云南省大理第一中學(xué)　　王永生　　(郵編：233000)

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聚焦新課程

高考對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材“拓展性課程資源”的考查

云南省大理第一中學(xué)王永生(郵編：233000)

摘要高中數(shù)學(xué)新教材增加了許多“拓展性課程資源”.在實(shí)際使用教材的過(guò)程中，這些內(nèi)容卻陷入了高評(píng)價(jià)低使用率的尷尬境地.結(jié)合具體例子就高考對(duì)這些“拓展性課程資源”的考查進(jìn)行了說(shuō)明，以期引起大家對(duì)這些內(nèi)容的重視.

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)高考；課程標(biāo)準(zhǔn)；課程資源

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱《高中課標(biāo)》)的一大特點(diǎn)是在課程的基本理念中指出：“高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)探究’、‘?dāng)?shù)學(xué)建?！葘W(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.”

基于此，在人教A版教材中，以“探究與發(fā)現(xiàn)”、“閱讀與思考”、“信息技術(shù)應(yīng)用”和“實(shí)習(xí)作業(yè)”欄目形式給出了“拓展性課程資源”.下表為人教A版必修教材中幾個(gè)欄目的數(shù)量統(tǒng)計(jì).

教材版欄目數(shù)量人教A版探究與發(fā)現(xiàn)6閱讀與思考24信息技術(shù)應(yīng)用9實(shí)習(xí)作業(yè)5

在實(shí)際使用教材的過(guò)程中，這些內(nèi)容陷入了高評(píng)價(jià)低使用率的尷尬境地.由于這些資源“在師生心目中地位的缺失，至今仍然沒(méi)有引起師生的重視，當(dāng)然也基本不能發(fā)揮其應(yīng)有的功能與價(jià)值了”.

還好，近幾年來(lái)的高考題中多少出現(xiàn)了一些“拓展性課程資源”的影子.雖然飽受爭(zhēng)議，可這恰恰說(shuō)明了命題者對(duì)新課程改革的支持，同時(shí)也為高中數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向，那就是不能太過(guò)于功利，對(duì)教材中的這些“拓展性課程資源”視而不見(jiàn)，而應(yīng)適當(dāng)用好這些資源，從而努力提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面結(jié)合具體例子談?wù)劯呖际侨绾螌?duì)這些“拓展性課程資源”進(jìn)行考查的.

1對(duì)“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的考查

在學(xué)完指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容后，人教A版《數(shù)學(xué)1》(必修)(以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)1》，其它類同)安排了“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系”這一“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目，以五個(gè)問(wèn)題的形式，試圖引導(dǎo)學(xué)生得到“指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)和它的反函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的結(jié)論”.而下面的考題也正源于此.

解析反函數(shù)與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，一般有兩個(gè)處理方法，一是從原函數(shù)出發(fā)求其反函數(shù)，再求函數(shù)最大值，本題求反函數(shù)較困難；二是利用反函數(shù)定義域?qū)?yīng)原函數(shù)值域，反函數(shù)值域?qū)?yīng)原函數(shù)定義域，反函數(shù)與原函數(shù)對(duì)偶區(qū)間上單調(diào)性一致，求出函數(shù)最大值.

祖暅原理是中國(guó)數(shù)學(xué)歷史文化的瑰寶.《高中課標(biāo)》認(rèn)為：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢(shì).”并提出“應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.”《數(shù)學(xué)2》在第一章《空間幾何體》的最后安排了“祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積”這一“探究與發(fā)現(xiàn)”.在詳細(xì)介紹了祖暅原理的內(nèi)容后探討了它在柱體、錐體、球體的體積公式推導(dǎo)中的應(yīng)用.高考課標(biāo)全國(guó)卷還沒(méi)直接考過(guò)祖暅原理，但省市卷還是對(duì)其難以割舍.

圖1

解析根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積8π的長(zhǎng)方體，這兩個(gè)幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

2對(duì)“閱讀與思考”欄目的考查

“閱讀與思考”欄目在新教材中所占的份量最重.在必修教材中一般可分為四類：(1)知識(shí)拓展類：對(duì)教材已有數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步擴(kuò)展深化，如“斐波那契數(shù)列”、“錯(cuò)在哪兒”和“相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)與弱”等.(2)數(shù)學(xué)史類：如“海倫和秦九韶”、“對(duì)數(shù)的發(fā)明”等.(3)學(xué)科介紹類：介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，數(shù)學(xué)在其它學(xué)科中的滲透和應(yīng)用，如“坐標(biāo)法與機(jī)器證明”等.(4)實(shí)際應(yīng)用類：運(yùn)用已有的知識(shí)解決一些具有實(shí)際意義和趣味性的問(wèn)題，如“廣告中數(shù)據(jù)的可靠性”等.高考對(duì)此欄目的考查主要側(cè)重于前兩類.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查回歸直線，相關(guān)系數(shù)的知識(shí).此部分知識(shí)源于《數(shù)學(xué)3》在第二章《統(tǒng)計(jì)》中的“相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)與弱”.與此相關(guān)的考題還有：

(2011年高考江西卷理科第6題)變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5);變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，則

A.r2

C．r2<0

解析由數(shù)據(jù)可以看出變量Y與X之間是正相關(guān), 變量U與V之間是負(fù)相關(guān),所以r2<0

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,

p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,

p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.

其中的真命題是()

A．p2,p3B．p1,p2C．p1,p3D．p1,p4

解析此題求解的通法是畫(huà)出可行域后求得x+2y≥0,于是真命題是p1,p2,選B.

例5(2009年高考全國(guó)福建卷文科第16題)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的是為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為_(kāi)_____.

解析這樣得到的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.由此可知，每四個(gè)出現(xiàn)一次3的倍數(shù)，30個(gè)數(shù)中有且僅有7個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，則五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為7次.

點(diǎn)評(píng)此題以游戲形式構(gòu)造了一個(gè)“斐波那契數(shù)列”的場(chǎng)景.利用其性質(zhì)可容易得到求解.《數(shù)學(xué)5》在第二章《數(shù)列》中的“斐波那契數(shù)列”討論了該數(shù)列.類似考題還有：

(2012年高考江西卷理科第6題)觀察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,則a10+b10=()

A．28B．76C．123D．199

解析觀察各等式的右邊，它們分別是1，3，4，7，11，…，從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是前兩頂?shù)暮?，則a10+b10=123.此即為斐波那契數(shù)列的特征.

此外，“海倫公式”的應(yīng)用也極其廣泛.由此可見(jiàn)，“閱讀與思考”欄目的知識(shí)一般不直接考查，但這些知識(shí)對(duì)開(kāi)闊學(xué)生視野和提升學(xué)生能力是極有幫助的.

3對(duì)“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目的考查

“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目是最難進(jìn)行考查的.也正因?yàn)槿绱耍瞬糠仲Y源在平時(shí)教學(xué)中是最不受重視的.《數(shù)學(xué)1》在三章書(shū)中的“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目依次就用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖象；借助信息技術(shù)探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和借助信息技術(shù)求方程的近似解問(wèn)題進(jìn)行了討論.下面的問(wèn)題與此相關(guān).

圖2

A．4B．5

C．6D．7

解析畫(huà)出y=2x,y=x+2,y=10-x的圖象，如圖2，f(x)的最大值在x=4時(shí)取得6，故選C.

點(diǎn)評(píng)此題需在同一坐標(biāo)系中作出三個(gè)函數(shù)的圖象后數(shù)形結(jié)合求解.類似考題還有：

(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷文科第10題)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

解析可作出函數(shù)y=ex和函數(shù)y=3-4x的圖象后近似求解，故答案為C.

4對(duì)“實(shí)習(xí)作業(yè)”欄目的考查

“實(shí)習(xí)作業(yè)”是高中數(shù)學(xué)新教材較有特點(diǎn)的一個(gè)欄目.《數(shù)學(xué)5》在第一章《解三角形》的最后安排了一個(gè)“實(shí)習(xí)作業(yè)”.要求“根據(jù)實(shí)際需要，利用本章所學(xué)的知識(shí)做一個(gè)有關(guān)測(cè)量的實(shí)習(xí)作業(yè)，并寫(xiě)出實(shí)習(xí)報(bào)告.”與之相關(guān)的考題較多，主要突出利用解三角形的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際中與距離和高度有關(guān)的測(cè)量問(wèn)題.

圖3

例7(2009年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科第17題)為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖3)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、N間的距離的步驟.

圖4

解析方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N的俯角α2、β2；A、B的距離 d (如圖4所示).

方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的府角α2、β2；A、B的距離 d (如圖4所示).

圖5

點(diǎn)評(píng)學(xué)生如果真有這方面的實(shí)際體驗(yàn)，解決這樣的問(wèn)題并不困難.

其它幾個(gè)“實(shí)習(xí)作業(yè)”不好直接考查，但它們所涉及的一些方法仍可結(jié)合其它知識(shí)進(jìn)行考查.如《數(shù)學(xué)3》中的“實(shí)習(xí)作業(yè)”對(duì)“在校學(xué)生中每周使用計(jì)算機(jī)時(shí)間的調(diào)查”和“中學(xué)生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的相關(guān)關(guān)系”的研究等.

客觀地講，這些高考題與教材中的“拓展性課程資源”的關(guān)聯(lián)也不是那么緊密.更何況《考試大綱》也仍然未明確地將其列為考試內(nèi)容.筆者做此歸納與整理，只是想提醒大家要關(guān)注這些內(nèi)容，它們畢竟是新教材的組成部分，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)能否將其融入到相關(guān)內(nèi)容中，結(jié)合《高中課標(biāo)》的基本理念，充分發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

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2楊慧娟，劉云，孟夢(mèng).高中數(shù)學(xué)新教科書(shū)中“拓展性課程資源使用情況調(diào)查研究”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013,22(5)

(收稿日期：2016-01-31)