林篤錦

【摘 要】數學歸納法在數學解題中具有重要的應用，尤其是在幾何教學中應用尤為廣泛。本文通過理論與實例相結合的方式分析了數學歸納法的概念、解題步驟以及其在幾何教學中的具體應用。

【關鍵詞】數學歸納法 幾何教學 應用

前言

數學歸納法通過對一系列特殊情況的總結得出一般的規(guī)律性結論，一般規(guī)律性結果的正確與否直接決定于推導過程中特殊情況推倒的正確與否。從本質上說，數學歸納法是將所有的自然數代入一個特定的命題都能得出正確結論的數學方法，因此，數學歸納法的推導過程是與數字緊密相連的，這就決定了歸納法能夠應用于數學教學的眾多領域。幾何教學是數學教學中的一個重要部分，因此，歸納法自然而然也就適合于幾何教學中。

1.數學歸納法概念

數學歸納法是數學教學中一種常用的證明方法，數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法從更廣泛的范疇說，數學歸納法不僅僅適用于證明自然數范疇，它還可以應用于證明一般的良基結構，如集合論中的樹。這種更廣泛意義上的數學歸納法稱為結構歸納法，它主要應用于數學邏輯和計算機科學范疇。

2.數學歸納法步驟

最常用的數學歸納法的解題步驟主要包括兩個：

第一步，驗證將第一個自然數代入待證明的命題中能否得出正確的結論，若結論正確，說明待證明的命題在特殊的情況中是正確的。這一步驟的依據是自然數集的“最小數原理”。這一步驟是驗證命題是否正確的起點，也被稱之為歸納的基礎。

第二步，在得出n取任何一個大于其自身的自然數K時命題正確的基礎上，證明當n取該數之后的所有自然數，即n=k+1時該命題也是正確的，這一步驟的本質是通過特殊情況的歸納得出一般的推理。第二步是進行歸納推理的核心所在，其核心是“驗證當n=k+1時也能得出n=k時的一般規(guī)律”。

3.數學歸納法在幾何教學中的應用

3.1 應用數學歸納法作計算

例1：假設存在一個凸多面體是n棱錐，這個n棱錐的全部頂點確定的直線數量為，求的表達式。

分析：若直接計算該n凸棱錐頂點數所確定的直線數是非常困難的，對于這種數量不確定的幾何題目可以采用數學歸納法，從特殊情況中總結規(guī)律并加以推廣到任何自然數。

解：當n=3時該凸多邊形是三棱錐，三棱錐存在四個頂點，四個點之間可以最多形成六條直線，同時滿足。

當n=4時，該凸多面體是四棱錐，四棱錐有5個頂點，五個點之間可以形成10條直線，且同時滿足。

以此類推，假設。

假定n=k（k≥3）時滿足該式，則n=k+1時，該凸多面體由k棱錐變?yōu)椋╧+1）棱錐，這就意味著該凸多面體的底面由原來的k邊形變?yōu)椋╧+1）邊形，即增加一個頂點。該凸多面體增加的一個頂點與原來已經存在的（k+1）個頂點分別相連形成（k+1）條直線。這就意味著，（k+1）棱錐與k棱錐相比所形成的直線數增加了（k+1）條直線，即，這意味著當n=k+1時假定的公式仍然成立。

綜上所述，假設成立。

3.2 應用數學歸納法作證明

例2：平面上一共有n個圓，其中每兩個圓之間相交于兩點，而且任何三個圓都沒有相交于同一個點。證明：該平面被n個圓劃分為n2-n+2部分。

分析；該題若采取直接的證明方法很難解出，因此，應該采用間接的方法如歸納法證明其正確性。該題采用歸納法的重點是弄清楚n=k+1與n=k相比，圓與圓之間的交點增加了多少，平面被分割的部分增加了多少。在該題中，原有的k個圓將新增加的k+1個圓分割成2k條弧線，而每一條弧線將其所在的平面分割成兩部分，這就意味著增加一個圓使得平面的分割部分增加2k。

證明：當n=1時，平面中只存在一個圓，該平面被一個圓分割為兩部分，將n=1代入到公式n2-n+2得12-1+2=2，命題成立。

當n=2時，平面中有兩個圓相交于一點，該兩個圓將平面分割為四部分，將n=2帶入公式n2-n+2得22-2+2=4，命題成立。

3.3 應用數學歸納法作圖

例3：已知平面上存在2n+1個點，求作一個以該2n+1個點為中心且變數為2n+1的多邊形。

解：當n=1時，該題簡化為平面上存在三個點，求作一個以該三個點為中心的三角形。具體做法是通過每一個已存在的點做一條直線并且和剩余兩點的連線平行，三條直線相交就得出一個以該三點為中心的三角形。

假定我們已經得到符合條件的（2n-1）多邊形，并且同時假定存在（2n+1）個點A1，A2，…A2n+1是所作的（2n+1）邊形各邊X1，X2，…X2n+1的中點。先考慮四邊形X1X2n-1 XnX2n+1，該四邊形各邊的中點依次是A1，A2n-1，An，A2n+1。同時假設邊X1X2n-1的中點是A，可以證明四邊形A2n-1A2nA2n+1是一個平行四邊形。由于平行四邊形的對邊平行，且其中的三個點A2n-1，A2n和A2n+1都是已經存在的，那么根據相互平行的原理很容易求出該平行四邊形的第四個頂點。而A1，A2，…，A2n-2分別是假定中已經作出的（2n-1）邊形的各邊對應的中點。要作出符合題目的（2n+1）邊形只需要以已經存在的兩點A2n+1和A2n-1為中點的線段X1X2n-1和X2n-1X2n即可得到符合題目要求的多邊形。

4.結論

目前，數學歸納法在幾何教學中的應用主要有三個方面，分別是數學歸納法計算、數學歸納法證明以及數學歸納法作圖。將數學歸納法應用到幾何教學中，不僅可以提高學生對幾何問題的空間感知，而且還可加深學生對從特殊到一般的命題證明過程，有利于學生思維邏輯能力和推理能力的提高。

參考文獻

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