吳婷

【摘 要】《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)之周期性》這節(jié)課，我主要從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)、教法學(xué)法、教學(xué)過程、板書設(shè)計(jì)和設(shè)計(jì)分析七個(gè)方面進(jìn)行說課，其中教學(xué)過程是最重要的環(huán)節(jié)。這節(jié)課以新課標(biāo)理念為指導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、抽象、概括的能力，滲透建模、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)，還培養(yǎng)了學(xué)生的六大核心素養(yǎng)之一——抽象素養(yǎng)。本節(jié)課使用的幾何畫板，也為學(xué)生理解這節(jié)課起了很好的作用。

【關(guān)鍵詞】正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；周期性；抽象

一、教材分析

教材是新課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，是進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的藍(lán)本，是教師教、學(xué)生學(xué)的具體材料，要把握好教材，落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，必須準(zhǔn)確理解課程標(biāo)準(zhǔn)。因此我在認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上從教材的地位與作用、教材重點(diǎn)與難點(diǎn)兩個(gè)方面展開我對教材的分析。

1.教材的地位與作用

本課選自人教A版數(shù)學(xué)必修4第一章第4節(jié)第2小節(jié)第一課時(shí)，該課時(shí)主要學(xué)習(xí)函數(shù)的周期性。

這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)圖像以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式之后，對三角函數(shù)的又一重要探討。周期性，是對函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要補(bǔ)充，又是研究三角函數(shù)其它性質(zhì)的根本，所以本課既是前期知識的發(fā)展，又是后續(xù)知識的基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用。

從思想方法上講，這節(jié)課的教學(xué)過程中還滲透了建模、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法。

2.教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)

根據(jù)新課標(biāo)的要求，我確定本課的重點(diǎn)為，周期函數(shù)的定義和正、余弦函數(shù)的周期性；難點(diǎn)為：對周期函數(shù)概念的理解和求函數(shù)的周期。

二、學(xué)情分析

從學(xué)生的知識儲備上看：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖像和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，這為學(xué)習(xí)本課做好了知識上的準(zhǔn)備。

從學(xué)生思維特點(diǎn)來看：學(xué)生具備了一定的形象思維和抽象思維，但還需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

三、教學(xué)目標(biāo)

在充分把握新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對象的基本情況的基礎(chǔ)上，我制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能

準(zhǔn)理解周期函數(shù)的概念和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，會求一個(gè)函數(shù)的周期。

2.過程與方法

在概念形成與探究的過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力和抽象素養(yǎng)，滲透建模、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在獲取知識的過程中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；是學(xué)生體會獲取知識后成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成主動探究的習(xí)慣。

四、教法學(xué)法

1.教學(xué)方法

第斯多惠說過：“一個(gè)壞的老師奉送真理，一個(gè)好的老師則教人發(fā)現(xiàn)真理”。因此，我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法與啟發(fā)探究法相結(jié)合的教學(xué)方法，啟發(fā)學(xué)生在探究的過程中發(fā)現(xiàn)真理，體會獲得成功的快樂。

2.學(xué)習(xí)方法

新課標(biāo)中“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”因此，我鼓勵他們采用自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成過程，最終掌握良好的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。

五、教學(xué)過程

為了達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)了以下五個(gè)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師用多媒體向同學(xué)們展示情境1、情境2. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的變化周期，使學(xué)生對周期有初步的認(rèn)識。再讓學(xué)生進(jìn)入情境3，說一說。

情境1：四季變化的圖片。

情景2：月亮圓缺現(xiàn)象，即一個(gè)月的月亮圖形。

情境3：鼓勵學(xué)生列舉類似的周而復(fù)始的現(xiàn)象。 緊接著，說明這種現(xiàn)象是周期性。

設(shè)計(jì)思路： 皮亞杰曾說：沒有一個(gè)行為模式不含有情感因素作為動機(jī)。這樣的設(shè)計(jì)不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還使學(xué)生對周期有一個(gè)初步的認(rèn)識。

師：數(shù)學(xué)源于生活，但高于生活，數(shù)學(xué)是自然規(guī)律的高度概括與抽象。那么，我們用數(shù)學(xué)語言如何刻畫周期性？

設(shè)計(jì)思路：由生活中的自然現(xiàn)象自然過渡到數(shù)學(xué)課堂中，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活。

環(huán)節(jié)2：觀察分析，形成概念

問題1：觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，指出它的定義域和值域分別是什么？

設(shè)計(jì)思路：學(xué)生們?nèi)菀紫氲秸?、余弦函?shù)就是周期函數(shù)的代表。首先，帶領(lǐng)學(xué)生回顧其圖像，得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域和值域，為本節(jié)課的難點(diǎn)做鋪墊。

問題2：正弦函數(shù)圖像有何規(guī)律？其本質(zhì)是什么？

設(shè)計(jì)思路：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠(yuǎn)是從問題開始。”留給學(xué)生充分的時(shí)間，進(jìn)行小組討論，之后請小組代表匯報(bào)結(jié)果。學(xué)生可以得到該圖像是以2π、4π等為單位的周而復(fù)始的變化。但對于其本質(zhì)，部分同學(xué)難以表達(dá)。

問題3：觀察下面的圖形和三組點(diǎn)，分析并總結(jié)這幾組點(diǎn)有什么共同特征？

設(shè)計(jì)思路：對于正弦函數(shù)圖像規(guī)律的本質(zhì)，一些同學(xué)難以理解。我以2π為周期為例，化抽象為形象，幫助學(xué)生理解周期函數(shù)的本質(zhì)，為概念形成打下良好的基礎(chǔ)。讓學(xué)生觀察幾組特殊點(diǎn)，分析共同屬性，同學(xué)們經(jīng)過交流，抽象得到其本質(zhì)。

問題4：你能將正弦函數(shù)的周期性推廣到一般函數(shù)，得到周期函數(shù)的定義么？

定義：對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就叫周期函數(shù)。非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

設(shè)計(jì)思路：趁熱打鐵，啟發(fā)同學(xué)們將它推廣到一般函數(shù)，在小組中交流后，形成周期函數(shù)的概念。這樣的設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象概括的能力，培養(yǎng)學(xué)生的六大核心素養(yǎng)之一——抽象素養(yǎng)，同時(shí)，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

問題5：一個(gè)函數(shù)的周期是唯一的么？其周期中最小的正數(shù)是多少？

生：不是唯一的，例如正弦函數(shù)的周期有2π，4π，6π…，最小正數(shù)是2π。

此時(shí)，我便給出最小正周期的概念：如果在周期函數(shù)f（x）的所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期（如果不加特別說明，周期一般都是指函數(shù)的最小正周期）。

設(shè)計(jì)意圖：直接給出最小正周期的概念，以概念同化的形式讓學(xué)生學(xué)習(xí)此概念，擴(kuò)大了學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

問題6：是不是每一個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期呢？

生：常函數(shù)f（x）=c沒有最小正周期。

設(shè)計(jì)思路：學(xué)生通過對已學(xué)的函數(shù)進(jìn)行討論，得到常函數(shù)沒有最小正周期。

問題7：我們已經(jīng)基本掌握了正弦函數(shù)的周期性，通過類比的方法，你能得到余弦函數(shù)的周期性么？

師：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

生：余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

設(shè)計(jì)思路：學(xué)生通過類比的方法，進(jìn)行知識性的小結(jié)，再次理解函數(shù)的周期性。

環(huán)節(jié)3：合作探究，深入理解

探究1：用定義法求下列函數(shù)的周期。

設(shè)計(jì)思路：本環(huán)節(jié)是這節(jié)課的難點(diǎn)。我采用由一般到特殊的方法，先給出一個(gè)例題，請同學(xué)們獨(dú)立完成。本題既是對周期函數(shù)定義的考察，又是為探究正余弦型函數(shù)周期公式做鋪墊，起著承上啟下的作用。我將對一二題進(jìn)行分析，首先看第一題，觀察f（x）的形式，由正弦函數(shù)的周期為2π得到f（x+T）的形式，T既是此函數(shù)的周期。再看第二題，需要將2x看成一個(gè)整體，同理得到其周期周期。通過對前兩題的分析，讓同學(xué)們對第三題進(jìn)行整理、分析、交流、展示。

探究2：你能從探究1的解題過程中，猜想出y=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω?0）的周期與解析式里的哪些量有關(guān)？

設(shè)計(jì)思路：同學(xué)們在小組內(nèi)交流后發(fā)現(xiàn)：（1）ω=1，T=2π；（2）ω=，T=π ，得到函數(shù)的周期僅與ω的值有關(guān)，并猜想得到周期公式 。數(shù)學(xué)是抽象的，為了讓學(xué)生形象感知，我將在幾何畫板中，通過改變A、W、Q量，驗(yàn)證此猜想的一般性。同時(shí)，數(shù)學(xué)也是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑢W(xué)生類比探究1的第（3）題的證明演繹推理得到該函數(shù)周期公式。同理，得到余弦型函數(shù)周期公式。

環(huán)節(jié)4：運(yùn)用新知，鞏固提升

練習(xí)1：求函數(shù) 的周期。

變式：求函數(shù) 的周期。

練習(xí)2：若鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求該函數(shù)的周期；

（2）求t=10s時(shí)鐘擺的高度。

設(shè)計(jì)思路：學(xué)生知識的掌握是通過“學(xué)得”和“習(xí)得”而來的，所以我給出了兩道練習(xí)題。練習(xí)1是基本型的，直接利用公式，目的是強(qiáng)化學(xué)生對公式的理解，變式是對公式的靈活運(yùn)用，需要先應(yīng)用誘導(dǎo)公式。練習(xí)2是一道實(shí)際應(yīng)用題，不僅考察了學(xué)生對周期函數(shù)的理解，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

環(huán)節(jié)5：溫故反思，任務(wù)后延

1.溫顧反思

（1）本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？

（2）本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些思想方法？

設(shè)計(jì)思路：我以學(xué)生為主體歸納本節(jié)所學(xué)知識和思想方法。目的是幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，深化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.任務(wù)后延

必做題：課本P36：練習(xí)1、練習(xí)2

選做題：你認(rèn)為求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（x∈R）和y=Acos（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω?0）的方法能否推廣到一般函數(shù)的周期上去？即命題：

“如果函數(shù)f（x）的周期是T，那么函數(shù)y=f（x）的周期是 ”是否成立？

設(shè)計(jì)思路：針對學(xué)生差異我設(shè)計(jì)了必做題和選做題，這樣使人人都學(xué)數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

六、板書設(shè)計(jì)

七、設(shè)計(jì)分析

本課在“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)思想的指導(dǎo)下，以周期函數(shù)概念的形成，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，正弦型、余弦型函數(shù)周期公式作為明線，讓學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，感受其應(yīng)用價(jià)值。在教學(xué)當(dāng)中，我還將通過學(xué)生的課堂反饋及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)內(nèi)容和方法，使自己的教更好的服務(wù)于學(xué)生的學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]何小亞.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2012：249.

[2]孫培青.教育名言錄.上海：上海教育出版社，1984：67.

[3]孔凡哲，曾崢.7數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012：11.