湖北省武漢市華中師范大學　　孫成成　　胡典順　　(郵編：430079)

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形成性評價的螺旋模式：內涵、脈路及特征
——以奇偶函數(shù)的教學為例

湖北省武漢市華中師范大學孫成成胡典順(郵編：430079)

現(xiàn)代數(shù)學教學不僅注重學生的數(shù)學學習水平和學習結果，還強調他們的學習過程以及在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感、態(tài)度和價值，讓他們更好地認識自我，建立信心，實現(xiàn)全面發(fā)展.教育評價中以完善教師教學活動和改進學生學習活動為目標的形成性評價可以為這些任務的完成提供最有利的條件.中學數(shù)學知識在不同的學習階段會反復出現(xiàn)，例如函數(shù)、概率、不等式、數(shù)列等，這是知識的一種螺旋上升模式，也意味著學生的數(shù)學能力及情感態(tài)度也是順著知識的循環(huán)增長而螺旋上升的.所以如何在這一螺旋上升過程中把握好對學生的評價，如何將螺旋模式融入形成性評價活動中去是教師值得深思的問題.

1內涵

形成性評價是在教學過程中對學生的知識掌握和能力發(fā)展的及時評價，它是教學活動中持續(xù)收集信息和證據(jù)并對學習提供反饋的一個系統(tǒng)過程.無論何時、何地、何種方式、何種程度，只要所收集的信息和證據(jù)能夠滿足學生的需要，改進教師的教和學生的學，那么它就是形成性評價.形成性評價注重整個教與學過程，它強調通過多種渠道來收集、了解、分析和掌握學生的需求.形成性評價也是一種雙向的過程，可以讓教師及時獲得反饋信息，從而使他們可以不斷地更新和改進自己的教學手段以及教學過程，以便于因材施教、因勢利導.同時，它也可以讓學生及時獲得反饋，讓他們更充分認識到自己的優(yōu)勢與不足，以便于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)揮學生的自主意識，引導學生進行自我監(jiān)控，提高學生的自我效能感，挖掘學生的創(chuàng)造潛能，促使每一位學生的才智和能力都能得到最大程度的發(fā)揮.

數(shù)學活動過程并不是直線上升的，它是一種螺旋曲線的上升過程.這就意味著數(shù)學教學的過程中一些教學方法、學習方法以及評價方法走的是循環(huán)反復，不斷上升的路子.例如，課堂教學中，教師與學生之間的交流互動就是一種“教師→學生→教師→學生→……”不斷教授與回饋的模式.畢漁民和王玉文提出了五環(huán)綜合數(shù)學活動教學形式，將“閱讀自學、述說評價、啟發(fā)講授、變式練習和問題”5個環(huán)節(jié)構成由“讀數(shù)學、說數(shù)學、講數(shù)學、練數(shù)學、問數(shù)學”5項數(shù)學活動構成的環(huán)環(huán)相扣的綜合數(shù)學活動.每一項數(shù)學活動的落實都會導致學生的某些變化，學生在一日、一周、一個單元甚至一個學期結束時，在數(shù)學知識、數(shù)學思維、數(shù)學直覺以及數(shù)學情感等方面都應該不同于這些周期開始時的水平.那么整個數(shù)學活動過程中的每個階段究竟有沒有達到預想的效果？教與學有沒有得到實質性的提高？要想弄清這些疑問，那么就必然要求注重活動過程的形成性評價也要擁有一套螺旋形式與之相輔相成.據(jù)此可以知道形成性評價中的螺旋模式就是以改進教師的教、促進學生的學和輔助教學活動的循環(huán)上升為目的而進行的一種分層次的、重復出現(xiàn)的、分段循環(huán)的、逐步擴展和螺旋上升的評價模式.具體而言就是在數(shù)學活動過程中，如果學生尚未達到預期目標，教師可以進行二次評價；如果學生達到預期的目標，教師就可以引導學生進入新的領域，并繼續(xù)在形成性評價提供的證據(jù)下進行教學.所以螺旋模式可以真正地實現(xiàn)教師主導、學生主體的位置關系，并能有效地利用學生資源，它能在充分建構數(shù)學思維的基礎上實現(xiàn)“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維目標.

2脈路

2.1預想

在數(shù)學知識教學之前，教師要對班級學生進行一次概括性和預測性評估.這種評估可以按照學生的成績、性格等標準進行層次性劃分，再對學生的能力和情感進行預測.在預想中，我們常用到的評價方法有問題錄，讓學生把自己在預習課程中所遇到的疑問寫在問題錄上，教師通過瀏覽和研究學生的疑問而掌握全班學生的不足之處，作出更具確實性的評估進而把握整個課堂教學模式.

教學案例1進行奇偶函數(shù)教學前，教師可以設計一份“學習預測表”(如表1)，對學生的課堂表現(xiàn)進行提前預估.

表1　學習預測表

2.2即時

即時是教師在學生進行某項任務時或完成某項任務后即刻作出的評價.在即時給出評價的過程中教師需要熟練掌握觀察法、交談法及練習法，并將這三者有效地串聯(lián)起來，融會貫通.

教學案例2奇函數(shù)：設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù).奇函數(shù)的定義比較抽象，教師可以通過f(x)=x3的圖象，讓學生探討f(-1)與f(1)，f(-2)與f(2)，f(-3)與f(3)的關系，再進一步思考f(-x)與f(x)的關系，最后總結出規(guī)律并得出奇函數(shù)的定義.在這一過程中教師運用問答形式引起學生的思維和情感反應，與此同時教師要細致觀察學生的言語是否流暢得體、行為是否積極、面部表情是否充滿疑惑等來判斷學生對奇函數(shù)的把握度以及對數(shù)學圖形認知度，做出對教與學的準確評價.

2.3延時

延時可分為短時性延時和長時性延時.深刻的思考需要時間，而短時性延時是要求教師在提問之后，推遲判斷，不要著急找學生回答問題，要給予學生充分而全面的思考時間.但是這種空出的思考時間是相對較短的，它占據(jù)一節(jié)課的小部分時間.而長時性延時是在若干個知識點沉淀之后而進行評價，它所經歷的時間較長可能是一天、一周甚至一個月.延時中常用到的方法有觀察法、練習法和“每周一再”等.

教學案例3判斷下列哪些函數(shù)是奇函數(shù)，哪些是偶函數(shù)？

評析判斷函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇偶性的定義經過化簡、整理，再與f(x)比較可知①④為奇函數(shù)，③不是偶函數(shù)，②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).本題第①題較為簡單，大部分學生是可以很快獨立解決的，對于第②、③兩題學生常常會忽略定義域的關系而做出錯誤的解答，這是需要學生注意的，第④題稍微復雜，教師這時就應當留給學生充足的思考空間，讓學生進行深刻的思考，再逐步引出正確的思維方式進行解答.這四道題目具有比較典型的代表性，教師可以在下一次課進行二次回顧，為保障學生熟練掌握可以采用“每周一再”方式周期性回顧這些題型以鞏固學生的知識框架.

2.4整合

整合是一個小的學習階段后通過考察學生對所學知識的掌握程度、觀察學生現(xiàn)階段學習的情感態(tài)度以及對比學習前后的成果而作出的評價.它不同于終結性評價，整合中的評價不以考試結果為評價標準，它更突出的是某一學習階段學生在學習能力與情感雙方面的發(fā)展.檔案袋、練習和小測驗、自我評價等是整合過程中常用的方法.

教學案例4函數(shù)y=f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且當x∈(0,+)時是增函數(shù)，若f(1)=0，求不等式的解集.

評析這是一道結合函數(shù)定義域、單調性和奇偶性的綜合運用的題目，這種題型考查了現(xiàn)階段學生是否具有將函數(shù)單調性與奇偶性整合使用的能力，教師通過若干類似的題型來評判學生是否已達到學習要求，進而改進教學.

以上所提到的四個步驟是相互聯(lián)系、相互溝通、相互貫穿的，如進行整合時需要延時的推動，即時為延時的進行提供反饋信息，預期可以和整合相結合等等.四項步驟串聯(lián)起來并在數(shù)學活動過程中有效地實行之后，教師和學生都會達到一個更高更新的層次，在這種新層次下又會繼續(xù)進行著形成性評價，循環(huán)反復，螺旋上升(如圖1).

圖1　形成性評價螺旋模式圖

3特征

3.1境域性

境域性是指：任何的知識都存在于一定的時間、空間、理論范式、價值體系、語言符號等文化因素之中的.任何知識的意義也不僅是由其本身的陳述來表達的，而且更是由其所位于的整個意義系統(tǒng)來表達的.離開了這種特定的境域，既不存在任何的知識，也不存在任何的認識主體和認識行為.而數(shù)學境域是含有一定數(shù)學知識、數(shù)學思想和數(shù)學方法的一種情境，它是數(shù)學知識產生的理論和實際背景，它在激發(fā)數(shù)學認知沖突的同時也為解決沖突提供了相應的信息和依據(jù)，所以數(shù)學活動過程離不開情境.這就必然要求形成性評價要在特定的數(shù)學情境中進行，那么形成性評價相對應的螺旋模式也是需要在某種數(shù)學情境中展開.如果失去了特定的情境，就很難判斷某個學生的數(shù)學思維、數(shù)學能力、數(shù)學情感的發(fā)展程度.例如，通過建立生活情境“以每小時40千米勻速行駛的汽車所駛過的路程和時間的關系”等引入函數(shù)概念，通過建立問題情境“ 初中學過哪些函數(shù)的表示方法？它們各自有什么特點？”介紹函數(shù)的三種表示方法，通過建立學科情境“一個細胞經過分裂變成2個細胞，經過二次分裂變成4個，…，經過n次分裂變成多少個？”引入對數(shù).實際上，不論是從學習集合概念到函數(shù)基本性質，還是從基本初等函數(shù)到函數(shù)應用，整個過程都是在秉持循序漸進，螺旋上升原則的基礎上，緊密與數(shù)學情境相聯(lián)系著的.

3.2內隱性

內隱性是在相對安靜的情況下不易被發(fā)現(xiàn)的特性.從整個活動過程去看螺旋線，它是上升的，但是在從某一階段去看，其上升趨勢并不是太過明顯，不少學生數(shù)學價值觀、數(shù)學能力往往隱藏在形成性評價中的螺旋模式里，不易被學生自己甚至是教師發(fā)現(xiàn)，這需要教師的耐心挖掘.人總是處于與他人或環(huán)境不斷相互作用過程中，個人的成長需要通過其行為表現(xiàn)出來.同樣，評價學生的數(shù)學思想方法是需要看學生在現(xiàn)實情境中表現(xiàn)出來的行為特征或數(shù)學行為.也就是說，一個學習有所改進的學生，在其現(xiàn)實中表現(xiàn)為具有數(shù)學素養(yǎng)的特征；一個能力有所改進的學生，也是在完成一定的數(shù)學任務時才能充分顯現(xiàn)出來.通過觀察一個人在數(shù)學情境中的行為及反映可以發(fā)現(xiàn)其數(shù)學能力和數(shù)學情感是否在一點點地螺旋提升.

圖2　函數(shù)歸納拓展圖

另一方面，螺旋模式在知識層面上也具有內隱性.一些數(shù)學知識在層次上并沒有明顯的上升趨勢，像概念的內涵、外延，概念的分類，判斷，判斷的分類，三段論的格與式，邏輯量詞，命題演算等，這些純粹邏輯的知識也不會直接展示在數(shù)學教材中，然而又蘊含在教學內容中.但是隨著學生年齡的增長以及能力的提升，課標在能力層面上的要求有明顯的變化，從“了解”和“感受”到“會”，可以說這是一個悄無聲息的飛躍.例如，對函數(shù)基本性質進行歸納拓展(如圖2)，從歸納拓展圖中可以看出函數(shù)各知識點之間的聯(lián)系，但是卻看不出學生在學習函數(shù)的這一過程中對奇偶函數(shù)的掌握究竟達到何種程度.這種情況下教師就需要通過具有層次性、多樣性、延伸性和代表性的練習、小測驗或表現(xiàn)性任務來發(fā)現(xiàn)學生的優(yōu)與劣，并作出及時的評價.

3.3生成性

“生成”強調的是事物運動變化過程.螺旋模式是一個動態(tài)的師生共同學習、共同構建的過程，它并不是預先設定好的，它在形成性評價中的展開形式并不是固定不變的.數(shù)學活動注重學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，鼓勵學生對數(shù)學思路、數(shù)學方法和數(shù)學結論質疑，而學生的質疑往往會超出教師的預想，這時候教師須根據(jù)學生的需要進行判斷，不斷地調整教學活動，以促進學生更加有效地學習.數(shù)學教學活動實質上是一個數(shù)學思維過程，數(shù)學思維能力是可以在教學活動中形成和

發(fā)展起來的.故而形成性評價中的螺旋模式也是在數(shù)學活動過程中不斷發(fā)展、不斷完善的.

3.4多樣性

數(shù)學本身就是一種人類活動，反映人的信念、意向、行為準則和思維方式.在數(shù)學活動過程中，每位學生都是獨立的個體，即使對待同一數(shù)學問題，不同的學生也會生成不同的體驗、感悟和反思.又由于評價對象自身的復雜性，單一的螺旋曲線難以形成恰如其分的評價結論，同時學生的數(shù)學知識、數(shù)學思維、數(shù)學情感及數(shù)學技能等都不可能以相同的幅度上升，這就決定每位學生在不同數(shù)學認知層面都具有其獨特的螺旋上升曲線.如學生在學習奇偶函數(shù)的過程中，對奇偶函數(shù)概念和圖象等知識點的記憶、利用函數(shù)奇偶性解題的速度、函數(shù)奇偶性的知識遷移能力、對奇偶函數(shù)學習的態(tài)度和情感等都會呈現(xiàn)出不同的上升趨勢，這需要教師進行細致地分析，從而對癥下藥.

總之，形成性評價中的螺旋模式是由各個小階段構成的大過程，它對優(yōu)化中學數(shù)學教學效果起著舉足輕重的作用，它能讓學生明白數(shù)學知識是不斷向著更具嚴謹性的方向發(fā)展的、數(shù)學思維是不斷地向著更具抽象性和理性的方向發(fā)展的、數(shù)學價值觀是不斷地向著更具積極性和意義性的方向發(fā)展的、數(shù)學美是不斷地向著更具和諧性的方向發(fā)展的.因此，教師要把握好螺旋模式在形成性評價中的各個環(huán)節(jié)，深入研究分析螺旋模式的特征，構建出一個高效、科學的數(shù)學評價體系.

參考文獻

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基金項目:全國教育科學規(guī)劃教育部重點課題——TPACK視角下卓越教師培養(yǎng)的理論研究與實踐探索(課題編號DHA150287)．

(收稿日期：2016-02-20)