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涉及三角形高與中線的歐拉不等式的加強(qiáng)

四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校宿曉陽(郵編：611731)

眾所周知,著名的歐拉不等式為： 設(shè)ΔABC外接圓和內(nèi)切園的半徑分別為R,r，則R≥2r.

安振平先生在文中提出如下一個優(yōu)美的不等式

本文將給出類似于上式且涉及三角形高，中線的歐拉不等式的加強(qiáng).供參考與欣賞.

命題1設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c上的高分別為ha,hb,hc.外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r，則

①

證明設(shè)ΔABC面積為△，半周長為s,則由三角形的面積公式

易知(①)式等價于

②

又a2≥a2-(b-c)2=4(s-b)(s-c)，

三式相加，即得②式.故①式成立.

命題2設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c上的中線分別為ma,mb,mc.外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r，則

③

證明由三角形中線公式，知

再注意到三角形恒等式及文中的不等式：

a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2)

(5R-12r)(16Rr-5r2)≥44R2r-109Rr-12r3

④

當(dāng)5R-12r>0時，由著名的Gerrestsen不等式得s2≥16Rr-5r2，欲證式④，即證④?(R-2r)(R-r)≥0.

由著名的Euler不等式R≥2r,即知成立.

當(dāng)5R-12r=0時，④式顯然成立.

當(dāng)5R-12r<0時，由著名的Gerrestsen不等式得s2≤4R2+4Rr+3r2.

欲證式④，即證④?(5R-3r)(R-2r)(R-r)≥0.

由著名的Euler不等式R≥2r.即知④式成立.

參考文獻(xiàn)

1安振平.外森比克不等式的再探究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2015(2)

2褚小光，楊學(xué)枝.關(guān)于三角形中線的若干不等式，不等式研究.拉薩：西藏人民出版社,2000(6)

(收稿日期：2016-04-06)