安徽省蕪湖市沈巷中學 胡 浩 (郵編:201801)安徽師范大學附中 馬 林 (郵編:241000)
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新課標全國卷立體幾何考題分析及2016備考建議
安徽省蕪湖市沈巷中學胡浩(郵編:201801)安徽師范大學附中馬林(郵編:241000)
摘要從2016年開始,安徽等省份將采用全國卷進行高考.全國高考卷與分省高考卷有什么異同?如何適應全國卷高考?如何開展2016年高考數(shù)學復習?本文從立體幾何模塊展開具體論述,并提出2016年立體幾何的備考建議.
關(guān)鍵詞全國卷;立體幾何;試題分析;備考建議
立體幾何是高中數(shù)學的主干知識.課程標準下的高中數(shù)學教材螺旋式地安排了兩部分內(nèi)容:《數(shù)學2》(必修);《數(shù)學》(選修2-1).“空間幾何體”、“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”、“空間直角坐標系”和“空間向量與立體幾何”作為高考必考內(nèi)容,在歷年的試卷中已成保留“節(jié)目”.筆者以2013-2015年新課標全國高考數(shù)學卷(理科)為例,分析立體幾何試題的命題特點與規(guī)律,并提出幾點備考對策,供各位同仁高三復習參考.
1新課標全國卷立體幾何試題歸納
縱觀2013—2015年新課標全國高考數(shù)學卷,從年份、卷號、題號、分值、問題的載體、考查的知識點與方法等幾個方面,制成下面的表格,從中可以透視近三年立體幾何的命題視角和考查方向.
年份卷號題號分值問題的載體知識點與方法2013I卷6、8、1822球、組合體的三視圖、三棱柱球、組合體的體積計算,兩平面垂直的性質(zhì),線面角的找法及計算.考查計算能力、空間想象能力和推理論證能力.II卷4、7、1822線與面的位置關(guān)系、三視圖、三棱柱線面的位置關(guān)系,三視圖,線面平行的判定,二面角的求解.考查推理論證能力、空間想象能力、轉(zhuǎn)化的思想方法.2014I卷12、1917三棱錐的三視圖、三棱柱三視圖還原成幾何體,線面垂直的判定與性質(zhì),二面角的求解,空間向量的坐標運算.考查空間想象能力、推理論證和計算能力.II卷6、11、1822組合體的三視圖、直三棱柱、側(cè)棱與底垂直的四棱錐幾何體的體積公式,求異面直線所成角,線面平行的判定,二面角的向量求法.考查運算能力、數(shù)據(jù)處理能力和推理論證能力.2015I卷6、11、1822組合體的三視圖、圓錐、組合體圓錐的體積,圓柱和球的表面積,兩平面垂直的判定,兩條異面直線所成角.考查還原幾何體、運算求解能力與轉(zhuǎn)化的思想方法.II卷6、9、1922組合體的三視圖、球、長方體計算幾何體體積,線面間的位置關(guān)系,直線與平面所成角.考查空間想象能力、運算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想方法.
2新課標全國卷立體幾何試題分析
從2013—2015年新課標全國高考數(shù)學卷匯總表可以看出,立體幾何注重能力考查,題型題序相對穩(wěn)定.一般命制兩個選擇題,一個解答題,合計22分.選擇題一易一難,難易相間;解答題一般在18或19題的位置,屬容易題或中檔題,難度不大.下面從命題立意、考查重點等技術(shù)層面分析近三年立體幾何高考題.
2.1創(chuàng)設(shè)實際情境,考查數(shù)學應用
高考中考查應用題已成為常態(tài).創(chuàng)設(shè)一個實際情境,考查學生閱讀審題和數(shù)學建模的能力,呈現(xiàn)“數(shù)學來源于實際”的課程理念.這類題題號靠前,承載的幾何體較簡單,難度適中偏易,學生容易得分.
例1(2013年I卷題6)有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為()
例2(2015年I卷題6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺 ,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()
A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛
試題分析立體幾何應用問題近三年均在第6題中考查不是偶然的巧合,反映出命題者的立意:考查數(shù)學的實際應用,但又不想增加試題的難度,保持該型題難度的相對穩(wěn)定中等略偏下,要求學生有較強的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力.另外,2015年I卷考題6(例1)滲透了數(shù)學文化與數(shù)學史,這是全國高考數(shù)學命題的新動向,值得我們關(guān)注!
2.2堅持通性通法,考查主干知識
所謂通性通法,是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學思想方法.全國高考數(shù)學命題的基本原則是淡化特殊技巧,注重通性通法,強調(diào)對具有普遍意義的方法和相關(guān)知識的考查.通性通法不僅能全面透視出立體幾何的本質(zhì)與內(nèi)涵,而且對全國考生來講背景也是公平的.立體幾何中的核心概念、主干知識、常規(guī)思想方法是??疾⒘η髣?chuàng)新.
例3(2014年II卷題11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,M、N分別是A1B1、A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()
例4(2014年II卷題18)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1)證明:PB∥平面AEC;
例5(2015年I卷題18)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E、F是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)證明:平面AEC⊥平面AFC;
(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.
試題分析用幾何法或向量法求空間角:異面直線所成角、線面角、二面角,證明線面平行或垂直、面面平行或垂直,求幾何體的體積等都是全國高考立體幾何的“??汀?,命題者的意圖在于用主干知識挑大梁,但在知識點的分布上力求均衡即:線面平行或垂直只考其一,空間角只考其一,且都是“一拖二”型,一題證明推理,一題計算求空間角或體積.
2.3揭示邏輯關(guān)系,考查推理能力
數(shù)學能力的核心是邏輯思維能力,突出考查的是理性思維,而思想的過程是靠邏輯推理來完成的,因而推理論證能力是高考考查的著力點.說一個命題為假,只需要舉出一個反例;判斷一個命題為真命題,必須給出證明過程,這是進行邏輯推理的基本范式.在推理過程中,要求理由充分、層次清楚、書寫規(guī)范.清晰而規(guī)范的解題思路來自對立體幾何相關(guān)定義、定理、公理的準確理解和靈活應用.
例6(2013年II卷題4)已知m、n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()
A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β
C.α與β相交,且交線垂直于l
D.α與β相交,且交線平行于l
例7(2013年I卷題18)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600.
(1)證明AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.
例8(2015年II卷題19)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E、F分別在A1B1、D1C1上,A1E=D1F=4.過點E、F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);
(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.
試題分析全國高考對推理能力的考查是客觀題和主觀題雙管齊下,考查的對象是立體幾何中的主干知識——空間中點、線、面的位置關(guān)系.必須要指出的是2015年II卷題19,要求畫出兩個相交平面的交線,此類題在消失多年后又“卷土重來”,絕非只是命題者的一時興起,它與人民教育出版社章建躍博士“作圖是立體幾何學習的第一大事”的理念遙相呼應,這個變化也值得關(guān)注!
2.4重視動態(tài)問題,考查探究能力
運動、變化是幾何的重要特征之一,在運動、變化中探究幾何性質(zhì),在變化中尋求規(guī)律,在變中探究不變,在動中探索不動,是對學生高層次思維能力的考查.這類問題常在解答題中出現(xiàn),但也有年份在客觀題中出現(xiàn).
例9(2015年II卷題6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()
例10(2015年II卷題9)已知A、B為球O的球面上的兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()
A.36πB.64πC.144πD.256π
試題分析解決立體幾何中的“動態(tài)問題”,關(guān)鍵是要引導學生探究圖形運動過程中的“不變量”,抓住它,問題就能得到解決.在例10中,動點C運動的不變量是點C到球心O的距離即球半徑,當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑端點時,三棱錐O-ABC體積最大,據(jù)此得到球半徑的大小,問題獲得解決.讓學生的思維在關(guān)鍵處閃光,能力在要害處增長,弱點在隱蔽處暴露,意志在細微處磨礪,這是數(shù)學解題教學的根本任務.
通過以上的分析,我們可以得出:全國高考數(shù)學卷立體幾何考查的立意、方向、重點等與安徽卷大體相同,但題號、題型較安徽卷更加穩(wěn)定,題數(shù)比安徽卷多一小題,解答題的形式都是“一拖二”,分值增加到22分.更加注重能力的考查,更加關(guān)注動態(tài)背景下點、線、面位置關(guān)系的考查.數(shù)學文化、數(shù)學史,幾何畫圖水平進入考查的視野等都是全國高考數(shù)學卷立體幾何命題的新形式、新變化,必須引起我們的高度關(guān)注.
32016年高考立體幾何備考建議
從2016年開始,安徽省將用教育部考試中心命制的全國卷進行高等學校招生統(tǒng)一考試,所以剖析近三年全國高考立體幾何試題,有利于日常教學,更有利于復習備考.
3.1回歸課本,夯實基礎(chǔ),抓綱務本求真
高考數(shù)學復習強調(diào)回歸課本是基于以下事實:
1.高考命題的原則:依據(jù)考綱,源于教材,高于教材.高考命題的依據(jù)是《考試大綱》,而《考試大綱》編寫的依據(jù)是《課程標準》,教材又是《課程標準》的具體化和形象化.高考命題堅持穩(wěn)定,而又注重在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上創(chuàng)新.那么,靠什么來維持穩(wěn)定呢?不是應考熱點,也不是參考資料,而是課本!只有課本才是相對穩(wěn)定的,這種回歸課本的導向,不僅有利于命題的穩(wěn)定,而且有利于教學秩序的穩(wěn)定,對中學數(shù)學教學中事實上存在的資料泛濫、濫用資料現(xiàn)象也是有力的矯正.
2.安徽省特級教師、合肥市教研室王道宇老師在合肥市2016年高考研究報告《明確策略求實效,剛?cè)岵蟀l(fā)展》中指出:“全國高考數(shù)學試卷相當數(shù)量的試題都源于課本的例、習題,或稍加改造,或做拼合,或稍做提高,使常規(guī)題型、常見思路、常用方法在試卷中占了主體地位.突出了基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的考查.”又強調(diào)指出 “高考試題多數(shù)是課本習題的變式、改編,難度與課本試題的難度相當,也有的試題高于課本的難度,思維量高于課本試題的思維量.”
3.筆者通過對2015年高考數(shù)學課標Ⅰ卷(理科)的研究,得出取材于課本的考題有:1、2、3、4、7、8、9、14、17 、18等.
對回歸教材的幾點建議:(1)引導落實.教師思想重視,在例題講解時適當引入課本例題或習題,或引導學生看課本;復習訓練中得到的一些規(guī)律性的東西,要注意從課本中尋求這些經(jīng)驗、方法和規(guī)律的依據(jù).(2)上課落實.改變知識串講方法,以知識+問題形式,使知識問題化,教師引領(lǐng),學生參與解決;解題教學中解題方式的表達,應以課本為標準.很多復習資料中關(guān)鍵步驟的省略、符號的濫用、語言的隨意性和圖解法的泛化等,都是不可取的,應通過課本來規(guī)范.(3)訓練落實.在作業(yè)或單元測試中,設(shè)計部分課本例題或習題的變形或引申.如果遇到障礙,盡可能把問題回歸為課本中的例題和習題,應有查閱課本的習慣,通過課本查明我們在知識上的缺陷.重視教材的二次開發(fā),主要是對課本例題引申、拓展、舉一反三,重在遷移,探討如何使課本習題發(fā)出新枝.關(guān)注課本中可探究型素材,實現(xiàn)課本與高考的無縫對接.
3.2講清道理,展現(xiàn)思維,彰顯數(shù)學本質(zhì)
筆者認為:提高學生的數(shù)學學習與考試水平,必須回歸基礎(chǔ)知識與方法的本源,要把眼睛緊緊盯在問題背后隱性的道理上.無論是概念、定理的教學,還是解題教學和解題訓練,都必須緊緊圍繞基礎(chǔ)、道理去展開,使得基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法真正成為學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學的“加油站”.因此,在“三基”的復習中,既要回憶知識的發(fā)生過程,又要關(guān)注問題的抽象特征,使得學過的知識容易被激活,能夠被遷移.在數(shù)學解題訓練中,應圍繞數(shù)學基礎(chǔ)知識的合理組織、運用與基本思想方法的不斷深化來展開,而不僅僅只是題目類型、解題技巧的訓練與歸納.我們要清醒地認識到,盲目的解題訓練非但無益,甚至有害,“一類題目一種解法”的訓練,使學生養(yǎng)成“填鴨式”的解題習慣,造成他們的認知惰性,即只是從形式上去思考問題,而不從本質(zhì)上去探究.例如,“線面平行”本質(zhì)的把握是線面平行復習的關(guān)鍵.所謂“線面平行”是指一條直線和一個平面沒有公共點,如何刻畫這一特征?可以從線面關(guān)系或面面關(guān)系兩個方面來進行,進而得出判斷線面平行的兩種基本方法:線線平行?線面平行?面面平行.抓住了“線面平行”的本質(zhì),線面平行就不需要用大量的重復練習來定型,復習就可以全面突破,既提高了考點的復習效率,又切實減輕了學生的復習負擔.
3.3突出主干,扎實訓練,注重通性通法
全國高考數(shù)學試卷堅持能力立意,注重對數(shù)學思想方法的考查,突出考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力,運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應用意識和創(chuàng)新意識.淡化特殊技巧,注重通解通法,回避繁難偏怪的試題.
重視立體幾何中畫圖能力的訓練,作圖是立體幾何學習的“第一大事”(章建躍語);強調(diào)向量法的作用是立體幾何改革的基本方向(章建躍語),“基本圖形”是立體幾何的樹根和樹干,有“自我生長功能”,因而要重視 “基本圖形”在立體幾何中的復習功能.加強兩種基本方法——幾何法和向量法的扎實訓練,常規(guī)題型的分析思路以及解題方法要求學生要記憶在腦海中,消化在血液里.例如,求二面角的大小就是求其平面角的大小,用幾何法解題關(guān)鍵是找平面角,找角的方法有哪些,必須要通過典型的訓練掌握找平面角的常用方法即通法;用向量法解題關(guān)鍵是求出兩個半平面的法向量,借助法向量的夾角來求其平面角的大小,那么如何求平面的法向量就是該類問題的通性通法,要扎實訓練加以掌握.
教師在引導學生用通性通法解題的同時,也要注意特定方法、特殊技巧的運用,尤其在選擇與填空類的試題中,避免“小題大作”,要“小題小做”、“小題巧做”.要建立“在客觀題中盡量用特殊法解決,在解答題中以特殊法探路”的意識,這樣可以快而準地解決問題.當然,在教學中我們必須以通性通法為基本原則,否則就又進入另一個認識上的誤區(qū)了.
我們覺得2016年立體幾何的復習備考,在突出主干、扎實訓練的同時,還要注意另外兩種題型的訓練,(1)平面圖形的翻折問題:例如數(shù)學課本必修②第79頁B組題1,選修2-1第118頁題12;(2)旋轉(zhuǎn)體中點、線、面之間的關(guān)系:例如2013年安徽卷對旋轉(zhuǎn)體的考查,我們的印象是深刻的,很值得玩味,這兩種題型在訓練時,要督促學生掌握解決問題的常用方法,不玩特法特技.
4結(jié)束語
高考數(shù)學復習一個首要問題,就是要能夠?qū)Ω呖紡土暤恼n程資源做出正確的判斷、恰當?shù)娜∩岷秃侠淼倪\用,要知識與能力并重,思想和方法同行.這樣的高考復習課堂才會煥發(fā)出生命的活力,才能保證復習效率的最大化,才能用高考復習的“不變”應對全國高考試卷的“萬變”.正如安徽省教育廳程藝廳長指出的那樣“只要老師教的好,學生學得好,不管怎么出題都不怕”.
參考文獻
1章建躍.立體幾何教學中的幾個問題[J].中學數(shù)學月刊,2015(10)
2黃嚴生.近五年高考數(shù)學全國卷的命題特點[J].中學數(shù)學教學參考,2015(12)
(收稿日期:2016-01-12)