黃有達

【關鍵詞】數(shù)學定理 證明方法 步驟

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）11A-0067-01

在初中數(shù)學教材中有很多關于定理的證明，在教學時有的教師為了節(jié)省時間，往往只是重視了定理的結論，而忽視了證明的過程，讓學生錯失了真正掌握其中蘊含的思想與方法的機會。教師要在定理證明中，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，并適時點撥，讓學生全面理解和掌握證明所涉及的思想與方法，并實現(xiàn)動態(tài)生成，防止學生養(yǎng)成重結論輕過程的不良學習習慣，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學素養(yǎng)和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

一、動手操作，感知結論，提供方法

對于定理的內(nèi)容，學生可以通過猜想、觀察、實驗、操作等方式先行獲得，學生在動手操作過程中能夠初步得出結論，并將所運用的方法進行總結。動手操作得出的結論不一定正確，需要通過推理、驗證來進行理論上的證實，這樣也就體現(xiàn)出了數(shù)學的嚴謹性，不能想當然地認可動手操作的結果，因為這只是初步得到了表象的結論。但這一步又是不可或缺的，因為在操作中已經(jīng)用到了證明需要的知識，從而為下一步證明提供了思路與方法。

如人教版八年級數(shù)學上冊《三角形的內(nèi)角和定理》在小學時學生就已經(jīng)簡單了解了，并且在初中階段它上承平行線的性質(zhì)與判定，下啟多邊形的內(nèi)角和，對于學生知識的銜接、能力的遷移有著重要的作用。在教學伊始，教師可以讓學生把三角形紙片利用剪、拼的方法將三個內(nèi)角拼成一個平角，從而得出三角形的內(nèi)角和為180°，在此基礎上學生就可以得到初步的體驗，那就是要證明三角形的內(nèi)角和定理，可以考慮將其三個角剪拼成一個平角。這樣的活動，為下一步的理論證明提供了實物模型，點明了思路與方法。在此背景下，教師可以提出，剪拼只是我們得到結論的一種方法，還不是數(shù)學知識獲得最科學的方法，那么我們能否用推理論證的方法來驗證這一結論呢？問題一提出，自然將學習引入了嘗試證明的階段。

二、嘗試證明，理清思路，把握關鍵

學生在已有操作經(jīng)驗的基礎上可以自主嘗試證明定理，在證明時教師要引導學生規(guī)范證明的步驟，理清證明的思路，做到每一步都有理有據(jù)。同時，教師還需要注意觀察學生所用到的方法，鼓勵學生大膽嘗試，開拓思維空間，并注意總結在證明中每一步所用到的理論依據(jù)，這樣學生才能在不斷地質(zhì)疑補充中完善證明的方法。

學生嘗試證明的前提就是前面動手操作時將三個內(nèi)角拼成了一個平角，這樣學生就會想到過一個頂點作對邊平行線的思路。如對于ΔABC，可以過頂點A作對邊BC的平行線，也可以延長BC，過頂點C作AB的平行線，這樣再利用平行線的性質(zhì)，就可以將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化到一起，從而證明得出結論。在充分肯定了學生證明思路后，又有學生提出了不同的看法，指出“由平行線是180°，我還想到了同旁內(nèi)角”。這種說法一出，又為本來就要結束的證明掀起了一個小高潮。教師表揚了該生善于觀察和認真思考的品質(zhì)，并讓大家思考該如何證明。學生在剛才作輔助線的基礎上可以看出，第一種方法只需過點A作一條平行于BC的射線即可，第二種方法只需過點C作平行于AB的射線即可。這樣的生成使學生的思維更活躍，并進行歸納總結：它們都是過一個頂點作對邊的平行線，構建成平角或同旁內(nèi)角來得出結論。這樣也就為下一步的拓展延伸奠定了基礎。

三、拓展延伸，適時點撥，滲透思想

教師適當?shù)狞c撥能讓學生的探究熱情更高。學生對證明的方法進行全方位、多角度的探索能為下一步的學習積累更加豐富的經(jīng)驗，使學生在掌握知識的同時感悟其中的數(shù)學思想與方法，更好地將知識不斷拓展與延伸。

在學生進行了嘗試證明并總結出結論后，學生可以看到上述幾種方法的共同點都是過頂點作平行線，于是有的學生就會思考：過其他點可以嗎？由此就會出現(xiàn)“點在三角形內(nèi)”和“點在三角形外”兩種情況，這時教師完全可以放手給學生，讓學生用已有的思路與方法進行證明，但由于畫圖比較復雜，在學生進行獨立證明時教師還有必要進行適當?shù)狞c撥。這樣學生在證明時就可以積累更多的活動經(jīng)驗，既開拓了思路，又發(fā)散了思維，熟練掌握了解決問題的思想與方法，使課堂教學真正起到了活用教材、教活學生的目的。

總之，幾何定理的證明是學生探究知識結論及其形成與發(fā)展過程的必要途徑，讓學生經(jīng)歷由生活中的模型到抽象的數(shù)學模型的過程，可以培養(yǎng)學生的空間觀念，建立學生的模型思想；再經(jīng)歷將圖形變式，從多角度來進行分析證明的過程，可以使學生的思維更活躍，并感悟到學習過程中所涉及的思想與方法，為后續(xù)學習奠定良好的基礎。

（責編 林 劍）