【摘要】兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個既觸及“外部”又深入“內(nèi)部”的緩慢推進過程，數(shù)學(xué)思考是貫通其中的關(guān)鍵要素。兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果與他們數(shù)學(xué)思考的深度密切相關(guān)，兒童數(shù)學(xué)思考的深度則取決于他們鞏固、轉(zhuǎn)化和內(nèi)化信息的能力。探尋深度思考的本質(zhì)意義，架構(gòu)促發(fā)兒童深度思考的基本路徑，有助于推動兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；深度思考；真正發(fā)生

【中圖分類號】G623.5 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）16-0037-03

【作者簡介】魏芳，江蘇省常熟市石梅小學(xué)（江蘇常熟，215500）教科室副主任，高級教師，蘇州市名教師。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于兒童已有的認(rèn)知經(jīng)驗與知識水平，引導(dǎo)他們展開積極有效的數(shù)學(xué)思考活動，以促進他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量與其數(shù)學(xué)思考的深度密切相關(guān)，兒童數(shù)學(xué)思考的深度則取決于他們鞏固、轉(zhuǎn)換和內(nèi)化信息的能力。檢視深度思考的內(nèi)涵，探尋促發(fā)兒童深度思考的路徑，對于兒童的思維發(fā)展、素養(yǎng)提升等具有深遠(yuǎn)的意義。

一、直面現(xiàn)象：剖析影響深度思考的因素

教學(xué)蘇教版四下《梯形的認(rèn)識》一課，有這樣一道練習(xí)題：一個直角梯形的上底長2厘米，腰長10厘米。如果上底增加6厘米，這個直角梯形就變成了一個正方形。這個直角梯形的周長是多少厘米？學(xué)生出現(xiàn)的錯誤主要有這四類：（1）毫無目標(biāo)，不會表征。（2）目標(biāo)不明，表征錯誤。（3）部分信息表征錯誤。（4）表征正確，解答錯誤。其實，學(xué)生解決問題的過程就是他們進行深度思考的過程，需要經(jīng)歷“分析表征→理清關(guān)系→解答反思”漸次推進的過程，任一環(huán)節(jié)失誤都會導(dǎo)致問題解決出現(xiàn)差錯。經(jīng)過分析，筆者認(rèn)為，學(xué)生出錯主要存在下述原因：

1.核心概念缺失，理解偏頗。

核心概念的形成主要依據(jù)直接經(jīng)驗，從大量的具體例證中，通過歸納抽取一類數(shù)量關(guān)系或空間形式的共同屬性，并把其本質(zhì)屬性推廣到同類事物中。學(xué)生對“兩腰不等”這個核心概念把握不準(zhǔn)，對“上底增加6厘米后變成正方形”和“梯形周長”的意義理解出現(xiàn)了偏頗。

2.前擁知識經(jīng)驗斷裂，無法遷移。

前擁知識經(jīng)驗是指學(xué)生在進入新的學(xué)習(xí)與思考之前，已經(jīng)積累的知識、技能、解決問題的策略等。學(xué)生在思考過程中，常常會借助他們的前擁知識經(jīng)驗，把信息組織成有助于其遷移的概念框架，以便把已有的知識應(yīng)用于新情境，更快速地解決相關(guān)問題。有的學(xué)生不會表征信息，不能在條件與問題之間建立起聯(lián)系，經(jīng)驗鏈斷裂；有的雖然在經(jīng)驗庫中找到了對等的前擁經(jīng)驗，但不能與新情境完全對接，經(jīng)驗遷移失敗。

3.精細(xì)加工策略失當(dāng)，聯(lián)結(jié)差錯。

精細(xì)加工策略是一種將新學(xué)習(xí)的材料與頭腦中已有的知識聯(lián)系起來，從而增加新信息意義的深層加工策略。學(xué)生不能在正方形與直角梯形、梯形周長與正方形周長之間建立起正確的意義聯(lián)系，導(dǎo)致其記憶策略、視覺想象策略、聯(lián)系實際策略失當(dāng)，而這關(guān)系到深度思考的核心要義。

二、檢視本質(zhì)：深度思考的意義解析

學(xué)習(xí)是通過思考或親身經(jīng)歷獲取知識、技能、態(tài)度、心理概念或價值觀的過程，也是促成腦記憶的可測變化的訓(xùn)練過程。就思考的層次來說，大致可以分為簡單思考和深度思考。

簡單思考是浮于表層的，不需要反饋或糾錯，只需要機械思考。

深度思考是相對于簡單思考而言的。新知識或技能的獲得必須經(jīng)過一步以上的思考與多水平的分析或加工，以便學(xué)生可以用改變思想、控制力或行為的方式來應(yīng)用這些知識或技能。

1.觸及本質(zhì)。當(dāng)深度思考發(fā)生時，大腦較為活躍，一般而言，會理解、保持、應(yīng)用得更好，更能觸及知識的本質(zhì)與內(nèi)核，有利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)建構(gòu)。

2.注重背景。深度思考需要基本的背景知識，它比較耗時，要投入大量的精力和決心，過程和結(jié)果經(jīng)常受批判性評論或其他觀點的影響，需要詳細(xì)而精確的加工程序。

3.高水平綜合。深度思考是一種高水平思考，需綜合加工，融入抽象性思考、發(fā)散性思考、創(chuàng)造性思考和批判性思考。與主要發(fā)生局部學(xué)習(xí)的簡單思考相比，深度思考時大腦的活動更具有發(fā)散性。

三、策略架構(gòu)：讓深度思考促發(fā)兒童主動生長

美國教育家布魯納指出：教學(xué)某些知識領(lǐng)域，并不是帶著學(xué)生去銘記已有的結(jié)果，而是要教他如何去參與知識獲取的過程，其核心要素就是深度思考的參與。

（一）深入教材，以結(jié)構(gòu)化的視角關(guān)聯(lián)核心知識

布魯納說：“獲得的知識，如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它關(guān)聯(lián)在一起，那是一種多半會遺忘的知識?！睌?shù)學(xué)教學(xué)以數(shù)學(xué)內(nèi)容為核心，幫助學(xué)生建構(gòu)符合其認(rèn)知需要的、具有思考價值的核心知識體系。

1.橫向鋪展，凸顯數(shù)學(xué)知識的核心內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)系，主要是指數(shù)學(xué)各知識領(lǐng)域之間的聯(lián)系，也指不同內(nèi)容和方法之間的實質(zhì)性聯(lián)系。即在教學(xué)一個核心概念時，要把知識看成一個整體，不僅要知道這一概念在整體中的作用，還要知道這一概念受到哪些概念或過程的支持。

4.5×1.2○4.5 7.2×1.4○7.2×0.9

0.63×0.9○0.63 0.9÷1.8○0.9÷0.5

教學(xué)蘇教版五上“小數(shù)乘法和除法”單元，復(fù)習(xí)小數(shù)乘除法計算時，可以借助上述題組引導(dǎo)學(xué)生開展多層次的思考活動：（1）整體感知，把握特點。學(xué)生獨立比較，發(fā)現(xiàn)這組算式的整體情況，將小數(shù)的乘法與除法有機地聯(lián)通起來，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。（2）分類梳理，思考聯(lián)想。運用分類與比較，引導(dǎo)學(xué)生梳理顯性思考，整體溝通小數(shù)乘除法的計算方法；同時，梳理隱性規(guī)律，讓學(xué)生體會到乘除法之間的可逆性。（3）反思策略，凸顯本質(zhì)?；仡櫵伎歼^程，凸顯習(xí)題的本質(zhì)內(nèi)涵，促進學(xué)生系統(tǒng)掌握小數(shù)乘除法的結(jié)構(gòu)特點。這樣，將知識橫向鋪展，串成線，連成面，結(jié)成網(wǎng)，在比較中實現(xiàn)知識的融會貫通。同時，還能滲透分類比較、抽象概括等隱性的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，感悟思考策略。

2.縱向貫通，建立數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系。

數(shù)學(xué)知識的縱向結(jié)構(gòu)，既指所學(xué)知識與已有知識以及后續(xù)知識之間的邏輯聯(lián)系，也指核心概念和方法在不同階段的呈現(xiàn)方式和研究重點。

教學(xué)蘇教版四下《認(rèn)識平行四邊形和梯形》一課，四邊形的認(rèn)識是由淺入深推進的——直觀認(rèn)識四邊形→認(rèn)識長（正）方形的特征→認(rèn)識平行四邊形和梯形的特征。具體如下：（1）基于經(jīng)驗，探索特征。在低年級認(rèn)識四邊形時，主要是引導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察比較，感知圖形的特征，并用形象的語言來描述。三年級研究“長（正）方形的特征”時，主要是從邊和角兩個層面來探索長方形和正方形的特征與關(guān)系。（2）遷移方法，研究特征。四年級認(rèn)識“平行四邊形和梯形的特征”時，重在激活學(xué)生已有的探索經(jīng)驗，使他們在遷移中自主發(fā)現(xiàn)、歸納特征，理解兩種平面圖形的關(guān)系。（3）邏輯串聯(lián)，提領(lǐng)脈絡(luò)。在認(rèn)識平行四邊形和梯形之后，組織學(xué)生對學(xué)過的四邊形進行縱向梳理，初步感悟“圖形的內(nèi)涵增加，外延逐漸縮小”的結(jié)構(gòu)特點。在教學(xué)每一個知識點時，若能穿透時空將知識縱橫相連，將有利于學(xué)生建構(gòu)更完備的知識體系，為他們進行深度思考提供認(rèn)知儲備。

（二）深度思考，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

深度思考就是思維的深加工，也是學(xué)生鞏固、轉(zhuǎn)換和內(nèi)化信息的過程，它是通往理解、領(lǐng)悟、運用的通道。教師要引導(dǎo)學(xué)生將原始資料加工成條理分明、完整和有意義的知識，并聯(lián)結(jié)到他們現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，觸發(fā)其深度思考。

1.全面覺知，個性化表征信息。

腦科學(xué)研究表明，覺知是意識到發(fā)生在周圍的事情，這意味著接受環(huán)境可以通過觀察、感覺和傾聽來實現(xiàn)。教學(xué)蘇教版四下《行程問題》，有這樣一道例題：小明和小芳同時從家出發(fā)走向?qū)W校（如圖1），經(jīng)過4分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

學(xué)生在思考與探索中，需要經(jīng)歷“動作表征→圖像表征→符號表征”的過程，理解關(guān)鍵信息的意義，為深度思考搭建階梯。多種表征方式可以直觀地幫助學(xué)生理解，如用“→←”表征相向而行，用“← →”表征相背而行，為理解“行走的路程和”提供形象的輔助工具；用“→→”表征同向而行，為理解“行走的路程差”提供直觀的圖式支撐。

2.從分析到綜合，外化思考過程。

學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，分析到綜合的過程是讓學(xué)生先了解整體和各個部分，然后重組或創(chuàng)造出一個新的整體。學(xué)習(xí)不是忙于吸收知識，而是將知識進行編碼，從而轉(zhuǎn)換成有意義的材料。語言是思考的工具，要培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范有序的表達能力。如：“根據(jù)（ ）和（ ）可以求出（ ）”；“要求（ ）就要知道（ ）和（ ）”；“我是先算（ ），再算（ ），所以（ ）”……這樣的表達模式能為學(xué)生的有序思考提供支架。同時，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生有序地分析與綜合的能力，如從眾多條件中選擇相關(guān)條件，把有用的信息適當(dāng)組塊，聯(lián)結(jié)成解決問題的關(guān)鍵因素。另外，還要借助數(shù)學(xué)語言，外化學(xué)生的分析過程，展現(xiàn)信息的有效組合，觸發(fā)其深度思考的發(fā)生。

3.策略遷移，內(nèi)化思考方法。

遷移應(yīng)用的本質(zhì)就是將習(xí)得的思考方法內(nèi)化為自身的策略思想，能夠應(yīng)用所學(xué)的思考方法來解決相關(guān)問題。這不是單純的知識再現(xiàn)過程，而是創(chuàng)造性地轉(zhuǎn)化信息、展示自己的思考，并進行更為精細(xì)和有效的學(xué)習(xí)的過程。蘇教版五上《解決問題的策略：列舉》一課有這樣一道例題：王大叔用22根1米長的柵欄圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？學(xué)生在解決這個問題時，需要經(jīng)歷“理解題意→分析數(shù)量關(guān)系→解決問題→回顧反思”的全過程，理解列舉的本質(zhì)是把符合要求的答案一個一個有序地列出來，積累解決問題的經(jīng)驗。在此基礎(chǔ)上，出示相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的策略解決問題。學(xué)生在解決問題的過程中，能真切地體會到這類問題的共同之處，感悟到列舉策略之于解決這一類問題的價值，有效地內(nèi)化思考的方法。

4.同化聯(lián)結(jié)，建構(gòu)思考模型。

學(xué)生在遇到一個現(xiàn)實的問題情境時，如果能主動激活和提取頭腦中的模型經(jīng)驗，就能順利地解決問題。條件化的知識是經(jīng)過同化與聯(lián)結(jié)加工的知識，最容易被激活和提取。教學(xué)蘇教版五上《多邊形的面積》一課，學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計算時，是把平行四邊形剪拼轉(zhuǎn)化成長方形，根據(jù)長方形的面積計算公式推導(dǎo)得出的。探索三角形的面積時，學(xué)生對先前的經(jīng)驗進行聯(lián)結(jié)加工，建構(gòu)起轉(zhuǎn)化的思考模型，由平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)而得。探索梯形的面積時，先前積累的模型經(jīng)驗再次被激活，且更加牢固，學(xué)生能順利運用拼合轉(zhuǎn)化的思考模型推導(dǎo)出它的計算公式。最后，通過縱向聯(lián)結(jié)將圖形之間的關(guān)系以及推導(dǎo)方式的共性進行梳理和溝通，建構(gòu)起多邊形面積計算公式推導(dǎo)的思考模型（如圖2）。這樣的思考模型也能為以后推導(dǎo)圓的面積、圓柱表面積和體積計算公式提供基礎(chǔ)。因此，同化是內(nèi)容的中心，是信息以個人方式內(nèi)化，是內(nèi)容或技能與個人的聯(lián)結(jié)，是個人成長和轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵。

學(xué)習(xí)可以看作由“表層結(jié)構(gòu)”向“深層結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)變的過程，深度思考是其中最關(guān)鍵的要素。學(xué)習(xí)需要將新知識的學(xué)習(xí)固定在學(xué)生的背景知識上，當(dāng)前擁經(jīng)驗與新信息有效聯(lián)結(jié)時，意義形成就會更有力量；當(dāng)學(xué)生能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言有序表征信息時，就為其內(nèi)化應(yīng)用提供了思考的階梯；當(dāng)學(xué)生成功地激活和提取條件化的知識時，思考模型正在建構(gòu)與聯(lián)結(jié)，這才表明他們深度思考了，如此，學(xué)習(xí)便真正發(fā)生了。

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注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。