劉吉順

摘 要：APOS是美國學(xué)者杜賓斯基提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)理論，主要是在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，通過APOS理論設(shè)計(jì)函數(shù)的單調(diào)性概念教學(xué)，從而制作出成熟的教學(xué)方案，為函數(shù)概念教學(xué)提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：APOS；函數(shù)單調(diào)性；教學(xué)設(shè)計(jì)

隨著教學(xué)理論的發(fā)展，諸多新穎的教學(xué)設(shè)計(jì)融入當(dāng)前的教學(xué)過程中來，其中，APOS理論能夠通過階段模式多快好省地解決函數(shù)單調(diào)性等數(shù)學(xué)難題，是行之有效的教學(xué)設(shè)計(jì)方法，值得推廣應(yīng)用。

一、APOS的含義

APOS是美國學(xué)者杜賓斯基提出的有關(guān)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)理論，其認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要經(jīng)過四個階段，即操作階段、過程階段、對象階段以及圖式階段，該理論不僅表明學(xué)生的學(xué)習(xí)構(gòu)建過程，還對構(gòu)建層次分別說明。

操作階段主要是促使學(xué)生明確問題概念和背景之間的關(guān)系；過程階段主要是學(xué)生概括思考的過程，通過思維內(nèi)化從而明確概念性質(zhì)；對象階段是經(jīng)過明確概念本質(zhì)，將其予以壓縮，并且賦予形式化的符號及定義，從而演變?yōu)樗季S對象，從而在學(xué)習(xí)過程中創(chuàng)建新活動；圖式階段是在長時(shí)間學(xué)習(xí)后予以完善，剛開始的圖式包括符號、定義以及特例等抽象過程，隨后建立起圖形、規(guī)則與其他概念的關(guān)聯(lián)，從而逐漸演變成綜合的心理圖式。

二、函數(shù)單調(diào)性概念數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)

（一）設(shè)計(jì)說明

作為函數(shù)章節(jié)中最重要的性質(zhì)——單調(diào)性，不僅是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，更是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，由于單調(diào)性定義較為晦澀難懂，因此，對于學(xué)生而言學(xué)習(xí)并不輕松，學(xué)生認(rèn)知函數(shù)單調(diào)性的困難主要包括：（1）函數(shù)圖像的升降被函數(shù)符號代替，將直觀轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄髮W(xué)生并不能夠完全適應(yīng)，極難把握。（2）證明函數(shù)單調(diào)性必須應(yīng)用單調(diào)性定義，如果對定義沒有一個深刻的認(rèn)識，將會致使學(xué)生在解題過程中存在諸多問題。

（二）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.操作階段

教師需要創(chuàng)造問題情境，對思考問題進(jìn)行模擬，比如深圳某市24 h氣溫變化圖，如圖1所示：

教師需要引導(dǎo)學(xué)生看明圖中所給的信息，并且總結(jié)信息，進(jìn)行思考。

例如，教師詢問：（1）該圖顯示哪日的溫度最低？哪日的溫度最高？（2）某日的某時(shí)的具體氣溫能否看出？（3）哪些時(shí)間段溫度有上升的趨勢？哪些時(shí)間段有下降的趨勢？

[設(shè)計(jì)意圖]通過簡單的氣溫變化圖，對函數(shù)的單調(diào)性予以簡要說明，比如溫度趨勢對應(yīng)函數(shù)的遞增和遞減，定位為y隨著x的減小而減小以及y隨著x增大而增大。

2.過程階段

過程1：將函數(shù)y=x+2（如圖2），y=-x+2（如圖3），y=x2（如圖4），y=（如圖5），對其自變量變化過程中函數(shù)值的變化規(guī)律予以分析。

在向?qū)W生說明圖像單調(diào)性過程中，必須強(qiáng)調(diào)是處于某個區(qū)間的單調(diào)性，從而促使學(xué)生明確單調(diào)性的局部特征，不得存在概念盲點(diǎn)。

過程2：用淺顯易懂的話講明增函數(shù)及減函數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖]通過直觀的表達(dá)出單調(diào)性的概念，從而實(shí)現(xiàn)描述性認(rèn)知的目的。

過程3：直觀到抽象

如何證明f（x）=x2在區(qū)間[0，∞）是增函數(shù)？

（1）任意在區(qū)間[0，∞）中取兩個值，比如3和4，由于3<4，因此f（x）=x2在區(qū)間[0，∞）是增函數(shù)。

（2）根據(jù)（1）算法選取若干組予以驗(yàn)證，結(jié)果均滿足條件，因此f（x）=x2在區(qū)間[0，∞）是增函數(shù)。

（3）選取任意數(shù)值x1，x2∈[0，∞），x2>x1，又因?yàn)閤22>x12，所以

f（x）=x2在區(qū)間[0，∞）是增函數(shù)。

教師詢問：怎樣通過精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號對函數(shù)單調(diào)性予以定義？

師生共同探討，從而明確增減函數(shù)的定義，并且強(qiáng)化學(xué)生對增減函數(shù)的理解。

[設(shè)計(jì)意圖]強(qiáng)調(diào)自變量在區(qū)間的任意性，并且對函數(shù)加以驗(yàn)證，信息分析數(shù)學(xué)符號的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.對象階段

判斷命題真假。

（1）y=，由于f（-2）

（2）如果f（x）滿足f（3）

（3）假如函數(shù)在（2，4]區(qū)間和（4，6）區(qū)間均為增函數(shù)，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，6）也為增函數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖]通過反例的形式強(qiáng)調(diào)單調(diào)性定義域中存在的諸多問題。

4.圖式階段

證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖]對證明函數(shù)單調(diào)性的步驟進(jìn)行歸納：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論。

三、注意問題

操作階段：在設(shè)置問題情境時(shí)需要適宜經(jīng)典，確保行之有效。

過程階段：通過思維深入引導(dǎo)，有針對性地升華“對象”，教師在此過程中詢問“是什么”以及“為什么”“怎么樣”等，并且留給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考探索。

對象階段：對概念的本質(zhì)特征深入了解，要求學(xué)生能夠?qū)⒏拍畛橄蠡?，逐漸形成心理表象，并且加深對概念的認(rèn)知和理解，在教學(xué)過程中通過反例、變式引起學(xué)生思考，并且對其不斷優(yōu)化

調(diào)整。

圖式階段：通過多次操作將學(xué)生“對象”層次轉(zhuǎn)變?yōu)椤皥D示”層次，并且通過多種方式促使學(xué)生理解“對象”，不能一蹴而就。

總而言之，基于APOS理論，能夠有益于函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)，而且能夠在多學(xué)科多領(lǐng)域中融會貫通，值得推廣應(yīng)用。

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編輯 韓 曉