傅殿松

[摘要]三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，高考除了考查三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)和三角變換等知識(shí)外，還常常關(guān)注三角函數(shù)知識(shí)與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)的整合與交匯，教師就三角函數(shù)與不等式、解析幾何、函數(shù)方程、平面向量相結(jié)合的題進(jìn)行研究，以期拋磚引玉.

[關(guān)鍵詞]高考數(shù)學(xué) 三角函數(shù) 復(fù)習(xí)

[中圖分類號(hào)] G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2016）02-0049

三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，與其他代數(shù)、幾何知識(shí)有著密切的聯(lián)系，成為研究其他知識(shí)的重要工具.縱觀近幾年的高考題，盡管三角函數(shù)試題總體難度不大，但問題呈現(xiàn)的方式、問題的背景和問題的結(jié)構(gòu)形式在不斷變化，三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)交匯的深度、廣度和難度也在不斷變化，成為近幾年高考考查的熱點(diǎn).這就提醒我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中應(yīng)給予三角函數(shù)足夠的重視.下面介紹幾個(gè)三角函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的例題，希望給廣大考生提供一些參考.

一、三角函數(shù)與不等式的交匯

三角函數(shù)與不等式相結(jié)合，主要考查基本不等式和均值不等式，也考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式，是求參數(shù)取值范圍的重要方法.

【例l】設(shè)兩個(gè)向量a=（λ+2，λ?-cos?a）和b=（m，m/2+sina），其中λ，m，a為實(shí)數(shù)，若a=2b，則λ/m的取值范圍是（）.

A.r 6，1]B.[4，8]C.（-∞，1]D.[-1，6]

解析：由a=2b，得λ?-cos?a=2（m/2+sina），∴λ?m=COS?a+2sina=2-（sina-1）?，所以-2≤λ?-m≤2.

又λ=2m-2，則2≤4（m-1）?-m≤2，解得：1/4≤m≤2.

二、三角函數(shù)與解析幾何的交匯

在解析幾何中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），有兩個(gè)變量；若用參數(shù)方程，則只有一個(gè)變量.對(duì)于有定值和最值時(shí).參數(shù)法顯然比較簡(jiǎn)單.在研究曲線的有關(guān)性質(zhì)中，有時(shí)引入一個(gè)適當(dāng)?shù)慕?，建立三角函?shù)關(guān)系，然后利用三角函數(shù)知識(shí)這一有力的T具，可使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

【例2】橢網(wǎng)原點(diǎn)，連接OP、OQ，若kop=-1/4.求證：OP?+ OQ?等于定值.

證明：設(shè)x=4cosθ，y=2sinθ，P（4cosθ1，2sinθ1）.Q（4cosθ2，2sinθ2）.

整理得，cosθ1 COSθ2+sinθ1sinθ2一0，即cos（θ1-θ2）=0.

∴OP2+OQ?=8+12（COS?θ1+ COS?θ2）=20+6（cos2θ1+CoS2θ2）=20+12cos（θl+θ2）cOs（θl-θ2）=20.

三、三角函數(shù)與函數(shù)方程的交匯

一些函數(shù)方程含有三角函數(shù).解決這類問題主要是通過三角函數(shù)的性質(zhì)、公式、恒等變換等手段進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通過代換等方法，將其轉(zhuǎn)化為非三角函數(shù)問題求解.

【例3】 已知關(guān)于x、的方程2cOs?（π+x）-slrx+a=o有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由2cOs?（π+x）-sinx+a=0，得

2cos?x-sinx+a=0，即2sin?x+sinx-2-a=0.

令sirU=t（-l≤t≤1），則方程2t?+t -2-a=0在區(qū)間[-l，1]上有解.

令、f（t）=2t?+t-2a，則二次函數(shù)y=f（t）的圖像的對(duì)稱軸為直線t=-1/4

4‘

所以方程f（t）=o在區(qū)間[-l，1]上有解等價(jià)于在區(qū)間[-1/4，1]上有唯一解.

四、三角函數(shù)與平面向量的交匯

平面向量與三角函數(shù)的交匯是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一.在三角函數(shù)，三角恒等變換、解三角形等問題中，均有平面向量的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在通過向量的基本運(yùn)算.將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)算.

故△ABC是直角三角形或等腰三角形.

高考命題中對(duì)三角函數(shù)的考查屬于中檔題型.學(xué)生在復(fù)習(xí)中把握好三角函數(shù)難度的同時(shí)，應(yīng)注意三角函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯.將三角函數(shù)與其他知識(shí)密切聯(lián)系起來是解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵.