北京豐臺(tái)二中　　甘志國(guó)　　(郵編：100071)

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數(shù)學(xué)

閱讀或引用文獻(xiàn)時(shí)要有質(zhì)疑精神

北京豐臺(tái)二中甘志國(guó)(郵編：100071)

摘要我們?cè)陂喿x或引用文獻(xiàn)時(shí)要有質(zhì)疑精神：首先，我們要弄懂閱讀或引用的文獻(xiàn)，盡可能的推算，判斷它們的正確性，自己沒(méi)弄明白的文獻(xiàn)(哪怕是權(quán)威的文獻(xiàn))引用時(shí)要謹(jǐn)慎；其次，若閱讀或引用的文獻(xiàn)又是從別處引用的，要盡可能的查到原文獻(xiàn)，防止引用的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤；最后，要有質(zhì)疑的精神，對(duì)閱讀或引用的文獻(xiàn)，要研究它們是否正確，能否簡(jiǎn)化和推廣等等.

關(guān)鍵詞閱讀文獻(xiàn)；引用文獻(xiàn)；質(zhì)疑精神；整數(shù)性質(zhì)

1“三十年備一課”中的錯(cuò)誤——當(dāng)正整數(shù)n=____時(shí)，4729494n+1可以是完全平方數(shù)

文獻(xiàn)第23頁(yè)的第4.1節(jié)“三十年備一課”中引用了文獻(xiàn)中的一個(gè)例子：

當(dāng)n∈R*時(shí)，f(n)=4729494n+1的值能是完全平方數(shù)嗎？

依次令n=1,2,3,…,505494852343150330

74477819735540408986339時(shí)，f(n)的值均不是完全平方數(shù).

由此似乎可以下結(jié)論：當(dāng)n∈R*時(shí)，f(n)=4729494n+1的值均不是完全平方數(shù).

但是，當(dāng)n的值再增加1即當(dāng)n=50549485234315033074477819735540408986340時(shí)，f(n)=1099319867328297349798662328214

33543901088049卻是一個(gè)45位數(shù)的完全平方數(shù).

文獻(xiàn)還說(shuō)：

引用該例的目的是通過(guò)“大數(shù)字”的視角沖擊，從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度再次強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，兩個(gè)步驟缺一不可.同時(shí)該例也很有趣，可以活躍課堂氣氛.

可以說(shuō)最近一次上這節(jié)課(2015年6月在上海市光明中學(xué)為在該校研修的天津市部分骨干教師上的展示課)積累了筆者30年的經(jīng)驗(yàn)，雖然不敢說(shuō)這樣就能上好，但至少態(tài)度是認(rèn)真的.

說(shuō)30年備一節(jié)課似乎有點(diǎn)夸張，其實(shí)是在30年前的基礎(chǔ)上，每次上這一課都把自己最近的想法再結(jié)合學(xué)生的情況在前一次教學(xué)的基礎(chǔ)上修修改改.

筆者發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn),中敘述的結(jié)論是錯(cuò)誤的：由恒等式(x-1)(x+1)+1=x2可知：

當(dāng)n=4729492時(shí)，f(n)=4729494×4729492+1=47294932是完全平方數(shù)；

當(dāng)n=4729496時(shí)，f(n)=4729494×4729496+1=47294952也是完全平方數(shù).

全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)第三屆理事會(huì)第五次常務(wù)理事擴(kuò)大會(huì)議于2015年7月15、16日在北京召開(kāi)，筆者與文獻(xiàn)的作者文衛(wèi)星老師都參加了這次會(huì)議.

筆者多次拜讀過(guò)文老師在刊物上發(fā)表的文章，受益匪淺.在會(huì)議之余，筆者與文老師聊了很多，了解到文老師早年從江蘇省來(lái)到上海市的重點(diǎn)中學(xué)(七寶中學(xué))任教，由于工作認(rèn)真、業(yè)績(jī)突出，較快地評(píng)上了特級(jí)教師.

雖然文老師“三十年備一課”，但仍然出現(xiàn)了瑕疵(“玉有瑕疵也斑斕”)，這說(shuō)明老師在備課時(shí)要“認(rèn)真認(rèn)真再認(rèn)真”，引用文獻(xiàn)中的結(jié)論時(shí)對(duì)該結(jié)論要盡可能的給予驗(yàn)證(要有質(zhì)疑的態(tài)度，不可以訛傳訛)；學(xué)生在聽(tīng)課時(shí)也要有質(zhì)疑的態(tài)度.

2240≈1.2×1012嗎？

中國(guó)初等數(shù)學(xué)權(quán)威期刊《數(shù)學(xué)通報(bào)》(中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)與北京師范大學(xué)主辦)2002年第1期發(fā)表了文章《引無(wú)數(shù)英雄竟折腰的3x+1猜想》[3],該文第五段是：

“這是偶然的巧合嗎？無(wú)論用手工計(jì)算還是計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)，人們都發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論是對(duì)的.如日本東京大學(xué)米田信夫驗(yàn)算x=240(大約是12000億)以下所有的自然數(shù)，答案都是1.自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，對(duì)一切自然數(shù)‘3x+1’問(wèn)題都成立嗎？”

文獻(xiàn)末也寫到：

“到目前為止，數(shù)學(xué)家已借助電子計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了240≈1.2×1012以內(nèi)的自然數(shù)對(duì)敘拉古猜想(即3x+1問(wèn)題)均成立.究竟何時(shí)才能完全解決這個(gè)問(wèn)題？也許要留待二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)家來(lái)作出回答.”

筆者發(fā)現(xiàn)，早年敘述著名的3x+1問(wèn)題(也叫3x+1猜想、敘拉古猜想、科拉茲猜想、角谷猜想、哈塞猜想)時(shí)都有“240≈1.2×1012(也即約為12000億)”的敘述，實(shí)際上，這是不對(duì)的，誤差太大：使用一下電腦上的計(jì)算器(科學(xué)型)或者筆算，均可得240=1099511627776(≈1.1×1012)，所以，以上錯(cuò)誤應(yīng)盡早更正.

近日筆者讀到專著第11頁(yè)第二段末的敘述：

(2)按精確值“π=3.14159265358979…”(見(jiàn)文獻(xiàn)第121頁(yè)或網(wǎng)絡(luò)http://baike.baidu.com/view/38305.htm)來(lái)計(jì)算直徑為十公里(即107毫米)的圓的周長(zhǎng)是

3.14159265358979…×107=31415926.5358979…(毫米).

因?yàn)?1415929.2035398…-31415926.5358979…=2.667641…<3.

所以專著中的上述敘述是錯(cuò)誤的，應(yīng)修正為：

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修3-1(數(shù)學(xué)史選講)·A版》(人民教育出版社2007年第2版)第34頁(yè)第一行也是這樣寫的.

還有許多人計(jì)算過(guò)更精確的圓周率.比如十六世紀(jì)德國(guó)有個(gè)叫盧道爾夫的人，他幾乎花費(fèi)了畢生的精力，把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后面35位.他囑咐他的孩子，在他死后，要把他計(jì)算的圓周率刻在他的墓碑上.他計(jì)算的圓周率為：

3.14159265358979323846264338327950288

現(xiàn)在用電子計(jì)算機(jī)，可以把圓周率的數(shù)值算到幾十萬(wàn)位.其實(shí)，把圓周率的數(shù)值沒(méi)完沒(méi)了地算下去，并沒(méi)有什么使用價(jià)值.我們要計(jì)算地球赤道的周長(zhǎng)，要求誤差不超過(guò)一厘米，只要把圓周率取到小數(shù)點(diǎn)后面第九位就夠了.

因?yàn)橥ǔＵJ(rèn)為地球的半徑是6371km=6.371×108cm，所以地球赤道的周長(zhǎng)是

2π×6.371×108cm.

若把圓周率取到小數(shù)點(diǎn)后面第九位(應(yīng)按四舍五入法來(lái)取)，算得地球赤道的周長(zhǎng)是

2×3.141592654×6.371×108cm.

所以誤差是

2(3.141592654-π)×6.371×108=2×0.0410206…×6.371=0.52268…<1(cm).

4數(shù)學(xué)家很可能沒(méi)有提出過(guò)這些猜想

文獻(xiàn)[10]寫道：

我們知道，當(dāng)m≥2時(shí)，歐拉函數(shù)φ(m)=p1α1-1…pkαk-1(p1-1)…(pk-1),其中

m=p1α1…pkαk(pi是互不相同的素?cái)?shù)，αi∈R*,i=1,…,k)

①

關(guān)于φ(m),有一個(gè)迄今未得證實(shí)的猜想，不存在滿足φ(m)=m-1的合數(shù)m，這是半世紀(jì)前萊梅(Lehmer)提出的.

下面的定理1說(shuō)明了這個(gè)猜想成立.

定理1當(dāng)m≥2時(shí)，φ(m)≤m-1(當(dāng)且僅當(dāng)m是素?cái)?shù)時(shí)取等號(hào)).

證明當(dāng)a1,…,ak∈R+,k≥2時(shí)，有a1…ak<(a1+1)…(ak+1)-1.

當(dāng)a1,…,ak∈R+時(shí)，有a1…ak≤(a1+1)…(ak+1)-1 (當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)).

由此，得

(p1α1-1)…(pkαk-1)≤p1α1…pkαk-1(pi是互不相同的素?cái)?shù)，αi∈R*,i=1,…,k)(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào))

②

設(shè)m為①的形式，得

piαi-1(pi-1)=piαi-piαi-1≤piαi-1(當(dāng)且僅當(dāng)αi=1時(shí)取等號(hào))(i=1,…,k)，

所以(p1α1-1)…(pkαk-1)(p1-1)…(pk-1)≤(p1α1-1)…(pkαk-1)(當(dāng)且僅當(dāng)α1=…αk=1時(shí)取等號(hào)).

又由②，得

(p1α1-1)…(pkαk-1)(p1-1)…(pk-1)≤p1α1…pkαk-1(當(dāng)且僅當(dāng)k=1,α1=1時(shí)取等號(hào)).

即定理1成立.

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)家萊梅(Lehmer)很可能沒(méi)有提出文獻(xiàn)[10]中敘述的這個(gè)猜想：這位數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)很容易解決此猜想.

文獻(xiàn)[11]寫道：

著名數(shù)學(xué)家Goldbachc曾提出：“(3m+2)n2+3對(duì)于任何整數(shù)m和n的人數(shù)都不可能排成方隊(duì).”Euler證明了這個(gè)結(jié)論，并提出4mn-m-n人也不能排成方隊(duì).但要證明Euler的結(jié)論就難了.

下面用定理2來(lái)證明上段話中的兩個(gè)猜想均正確：

(1)方程(3m+2)n2+3=t2沒(méi)有整數(shù)解.

證明假設(shè)該方程有整數(shù)解(m,n,t),可得

(2)方程4mn-m-n=t2沒(méi)有正整數(shù)解.

這不可能，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即結(jié)論成立.

筆者認(rèn)為，大數(shù)學(xué)家Goldbachc和Euler對(duì)于如此簡(jiǎn)單的猜想不可能不會(huì)證明.

5閱讀或引用文獻(xiàn)時(shí)要有質(zhì)疑精神

我們?cè)陂喿x或引用文獻(xiàn)時(shí)要有質(zhì)疑精神.

首先，我們要弄懂閱讀或引用的文獻(xiàn)，盡可能地推算，判斷它們的正確性，自己沒(méi)弄明白的文獻(xiàn)(哪怕是權(quán)威的文獻(xiàn))引用時(shí)要謹(jǐn)慎；其次，若閱讀或引用的文獻(xiàn)又是從別處引用的，要盡可能的查到原文獻(xiàn)，防止引用的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤；最后，要有質(zhì)疑的精神，對(duì)閱讀或引用的文獻(xiàn)，要研究它們是否正確，能否簡(jiǎn)化和推廣等.

在這方面，中國(guó)古代杰出的布衣數(shù)學(xué)大師劉徽(約225～約295)堪稱典范[12].

劉徽的治學(xué)思想，也倍受世人推崇.首先，他有孜孜不倦的學(xué)習(xí)態(tài)度，從《九章算術(shù)注》的序中所言“徽幼習(xí)九章，長(zhǎng)再祥覽”可見(jiàn)一斑.其次，他鉆研學(xué)術(shù)嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)，講究“析理以辭，解體用圖”，“約而能周，通而不黷”.對(duì)別人的錯(cuò)誤絕不姑息，自己不懂也實(shí)言相告.劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術(shù)》中球的體積公式有錯(cuò)誤，但是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力，也沒(méi)用得出正確結(jié)果，這時(shí)他不是用一個(gè)改進(jìn)的公式去代替，而是實(shí)事求是地說(shuō)真話：“敢不闕疑，以俟能言者.”另外，在數(shù)學(xué)教學(xué)方面，他善于啟發(fā)，主張“告往而知來(lái)，舉一隅而三隅反”；還告誡后學(xué)者要抓住關(guān)鍵、提綱挈領(lǐng).

參考文獻(xiàn)

1文衛(wèi)星.淺談數(shù)學(xué)概念課教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2016(1～2)：20-24

2洪波.怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.上海：上海教育出版社，1979

3徐品方.引無(wú)數(shù)英雄竟折腰的3x+1猜想.數(shù)學(xué)通報(bào)，2002(1)：42-43

4洪伯陽(yáng).數(shù)論著名問(wèn)題選介.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)史專輯)，1987(3)：60-71

5天津人民廣播電臺(tái)科技組編.科學(xué)創(chuàng)造的藝術(shù).北京：中國(guó)廣播電視出版社，1987

6洪伯陽(yáng).關(guān)于π與e.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)史專輯)，1987(3)：113-122

7甘志國(guó)著.初等數(shù)學(xué)研究(II)下.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.415

8甘志國(guó).祖沖之的精細(xì)嚴(yán)密.少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)(數(shù)學(xué)專頁(yè)·理科版)，2005年5月22日(第43期)

9谷超豪主編.數(shù)學(xué)詞典.上海：上海辭書出版社，1992.669

10熊全淹.初等整數(shù)論.2版.武漢：湖北教育出版社，1989.63-64

11傅鐘鵬.數(shù)學(xué)的魅力.福州：福建科學(xué)技術(shù)出版社，1985.109

12甘志國(guó).高考?jí)狠S題(下).哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.200

(收稿日期：2016-04-21)

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