云南省易門縣第一中學　　呂順寧　　(郵編：651100)

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由一道高三質檢題看兩類數學題的探究

云南省易門縣第一中學呂順寧(郵編：651100)

2016年云南省玉溪市高中畢業(yè)生第一次教學質量檢測理科數學第21題為：

題目已知函數f(x)=2lnx-ax+a,(a∈R).

(I) 討論f(x)的單調性；

(II) 若?x∈(0,+),f(x)≤0, 證明: 當0

這是一道構思精巧的函數與不等式的綜合題，著重考查導數在研究函數的性質以及證明函數不等式中的綜合運用，試題呈現起點低、落點高，知識綜合性強，對考生能力要求高的特點. 考后分析知試題的第(II)問得分率非常低，可見該題實屬不易.由此引發(fā)筆者對該問題解法分析和背景溯源以及由此引出的兩類高考題解法探究的一些思考,贅述如下.

1試題原解答

(II) 證明由(I)知，若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+)上單調遞增，又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立. 若a>2, 當時, f(x)單調遞增, f(x)>f(1)=0,不合題意；若0f(1)=0,不合題意；若a=2,f(x)在(0,1)上單調遞增, 在(1,+)單調遞減, 符合題意，故a=2. f(x)=2lnx-2x+2且lnx≤x-1(當且僅當x=1時取“=”). 當0

上述解法由命題組提供. 不難看出, 證明的關鍵是通過過渡不等式：lnx≤x-1(當且僅當x=1時取“=”)的搭橋，將超越不等式放縮轉化為代數不等式，從而使不等式獲證.問題在于證明中不等式：“l(fā)nx≤x-1”的出現“像是從魔術師的帽子里跑出一只兔子”，顯得突兀不自然, “解題應力求簡單自然. 要抓住問題的實質，直接剖取核心，不要拖泥帶水、兜圈子、使出很多‘費招’”[1]. 因此我們不禁要問:不等式“l(fā)nx≤x-1”是怎么想到的？而且能作為證題的關鍵依據？盡管我們老師知道課后習題：“ex>x+1,x≠0”這一結論(見人教A版選修2—2第32頁B組第1題第(3)小題)，對它兩邊取自然對數,再用x-1替換x即可得到.但不至于又要求學生將其作為重要結論加以記憶，日后用之吧？再者，在高考復習備考中面對學生，面對該題，就用上述證法講解嗎？“以學生的思維為起點，追求自然合理的解法”當是解題教學的重點,而且,“在解題過程中，通過分析、思考引領學生去體味論證邏輯的嚴謹與合情推理的豁達, 這是數學教學不可缺失的培養(yǎng)學生直觀感性認識與理性思維邏輯的重要途徑”. 所以，有必要對該題的證法進行探索.

2試題的另證

點評很多時候，我們的確糾結于“問題何解？”而忽視了對“如何解題的思考”？回顧上述另解的過程，不難看出：證明的思維切入點是利用式子的結構特征構造函數，將證明不等式的問題轉化為研究新函數的單調性而已. 式子的結構特征如何發(fā)現？著名數學家，數學教育家波利亞早就指出：“如果不變化問題，我們幾乎不能有什么進展”；而單墫教授也說：“不斷地變更問題, 直到它變得易于解決(最好化成一個你所熟悉的問題), 這是解題的常用方法. 從理解題意時，我們就開始這樣做”[1].

3試題的背景揭示及在該背景下的相關高考題的另解

根據拉格朗日中值定理，再回到原題. 顯然函數f(x)=2lnx-2x+2(x>0)滿足:

事實上, 好多高考題或模擬題的壓軸題都有高等數學的背景,不僅研究怎樣解同時還注意研究試題的背景來源, 弄清了這些問題，則更有利于認識問題的本質.

例1已知函數f(x)=lnx-mx+m,m∈R.

(1)已知函數f(x)的圖象在點(1,f(1))處與x軸相切，求實數m的值；

(2)求函數f(x)的單調區(qū)間；

現摘錄原解答如下：

因為01), 則

結論 已知函數f(x)=λ(lnx-x-1), (λ>0), 對于任意的0

例2 (2014年高考遼寧卷理12題)已知定義在[0,1]上的函數f(x)滿足：

①f(0)=f(1)=0;

解現摘錄原解答如下：

點評本題主要考察絕對值不等式、分類討論思想，意在考查考生對數學思想方法的應用能力. 但是, 上述解法中對x-y的分類討論，其標準的確定是思考的難點. 事實上，容易看出題設中定義在[0,1]上的抽象函數f(x)滿足洛爾定理的三個條件, 若要回避分類討論，結合選擇題的解題特點，可構造定義在[0,1]上的函數f(x)=x2-x,再利用熟知的重要結論:

4不等式: “l(fā)nx≤x-1”的再認識及其變式應用

先證明該不等式成立.

如果用x+1替換不等式lnx≤x-1中的x得:ln(x+1)≤x;用x+2替換不等式lnx≤x-1中的x得:ln(x+2)≤x+1.

下面用這兩個不等式巧解幾道高考題.

(I) 求a,b的值；

例4(2013 年高考新課標全國II卷理21題)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(I) 設x=0是f(x)的極值點, 求m, 并討論f(x)的單調性；

(II) 當m≤2時, 證明:f(x)>0.

根據不等式ln(x+2)≤x+1, 則只需證明：ex-ln(x+2)≥ex-x-1,即ex-x-1≥0成立即可.

令g(x)=ex-x-1, 則g′(x)=ex-1, 當x∈(0,+)時，g′(x)>0, 當x∈(-2,0)時，g′(x)<0, 所以函數g(x)在(-2,0)上單調遞減，在(0,+)上單調遞增，在x=0處取得最小值：g(x)min=g(0)=0, 故原不等式獲證.

通過以上對質檢題的解法的分析、背景的解讀和結論的引申, 不僅挖掘了試題的源與流,而且發(fā)現了與質檢題分別有相同高數背景,并探討了它們不同于標準解答的解法.同時可將上述探究過程設計成研究性學習的教學案例.

參考文獻

1單墫. 解題研究. 南京：南京師范大學出版社

2劉玉鏈, 傅沛仁. 數學分析講義.北京：高等教育出版社

3鄭廷楷. 名師解題(四川卷).(金考卷)2015年全國各省市高考試題匯編(第一期，數(理科)). 烏魯木齊：新疆青少年出版社

4袁義東, 汪仁林. 2015年高考數學模擬試題(2) . 數理天地(高中版). 2015(2)

5王金澤. 名師解題(遼寧卷).(金考卷)2014年全國各省市高考試題匯編(第一期, 數學(理科)). 烏魯木齊：新疆青少年出版社

(收稿日期：2016-02-24)