丁丹

摘 要 在每個人的實踐和認識過程中都會經(jīng)歷錯誤。錯誤在認識過程中是不可避免的。數(shù)學學習的過程實際上是一個發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯誤、最終解決問題的過程。其中有些錯誤在學生的數(shù)學問題解決過程中起著關鍵性的作用，這類錯誤的出現(xiàn)正是學生思維缺陷、認知沖突的反映。學生在問題解決的過程中經(jīng)歷了這類錯誤，反復地從失敗與挫折中總結經(jīng)驗和教訓，就會對問題解決的過程有深刻的把握，并能深入地認識到自己出現(xiàn)錯誤的真正原因，獲得真實的發(fā)展。

關鍵詞 錯誤 合理性 小學數(shù)學 問題解決過程

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.03.039

Abstract During the process of practice and cognition everyone will go through error. Error is inevitable in cognition process. The process of learning mathematics is actually a process of finding and analyzing error and ultimately to solve the problem. Some of these errors play a key role in students' mathematical problem-solving process. The appearance of this kind of error is the reflection of the students' thinking and cognition conflict. Students' experience of this kind of error in the process of problem solving will have a profound grasp of the problem solving process and deeply understand the real cause of their own mistakes to obtain the real development.

Key words error； rationality； primary mathematics； problem-solving process

人們在探尋真理的路途中，不斷地思索著錯誤的問題。在每個人的實踐和認識過程中都會經(jīng)歷錯誤。錯誤在認識過程中是不可避免的。它與真理是人們認識過程中的一對孿生姐妹，人們不能不去認識真理，人們也不能不犯錯誤。人類的進化、生命的進化歷程也是一個經(jīng)歷錯誤、糾正錯誤、運用錯誤的過程。懷特海說過“畏懼錯誤就是毀滅進步”；恩格斯也說過“要明確地懂得理論，最好的道理就是從本身的錯誤當中，從親身經(jīng)歷的痛苦體驗中去學習”，這些關于錯誤的格言警句從不同的角度讓我們感受到錯誤的價值。人類的認識和實踐是在不斷的探索中獲得提升的，只有經(jīng)歷了實踐—認識—再實踐—再認識的多次反復，才能得以逐漸升華。哲學上，將這種與實踐·認識活動的探索性和曲折性所決定的、不可避免地要發(fā)生的錯誤，稱為合理錯誤。這類合理錯誤在人類的認識和實踐過程中起著關鍵性的作用。

同樣，在小學數(shù)學問題解決過程中，學生也會遇到各種各樣的錯誤。數(shù)學學習的過程實際上是一個發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯誤、最終達到解決問題的過程。其中有些錯誤在學生的數(shù)學問題解決過程中起著關鍵性的作用，這類錯誤的出現(xiàn)正是學生思維缺陷、認知沖突的反映。學生在問題解決的過程中經(jīng)歷了這類錯誤，反復地從失敗與挫折中總結經(jīng)驗和教訓，就會對問題解決的過程有深刻的把握，并能深入地認識到自己存在錯誤的真正原因，獲得真實的發(fā)展。

例如，在《百分數(shù)應用題》的課堂教學中，有這樣一道例題：光明小學計劃購買16個籃球，實際購買了20個籃球，實際購買的籃球比原計劃多百分之幾？

學生很快計算出“實際比原計劃多25%”，教師有意追問了一句：“根據(jù)實際比原計劃多25%，猜一猜，原計劃購買的籃球比實際少百分之幾？”學生（異口同聲地）回答：“原計劃比實際少25%?！?/p>

師：請大家再來算一下吧。

一個學生說道：“怎么算出來是20%呀？”

旁邊的學生說：“我也得出同樣的結論。”

這時，一個同學說：（20-16）？6=25%，正好是25%。

五六名同學都跑到得出25%的學生旁邊，經(jīng)過爭論，學生們也開始意識到自己的錯誤，也逐漸清楚了“實際比計劃多25%”指多“原計劃的25%”，“計劃比實際少25%”是指少“實際的25%”，“計劃的25%”和“實際的25%”是不相等的，因為單位1的量不同。

通過學生之間的爭論、思維的碰撞、嘗試性地解決問題、尋找出現(xiàn)錯誤的根源，最終理解了“量”與“率”的區(qū)別以及單位“1”的問題。經(jīng)歷了這一過程的學生，必定較好地掌握了這一知識點的學習。課堂上出現(xiàn)的這類錯誤即是我們所說的學生在數(shù)學問題解決過程中的合理錯誤。

瑞士著名心理學家皮亞杰（Jean Piaget）認為兒童的認知發(fā)展一般要經(jīng)歷四個階段：感知運動階段（0～2歲）、前運算階段（2～7歲）、具體運算階段（7～12歲）和形式運算階段（1～15歲）。小學階段學生的認知發(fā)展正好處于具體運算階段，這一階段的兒童思維發(fā)生了質的變化，具體來說主要有三個層次：（1）直觀行動思維，它是以實際的操作行動為依托的數(shù)學思維。（2）具體形象思維，它是以表象為依托的數(shù)學思維。（3）抽象邏輯思維，它是脫離了形象而依賴于概念進行的數(shù)學思維。小學階段學生的思維水平正是經(jīng)歷由直觀行動思維、具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過程。在這個過程中，學生運用已有的數(shù)學知識解決問題的能力也在發(fā)生變化。但是不可避免，在這樣一個過程中學生會經(jīng)歷各種類型的錯誤。

學生的數(shù)學學習過程就是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程。提高學生的問題意識，培養(yǎng)學生問題解決能力和反思批判能力是素質教育的需要，是學校教育的重要目的之一。數(shù)學學科不同于其他學科的最大特點就是其邏輯性很強。數(shù)學中的每一個知識點，往往是前一個知識點的發(fā)展，又是后一個知識點的基礎，因此缺少任何一個也不行。在小學階段，學生犯錯誤是不可避免的，其中有很大一部分錯誤是由于學生的認知發(fā)展限制所引起的。這類錯誤在學生的思維發(fā)展過程中起著關鍵性的作用，它反映了學生在知識上的缺陷、邏輯思維發(fā)展的不成熟、感知經(jīng)驗的干擾及技能技巧的不熟練。有些學生雖然能解決一些問題，但往往知其然而不知其所以然，歸根結底，筆者認為是由于學生沒有經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的整個過程，沒有真正將知識內化成自身的認知結構。例如“7+4=”，低年級學生有時會順口答出7+4=11，也有些學生得不出正確答案。當老師進一步問“你是怎么想的”，無論能否得出正確答案，很多學生就回答不出他是如何思考的。經(jīng)過教學實踐很多老師開始要求學生學會說算理。通過讓學生說算理，使他們能夠自覺地來調節(jié)、檢查或論證自己的思維過程。隨著學生知識經(jīng)驗的豐富，長期經(jīng)過這樣的思維訓練，學生會自覺地在問題解決過程中用嚴密的邏輯思維來思考問題。筆者認為，小學生在數(shù)學問題解決過程中出現(xiàn)的錯誤正是他的知識缺陷、認知上沖突、思維發(fā)展不成熟的反映，學生探尋問題解決的正確途徑具有非常重要的作用。通過教師的引導、同學間的爭論以及自己的思考來克服、改正這類錯誤的學生，不僅能探尋到解決問題的正確途徑，同時能發(fā)現(xiàn)自身的知識缺陷、認知沖突和思維缺陷，最終獲得數(shù)學問題解決能力和自我反思批判能力上的提升。

學生掌握知識、解決問題的過程與人類實踐·認識活動是一致的，都具有探索性、曲折性和嘗試性的特點，當然小學生的問題解決過程也不例外。這一階段學生的認識發(fā)展和邏輯思維水平并未發(fā)展成熟，導致學生在思考與解決問題的過程中必然會遇到與人類探索知識的過程中相一致的各種錯誤。人類探索知識的過程中不斷經(jīng)歷與體驗了各種錯誤，才能最終實現(xiàn)知識內化、情感發(fā)展與能力提升，實現(xiàn)人類的進步。同樣小學生在學習與問題解決過程中，由于思維水平發(fā)展的局限性和知識探索過程的嘗試性與曲折性，學生的發(fā)展必然會受到限制，此時合理錯誤就顯得格外重要。能否處理好小學數(shù)學問題解決過程中學生的合理錯誤關系著學生個體的知識內化、情感發(fā)展與能力提升，也關系著學生真實、真正的發(fā)展。

在現(xiàn)實的課堂教學中，學生犯各種各樣的錯誤不可避免。導致學生犯錯誤的因素有很多，有些是由于知識上的缺陷，有些是由于行為上的習慣，有些是由于思維發(fā)展水平不成熟。教師不合理的處理方式制約合理錯誤促進學生的發(fā)展?，F(xiàn)實的課堂中，教師不合理的處理方式主要表現(xiàn)在：

（1）認為學生的錯誤是教師教學效果不佳的表現(xiàn)。存在這種觀念的教師，在教學理念、行為和言語上都會以各種消極的方式對待學生的錯誤，這種處理方式導致學生為了避免出錯，而不愿意參加課堂教學活動，更不愿意表達自己的想法，學生學習的積極性較低。

（2）認為學生的錯誤是學生主體性的彰顯。存在這種觀念的教師，在教學理念、行為和言語上都會對學生的表現(xiàn)予以鼓勵，并給予積極的評價。在這種環(huán)境下，學生參與課堂教學的積極性空前高漲，愿意積極思考，主動地表達自己的想法，但是在這種狀況下，學生的錯誤得不到及時反饋和糾正，學生認識不到導致自己出現(xiàn)錯誤的真實原因，這無論是對于保障教學質量，還是對于促進學生發(fā)展都是非常不利的。

實際上這兩種不同的處理方式產(chǎn)生了兩種不同的課堂生活危機。教師的這種貌似“合理”的教學行為和認識是與現(xiàn)代教育理念相背離的，也不利于學生通過合理錯誤獲得發(fā)展。首先，從處理錯誤的方式上來說，學生發(fā)生的錯誤有很多種，不同的錯誤是由于不同的原因所導致的，那么對待不同類型的錯誤，教師應有不同的應對方式。只有用正確的錯誤觀來對待它，學生在經(jīng)歷不同的錯誤時，才能真正發(fā)現(xiàn)自己在學習過程中的缺陷，針對自身存在的問題來解決，真正從錯誤中學習。其次，從建構主義學習理論來看，每位學生的知識結構和經(jīng)驗背景不同，他們對事物的理解是基于自己的已有經(jīng)驗來建構，因此每個學生都有自己的理解，關注到的是事物的不同方面，不可能用唯一的標準來衡量每位學生。在教學中不區(qū)分學習對象而追求唯一正確答案的做法是不足取的，認真分析各種不同觀點背后所隱藏的對學生成長有意義的各種因素，即使學生的觀點是不正確的，那么這種分析也是為學生的發(fā)展排除了一種錯誤的可能性，也是很有意義的。再次，如果在課堂教學中忽視了針對學生錯誤的分析、思考，教學效果便是沒有保證的，在這種情況下一味地強調教學有效性是一種舍本逐末的教學行為。

因此，認識到錯誤的必然性和不可避免性是非常重要的人生態(tài)度，也是相當重要的心理品質。教師要以正確的態(tài)度對待學生的錯誤，學生才能在潛移默化中正視自己的錯誤，并從錯誤中吸取教訓，總結失敗的經(jīng)驗，獲得真實真正的發(fā)展。正如歌德所說的：“錯誤同真理的關系，就像睡夢同清醒的關系一樣，一個人從錯誤中醒來，就會以新的力量走向真理?！?/p>