丁丹

摘 要 在每個(gè)人的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)過(guò)程中都會(huì)經(jīng)歷錯(cuò)誤。錯(cuò)誤在認(rèn)識(shí)過(guò)程中是不可避免的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、最終解決問(wèn)題的過(guò)程。其中有些錯(cuò)誤在學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中起著關(guān)鍵性的作用，這類錯(cuò)誤的出現(xiàn)正是學(xué)生思維缺陷、認(rèn)知沖突的反映。學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中經(jīng)歷了這類錯(cuò)誤，反復(fù)地從失敗與挫折中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，就會(huì)對(duì)問(wèn)題解決的過(guò)程有深刻的把握，并能深入地認(rèn)識(shí)到自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的真正原因，獲得真實(shí)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞 錯(cuò)誤 合理性 小學(xué)數(shù)學(xué) 問(wèn)題解決過(guò)程

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.03.039

Abstract During the process of practice and cognition everyone will go through error. Error is inevitable in cognition process. The process of learning mathematics is actually a process of finding and analyzing error and ultimately to solve the problem. Some of these errors play a key role in students' mathematical problem-solving process. The appearance of this kind of error is the reflection of the students' thinking and cognition conflict. Students' experience of this kind of error in the process of problem solving will have a profound grasp of the problem solving process and deeply understand the real cause of their own mistakes to obtain the real development.

Key words error； rationality； primary mathematics； problem-solving process

人們?cè)谔綄ふ胬淼穆吠局校粩嗟厮妓髦e(cuò)誤的問(wèn)題。在每個(gè)人的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)過(guò)程中都會(huì)經(jīng)歷錯(cuò)誤。錯(cuò)誤在認(rèn)識(shí)過(guò)程中是不可避免的。它與真理是人們認(rèn)識(shí)過(guò)程中的一對(duì)孿生姐妹，人們不能不去認(rèn)識(shí)真理，人們也不能不犯錯(cuò)誤。人類的進(jìn)化、生命的進(jìn)化歷程也是一個(gè)經(jīng)歷錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤、運(yùn)用錯(cuò)誤的過(guò)程。懷特海說(shuō)過(guò)“畏懼錯(cuò)誤就是毀滅進(jìn)步”；恩格斯也說(shuō)過(guò)“要明確地懂得理論，最好的道理就是從本身的錯(cuò)誤當(dāng)中，從親身經(jīng)歷的痛苦體驗(yàn)中去學(xué)習(xí)”，這些關(guān)于錯(cuò)誤的格言警句從不同的角度讓我們感受到錯(cuò)誤的價(jià)值。人類的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐是在不斷的探索中獲得提升的，只有經(jīng)歷了實(shí)踐—認(rèn)識(shí)—再實(shí)踐—再認(rèn)識(shí)的多次反復(fù)，才能得以逐漸升華。哲學(xué)上，將這種與實(shí)踐·認(rèn)識(shí)活動(dòng)的探索性和曲折性所決定的、不可避免地要發(fā)生的錯(cuò)誤，稱為合理錯(cuò)誤。這類合理錯(cuò)誤在人類的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐過(guò)程中起著關(guān)鍵性的作用。

同樣，在小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生也會(huì)遇到各種各樣的錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、最終達(dá)到解決問(wèn)題的過(guò)程。其中有些錯(cuò)誤在學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中起著關(guān)鍵性的作用，這類錯(cuò)誤的出現(xiàn)正是學(xué)生思維缺陷、認(rèn)知沖突的反映。學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中經(jīng)歷了這類錯(cuò)誤，反復(fù)地從失敗與挫折中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，就會(huì)對(duì)問(wèn)題解決的過(guò)程有深刻的把握，并能深入地認(rèn)識(shí)到自己存在錯(cuò)誤的真正原因，獲得真實(shí)的發(fā)展。

例如，在《百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》的課堂教學(xué)中，有這樣一道例題：光明小學(xué)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)16個(gè)籃球，實(shí)際購(gòu)買(mǎi)了20個(gè)籃球，實(shí)際購(gòu)買(mǎi)的籃球比原計(jì)劃多百分之幾？

學(xué)生很快計(jì)算出“實(shí)際比原計(jì)劃多25%”，教師有意追問(wèn)了一句：“根據(jù)實(shí)際比原計(jì)劃多25%，猜一猜，原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)的籃球比實(shí)際少百分之幾？”學(xué)生（異口同聲地）回答：“原計(jì)劃比實(shí)際少25%?！?/p>

師：請(qǐng)大家再來(lái)算一下吧。

一個(gè)學(xué)生說(shuō)道：“怎么算出來(lái)是20%呀？”

旁邊的學(xué)生說(shuō)：“我也得出同樣的結(jié)論?！?/p>

這時(shí)，一個(gè)同學(xué)說(shuō)：（20-16）？6=25%，正好是25%。

五六名同學(xué)都跑到得出25%的學(xué)生旁邊，經(jīng)過(guò)爭(zhēng)論，學(xué)生們也開(kāi)始意識(shí)到自己的錯(cuò)誤，也逐漸清楚了“實(shí)際比計(jì)劃多25%”指多“原計(jì)劃的25%”，“計(jì)劃比實(shí)際少25%”是指少“實(shí)際的25%”，“計(jì)劃的25%”和“實(shí)際的25%”是不相等的，因?yàn)閱挝?的量不同。

通過(guò)學(xué)生之間的爭(zhēng)論、思維的碰撞、嘗試性地解決問(wèn)題、尋找出現(xiàn)錯(cuò)誤的根源，最終理解了“量”與“率”的區(qū)別以及單位“1”的問(wèn)題。經(jīng)歷了這一過(guò)程的學(xué)生，必定較好地掌握了這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。課堂上出現(xiàn)的這類錯(cuò)誤即是我們所說(shuō)的學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的合理錯(cuò)誤。

瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰（Jean Piaget）認(rèn)為兒童的認(rèn)知發(fā)展一般要經(jīng)歷四個(gè)階段：感知運(yùn)動(dòng)階段（0～2歲）、前運(yùn)算階段（2～7歲）、具體運(yùn)算階段（7～12歲）和形式運(yùn)算階段（1～15歲）。小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展正好處于具體運(yùn)算階段，這一階段的兒童思維發(fā)生了質(zhì)的變化，具體來(lái)說(shuō)主要有三個(gè)層次：（1）直觀行動(dòng)思維，它是以實(shí)際的操作行動(dòng)為依托的數(shù)學(xué)思維。（2）具體形象思維，它是以表象為依托的數(shù)學(xué)思維。（3）抽象邏輯思維，它是脫離了形象而依賴于概念進(jìn)行的數(shù)學(xué)思維。小學(xué)階段學(xué)生的思維水平正是經(jīng)歷由直觀行動(dòng)思維、具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力也在發(fā)生變化。但是不可避免，在這樣一個(gè)過(guò)程中學(xué)生會(huì)經(jīng)歷各種類型的錯(cuò)誤。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程就是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程。提高學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力和反思批判能力是素質(zhì)教育的需要，是學(xué)校教育的重要目的之一。數(shù)學(xué)學(xué)科不同于其他學(xué)科的最大特點(diǎn)就是其邏輯性很強(qiáng)。數(shù)學(xué)中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，往往是前一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展，又是后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)，因此缺少任何一個(gè)也不行。在小學(xué)階段，學(xué)生犯錯(cuò)誤是不可避免的，其中有很大一部分錯(cuò)誤是由于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展限制所引起的。這類錯(cuò)誤在學(xué)生的思維發(fā)展過(guò)程中起著關(guān)鍵性的作用，它反映了學(xué)生在知識(shí)上的缺陷、邏輯思維發(fā)展的不成熟、感知經(jīng)驗(yàn)的干擾及技能技巧的不熟練。有些學(xué)生雖然能解決一些問(wèn)題，但往往知其然而不知其所以然，歸根結(jié)底，筆者認(rèn)為是由于學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的整個(gè)過(guò)程，沒(méi)有真正將知識(shí)內(nèi)化成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如“7+4=”，低年級(jí)學(xué)生有時(shí)會(huì)順口答出7+4=11，也有些學(xué)生得不出正確答案。當(dāng)老師進(jìn)一步問(wèn)“你是怎么想的”，無(wú)論能否得出正確答案，很多學(xué)生就回答不出他是如何思考的。經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐很多老師開(kāi)始要求學(xué)生學(xué)會(huì)說(shuō)算理。通過(guò)讓學(xué)生說(shuō)算理，使他們能夠自覺(jué)地來(lái)調(diào)節(jié)、檢查或論證自己的思維過(guò)程。隨著學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的豐富，長(zhǎng)期經(jīng)過(guò)這樣的思維訓(xùn)練，學(xué)生會(huì)自覺(jué)地在問(wèn)題解決過(guò)程中用嚴(yán)密的邏輯思維來(lái)思考問(wèn)題。筆者認(rèn)為，小學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤正是他的知識(shí)缺陷、認(rèn)知上沖突、思維發(fā)展不成熟的反映，學(xué)生探尋問(wèn)題解決的正確途徑具有非常重要的作用。通過(guò)教師的引導(dǎo)、同學(xué)間的爭(zhēng)論以及自己的思考來(lái)克服、改正這類錯(cuò)誤的學(xué)生，不僅能探尋到解決問(wèn)題的正確途徑，同時(shí)能發(fā)現(xiàn)自身的知識(shí)缺陷、認(rèn)知沖突和思維缺陷，最終獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力和自我反思批判能力上的提升。

學(xué)生掌握知識(shí)、解決問(wèn)題的過(guò)程與人類實(shí)踐·認(rèn)識(shí)活動(dòng)是一致的，都具有探索性、曲折性和嘗試性的特點(diǎn)，當(dāng)然小學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程也不例外。這一階段學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展和邏輯思維水平并未發(fā)展成熟，導(dǎo)致學(xué)生在思考與解決問(wèn)題的過(guò)程中必然會(huì)遇到與人類探索知識(shí)的過(guò)程中相一致的各種錯(cuò)誤。人類探索知識(shí)的過(guò)程中不斷經(jīng)歷與體驗(yàn)了各種錯(cuò)誤，才能最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)化、情感發(fā)展與能力提升，實(shí)現(xiàn)人類的進(jìn)步。同樣小學(xué)生在學(xué)習(xí)與問(wèn)題解決過(guò)程中，由于思維水平發(fā)展的局限性和知識(shí)探索過(guò)程的嘗試性與曲折性，學(xué)生的發(fā)展必然會(huì)受到限制，此時(shí)合理錯(cuò)誤就顯得格外重要。能否處理好小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生的合理錯(cuò)誤關(guān)系著學(xué)生個(gè)體的知識(shí)內(nèi)化、情感發(fā)展與能力提升，也關(guān)系著學(xué)生真實(shí)、真正的發(fā)展。

在現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)中，學(xué)生犯各種各樣的錯(cuò)誤不可避免。導(dǎo)致學(xué)生犯錯(cuò)誤的因素有很多，有些是由于知識(shí)上的缺陷，有些是由于行為上的習(xí)慣，有些是由于思維發(fā)展水平不成熟。教師不合理的處理方式制約合理錯(cuò)誤促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展?，F(xiàn)實(shí)的課堂中，教師不合理的處理方式主要表現(xiàn)在：

（1）認(rèn)為學(xué)生的錯(cuò)誤是教師教學(xué)效果不佳的表現(xiàn)。存在這種觀念的教師，在教學(xué)理念、行為和言語(yǔ)上都會(huì)以各種消極的方式對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，這種處理方式導(dǎo)致學(xué)生為了避免出錯(cuò)，而不愿意參加課堂教學(xué)活動(dòng)，更不愿意表達(dá)自己的想法，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性較低。

（2）認(rèn)為學(xué)生的錯(cuò)誤是學(xué)生主體性的彰顯。存在這種觀念的教師，在教學(xué)理念、行為和言語(yǔ)上都會(huì)對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)予以鼓勵(lì)，并給予積極的評(píng)價(jià)。在這種環(huán)境下，學(xué)生參與課堂教學(xué)的積極性空前高漲，愿意積極思考，主動(dòng)地表達(dá)自己的想法，但是在這種狀況下，學(xué)生的錯(cuò)誤得不到及時(shí)反饋和糾正，學(xué)生認(rèn)識(shí)不到導(dǎo)致自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的真實(shí)原因，這無(wú)論是對(duì)于保障教學(xué)質(zhì)量，還是對(duì)于促進(jìn)學(xué)生發(fā)展都是非常不利的。

實(shí)際上這兩種不同的處理方式產(chǎn)生了兩種不同的課堂生活危機(jī)。教師的這種貌似“合理”的教學(xué)行為和認(rèn)識(shí)是與現(xiàn)代教育理念相背離的，也不利于學(xué)生通過(guò)合理錯(cuò)誤獲得發(fā)展。首先，從處理錯(cuò)誤的方式上來(lái)說(shuō)，學(xué)生發(fā)生的錯(cuò)誤有很多種，不同的錯(cuò)誤是由于不同的原因所導(dǎo)致的，那么對(duì)待不同類型的錯(cuò)誤，教師應(yīng)有不同的應(yīng)對(duì)方式。只有用正確的錯(cuò)誤觀來(lái)對(duì)待它，學(xué)生在經(jīng)歷不同的錯(cuò)誤時(shí)，才能真正發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的缺陷，針對(duì)自身存在的問(wèn)題來(lái)解決，真正從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)。其次，從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論來(lái)看，每位學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)背景不同，他們對(duì)事物的理解是基于自己的已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)建構(gòu)，因此每個(gè)學(xué)生都有自己的理解，關(guān)注到的是事物的不同方面，不可能用唯一的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量每位學(xué)生。在教學(xué)中不區(qū)分學(xué)習(xí)對(duì)象而追求唯一正確答案的做法是不足取的，認(rèn)真分析各種不同觀點(diǎn)背后所隱藏的對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)有意義的各種因素，即使學(xué)生的觀點(diǎn)是不正確的，那么這種分析也是為學(xué)生的發(fā)展排除了一種錯(cuò)誤的可能性，也是很有意義的。再次，如果在課堂教學(xué)中忽視了針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的分析、思考，教學(xué)效果便是沒(méi)有保證的，在這種情況下一味地強(qiáng)調(diào)教學(xué)有效性是一種舍本逐末的教學(xué)行為。

因此，認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的必然性和不可避免性是非常重要的人生態(tài)度，也是相當(dāng)重要的心理品質(zhì)。教師要以正確的態(tài)度對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，學(xué)生才能在潛移默化中正視自己的錯(cuò)誤，并從錯(cuò)誤中吸取教訓(xùn)，總結(jié)失敗的經(jīng)驗(yàn)，獲得真實(shí)真正的發(fā)展。正如歌德所說(shuō)的：“錯(cuò)誤同真理的關(guān)系，就像睡夢(mèng)同清醒的關(guān)系一樣，一個(gè)人從錯(cuò)誤中醒來(lái)，就會(huì)以新的力量走向真理?！?/p>