顧衛(wèi)華

[摘 要]數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科特有的文化意蘊(yùn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的文化軌跡，可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加生動(dòng)、豐滿、厚實(shí)。以“三角形面積計(jì)算”教學(xué)為例，談?wù)勅绾斡梦幕酿B(yǎng)分滋養(yǎng)課堂，建立起基于“文化”開掘、傳承、發(fā)展、創(chuàng)新的教學(xué)思維。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)文化 三角形面積計(jì)算

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）35-008

著名特級(jí)教師張乃達(dá)先生認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是在數(shù)學(xué)文化背景下的思維活動(dòng)”，“思維與文化，集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育在提高學(xué)生素質(zhì)教育中的兩項(xiàng)要素，所以也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的兩個(gè)重要方面”。個(gè)人以為，作為數(shù)學(xué)教育的兩翼，思維與文化并不是分離的，而是有機(jī)統(tǒng)一體——文化靠思維來打造和提煉，思維就在文化中，思維是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。本文以“三角形面積計(jì)算”為例，談?wù)勛约涸谶@方面的思考與實(shí)踐。

研讀

多年來，小學(xué)教材中關(guān)于圖形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)，有一個(gè)比較穩(wěn)定的邏輯順序：長(zhǎng)方形面積計(jì)算——平行四邊形面積計(jì)算——三角形面積計(jì)算——梯形面積計(jì)算——圓面積計(jì)算?！叭切蚊娣e計(jì)算”是這個(gè)鏈條的中間環(huán)節(jié)，因而教材編排思路是用“兩個(gè)完全一樣的三角形”拼成一個(gè)平行四邊形，三角形的底等同于平行四邊形的底，高等同于平行四邊形的高，面積等同于平行四邊形面積的一半，從而推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式。這樣的編排，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)、螺旋上升、新知建立在舊知之上的科學(xué)原理。

考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，為更好地體現(xiàn)圖形直觀的新課改理念，現(xiàn)行教材從一年級(jí)下冊(cè)開始，對(duì)兩個(gè)完全一樣的三角形能拼成一個(gè)平行四邊形或者一個(gè)平行四邊形能分成兩個(gè)完全一樣的三角形進(jìn)行了多次鋪墊（圖1為蘇教版二年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的初步認(rèn)識(shí)”中的習(xí)題），以期學(xué)生能從平行四邊形面積推導(dǎo)時(shí)的“割補(bǔ)”順暢地轉(zhuǎn)換到憑空再借一個(gè)一樣的三角形來“拼”。

圖1

客觀地講，教材中的這種變化基本上還是在原有的編排框架之中把“戲份”做得更加充分而已，但只增加了“長(zhǎng)度”而未能增加“厚度”。

思考

翻開厚厚的數(shù)學(xué)發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)，多邊形的面積計(jì)算都來自對(duì)土地的測(cè)量。譬如古埃及的紙草的第三部分講述了如何確定正方形、矩形、三角形、梯形以及能分割成這些形狀的圖形的土地面積。隨后，人們又發(fā)現(xiàn)任意的多邊形可以分割成多個(gè)三角形來求出面積。正因?yàn)橥恋氐男螤畈惶赡艹霈F(xiàn)平行四邊形，所以在歷史上，起初的三角形的面積計(jì)算壓根就和平行四邊形無關(guān)。顯然，教材的安排是出于對(duì)學(xué)生認(rèn)知難度考慮而作出的一種優(yōu)化，而優(yōu)化往往忽略了發(fā)展的曲折。

再?gòu)臄?shù)學(xué)自身發(fā)展中挖掘這一內(nèi)容的學(xué)科魅力。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)三角形面積計(jì)算公式后，有個(gè)難題擺在了前面：“不知道三角形高的情況下怎么求三角形的面積?！倍惞降陌l(fā)現(xiàn)解決了這個(gè)難題（注：利用三角形三條邊的長(zhǎng)度來求三角形的面積）。很明顯，如果不按照教材設(shè)置的指向，而是讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考、爭(zhēng)論、探索，那學(xué)習(xí)是不是有另一番風(fēng)景呢？但是，在課堂重現(xiàn)歷史發(fā)展的腳步，還原三角形面積計(jì)算的另一種推導(dǎo)，無論從自主發(fā)展，還是多種方法的創(chuàng)新思維來說，都是有價(jià)值的，同時(shí)也是有難度的。

以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生在沒有自習(xí)書本的情況下，受前一課平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的影響，還是能想到“割”的，但往往想不到怎么去“割”。有個(gè)以往無法避免的難點(diǎn)在于小學(xué)五年級(jí)的學(xué)生還不知道什么是“中點(diǎn)”。

他山之石可以攻玉！《小學(xué)教學(xué)參考》2015第4期查人韻老師的嘗試給了我靈感的火花。從圖2可以看出，借助方格圖，可以繞過“中點(diǎn)”這個(gè)坑，從而順利還原古人的思路，從而實(shí)現(xiàn)真正多角度的自主探究。

實(shí)踐

我的教學(xué)分三個(gè)板塊進(jìn)行。

第一板塊“開門見山”，提問“三角形的面積可能和哪個(gè)圖形有聯(lián)系？”由于有上一課的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易回答出“長(zhǎng)方形或平行四邊形”。先規(guī)定探究方向，節(jié)省時(shí)間。

第二板塊直接出示先學(xué)單（格子圖上有3種三角形：底4高6的直角三角形，底6高4的等腰三角形，底6高5的一般三角形，每種圖形有三個(gè)，期待每個(gè)學(xué)生有不同的方法），讓學(xué)生探究三角形的面積是多少。

在開放的探究環(huán)境中，真正地體現(xiàn)了思維的差異，方法的多樣。數(shù)格子的學(xué)生在真心實(shí)意地?cái)?shù)格子，而不是教師指點(diǎn)的“還可以數(shù)格子”;對(duì)于直角三角形，有學(xué)生一下子想到了“拼成一個(gè)長(zhǎng)方形”……因?yàn)榻柚烁褡訄D，學(xué)生直觀的思維能力得到了充分地應(yīng)用，精彩的想法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了教師的預(yù)期。可以說，這里的轉(zhuǎn)化來自學(xué)生的直覺判斷，并不嚴(yán)謹(jǐn)，但是卻飄逸靈動(dòng)。

探究后全班交流：1.自評(píng)互評(píng)，這個(gè)方法好在哪里，不好在哪里？引導(dǎo)橫向比較，發(fā)現(xiàn)優(yōu)點(diǎn)和不足。2.比較算式，為什么有4×6÷2，又有3×4？怎么看上去算式不一樣？創(chuàng)設(shè)困惑，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般的公式，其實(shí)3×4就是6÷2×4，雖然看起來不一樣，但本質(zhì)是一樣的。因?yàn)橛辛顺浞值奶骄?，學(xué)生真正是帶著自己的思考，聆聽別人的想法，合作探究完全不是“做做樣子”。

第三板塊介紹“劉徽著《九章算術(shù)》中三角形面積的圖例（如圖3）”，指出：“我們比數(shù)學(xué)家更厲害，不僅解決了等腰三角形的面積問題，還推廣到了一般三角形呢！”

學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的想法和數(shù)學(xué)家一樣，積極的情感體驗(yàn)帶來深刻的自我認(rèn)同，“我能行”在學(xué)生的心中生根發(fā)芽！

啟示

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“前言”部分提及：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。作為人類文化的數(shù)學(xué)，應(yīng)該充分挖掘數(shù)學(xué)在產(chǎn)生、發(fā)展、豐富、壯大的過程中人們所經(jīng)歷的曲折過程、突破常規(guī)的超越、偉大的創(chuàng)造等精髓。讓學(xué)生像過去的人們、像數(shù)學(xué)家那樣去經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程，會(huì)讓學(xué)生更多地體會(huì)到數(shù)學(xué)的“溫情”、傳奇、美妙與偉大，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)印象深刻，令人難忘。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化具有豐富的內(nèi)涵和多樣的姿態(tài)，用張齊華老師的話說，就是“探索過程中的執(zhí)著與堅(jiān)韌，論證過程中的務(wù)實(shí)與謹(jǐn)嚴(yán)，數(shù)學(xué)規(guī)則推導(dǎo)過程中的理智與自律，數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的開拓與超越，甚至于耐心、責(zé)任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等都具有獨(dú)特的‘教化功能，正是這些，見證著數(shù)學(xué)更為深沉的文化力量，使數(shù)學(xué)可以超越知識(shí)本身，找尋到更為樸素、更為豐富，也更為動(dòng)人的內(nèi)涵”。

有人說，文化的內(nèi)核是“化人”。用文化的養(yǎng)分滋養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂，文化熏陶終究會(huì)轉(zhuǎn)化為文化自覺，讓每一個(gè)孩子既成為文化的守護(hù)者，還成為文化的創(chuàng)造者。

（責(zé)編 金 鈴）