數列題，主要考查了數列的定義、通項公式，以及特殊數列前n項和.建議二輪復習要夯實基礎，重點讓學生掌握好等差、等比數列的定義、性質，通項公式和前n項和公式.加強基本技能的訓練，如利用遞推公式求數列通項公式的常見方法，以及常用的求和方法(如錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等).同時，要注重培養(yǎng)學生的運算求解和推理論證的能力.

3.2對第21題的分析

圖3　理科第21題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問對函數求導，問題轉化為對含參方程在(0，+)內有根的討論.暴露的問題有：(1)公式不熟，求導錯誤；(2)分類討論時出現錯誤；(3)僅僅說明函數單調區(qū)間，沒有指出極值點.

第(Ⅱ)問可以說是調研性試題的壓軸一小問.許多學生對其敬而遠之，主要原因是學生思維的抽象能力不強，理性思維深度不夠，難以發(fā)現問題的本質.另外，也與時間不夠和畏難情緒有關.

文科第21題已知函數f(x)=xlnx+ax2.

(Ⅰ)若f(x)在定義域內為單調遞減函數，求實數a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數f(x)有兩個零點x1、x2,證明：x1·x2>e2.

圖4　文科第21題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問利用導函數來研究函數的單調性，從而求出實數a的取值范圍，是常見的恒成立問題，采用分離變量構造新函數很容易求出正確結果.需要注意的是，一定要在定義域內討論.主要失分原因有：(1)求導出現錯誤；(2)思維的靈活性不夠，沒有想到用分離常數的辦法.

第(Ⅱ)問對欲證不等式作等價變形，再構造函數解決問題.第(Ⅱ)問要求學生能夠靈活運用所學的知識，對學生的創(chuàng)新意識要求較高.與理科的情形相似，絕大多數的同學沒有解答.

復習建議2011-2015年，全國Ⅰ卷導數試題(除2013年文科卷是第20題)所處的位置和難度非常穩(wěn)定，綜合性較強，對學生的數學素養(yǎng)提出了較高的要求.建議在復習中要做好以下幾點：

(1)重視導數在研究函數中的突出地位.不僅要讓學生了解導數的概念和背景，更重要的是要讓學生掌握利用導數的基本知識解決問題(如圖象、單調性、最值、恒成立等問題以及函數的零點) 的一般方法，體會導數的通法作用.

(2)加強運用，培養(yǎng)學生利用導數解決問題的能力.如高考中經常出現的切線問題、含參問題、不等式問題、恒成立等問題.同時注重滲透數形結合、分類討論、化歸轉化等思想，著重提升學生的抽象概括、推理論證、運算求解能力，以及應用意識和創(chuàng)新意識(尤其是構造函數的能力).

3.3選做題分析

對于“三選一”(第22、23和24題)的選做題，絕大多數學生選擇了第23題，反映了學生整體對選修4—4專題掌握較好，也反映出一些學校對選修部分教學存在著一定的偏好，與使用全國卷的有關省份高考選做題情況基本吻合.

第22題(選修4-1：幾何證明選講)如圖，AB是圓O的一條直徑，弦CD垂直于AB,垂足為點G,E是劣弧BD上一點，點E處的切線與CD的延長線交于點P,連接AE,交CD于點F.

(Ⅰ)求證：PE=PF；

(Ⅱ)求證：DF·CF=2GF·PF.

圖6　第22題理科學生得分情況的頻率分布直方圖

圖7　第22題文科學生得分情況的頻率分布直方圖

試題分析整體來說，這道題得分率比較高.出現的問題主要是：基本定理不太熟悉，不會構造輔助線，或者是對幾何證明有畏難情緒.對于幾何證明選講專題的考查，全國Ⅰ卷近五年來主要考查了四點共圓的判定和性質、射影定理、相交弦定理、弦切角、三角形相似的性質與判定等內容，主要是考查學生的幾何思維與邏輯推理能力，考查學生的幾何直觀與空間觀念.

(Ⅰ)求曲線C1與曲線C3交點的直角坐標；

(Ⅱ)若P是曲線C2上的動點，Q是曲線C3上的動點，求|PQ|的最小值.

圖8　第23題理科學生得分情況的頻率分布直方圖

圖9　第23題文科學生得分情況的頻率分布直方圖

試題分析本題考查直線的參數方程、圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化，求直線與圓的交點坐標，利用點到直線的距離求最值問題，考查轉化化歸和數形結合思想.主要失分原因有：

第(Ⅰ)問部分同學可能是審題不清，漏看了還要求兩條曲線的交點坐標，導致失分；

第(Ⅱ)問部分同學說理不清，僅有數學符號沒有必要的文字加以說明.

近五年來，全國Ⅰ卷對于極坐標與參數方程，主要考查直角坐標方程、參數方程，與極坐標方程的相互轉化，軌跡的參數方程，兩點間的距離公式等問題，目的是為了讓學生掌握曲線的參數方程與極坐標，以及它們之間的相互聯系，有利于學生未來的學習與發(fā)展，難度適中.

(Ⅰ)試比較f(-1)與f(a)的大小；

(Ⅱ)若函數f(x)的圖象和x軸圍成一個三角形，求實數a的取值范圍.

圖10　第24題理科學生得分情況的頻率分布直方圖

試題分析本題考查含絕對值的函數值的大小比較，絕對值函數圖象的特征等基礎知識，以及分類討論思想和運算求解能力.

第(Ⅰ)問比較大小可以考慮作差法，有的同學說理不清楚，直接說是顯然的，而沒有進行作差說明.

第(Ⅱ)問對函數圖象和x軸圍成一個三角形作等價轉化，從而求出a的取值范圍.有的同學分類不清楚，無法找到合適的方法.

近五年來，對于不等式選講，全國Ⅰ卷在2011年、2012年、2013年2015年均考查了含有參數的絕對值不等式，2014年考查了均值不等式，涉及分類討論、數形結合、轉化化歸思想等，難度適中.

復習建議(1)根據學生情況，凸顯選修特色.對于選修內容，教師可根據學生的學習狀況，既可以選擇集中教學，也可以結合學生的學習水平分層教學.教學中應突出“選修”的特色，賦予學生“選”的權利，尊重他們的興趣選擇.在復習時段上可以和必修內容復習相結合，適當把選修內容穿插在必修內容之間， 同時復習過程中要根據復習內容、學生反饋的情況靈活調整，適當處理.

(2)豐富教學形式，重視探究性學習.選修部分內容不多，專題感強，有很好的探究價值.教師在教學和復習中可以分成多個小組，做一些探究性學習活動.

(3)重視考題特點，加強有效訓練.教師要注重高考真題的研究價值和指導意義，可以對歷年的真題進行測驗、講解.在此過程中，要根據學生情況和高考要求，避免過多過難過偏，防止增加學生的學習負擔.

4對高三教學的幾點思考

4.1夯實基礎，構建良好的認知結構

以《考試大綱》為引領，重視對基本知識、基本技能和基本數學方法的教學，充分發(fā)揮教材在高考復習備考中的作用，幫助學生準確理解數學知識，了解知識間的邏輯關系和內在聯系，建構完整、有序的知識網絡，注重從知識整體的高度理解數學知識的本質，形成良好的認知結構.

4.2加強高考研究，把握備考方向

安徽卷與全國卷在試題風格、考查范圍、試卷結構、知識點分布、考查側重點以及能力要求上有一定的差異(可參考安徽省教育廳關于印發(fā)《2015-2016年度高三語文等九個學科教學指導意見》)，但安徽省高考試卷自主命題的指導思想與全國卷保持一致，命題始終遵循《考試大綱》，著重考查學生分析問題和解決問題的能力，這個本質是不變的.因此，我們要認真研讀《考試大綱》，不僅要重視把握知識考查的范圍與要求，更要重視對能力的要求，只有這樣，才能使培養(yǎng)學生的能力落到實處.另外，我們還要研究全國卷的真題，重視解題方法和策略的研究，要善于幫助學生在解題過程中總結解題方法，積累解題經驗.

4.3突出數學思想，注重提升能力

主要做好兩個方面的工作：一要重視數學思想方法的復習與應用.到了復習階段，教師應該對數學基本思想、方法進行梳理、總結，逐個認清它們的本質特征和相互聯系，自覺、靈活地應用于所要解決的問題中；二要重視思維能力的培養(yǎng).復習教學要在重視基礎知識掌握的同時，更加注重學生數學思維能力的提升.空間想象、抽象概括、推理論證等思維能力的培養(yǎng)應滲透日常教學和復習備考的全過程，要讓學生在參與數學知識的形成、發(fā)展、應用和解題過程中，感悟數學思想方法.要注意挖掘例題所蘊含的內在的教學價值，重視一題多解、一題多變、多題一解，提升學生的數學能力和數學素養(yǎng)．

(收稿日期：2016-02-18)

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