張小剛

【摘 要】類比思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種較為常見的數(shù)學(xué)思想，類比教學(xué)恰成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)常常使用的一種教學(xué)手段。本文以圓和橢圓的類比研究為例，談一談利用類比思想挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)的研究.

【關(guān)鍵詞】類比思想;數(shù)學(xué);圓;橢圓;類比教學(xué)

數(shù)學(xué)思想一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的魁寶，是數(shù)學(xué)教學(xué)三重境界的最高境界。從新課程實(shí)施更多的自主學(xué)習(xí)、積極建構(gòu)的理念來說，數(shù)學(xué)思想成為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步前進(jìn)的階梯.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想有不同的種類區(qū)分，對(duì)于學(xué)生而言比較重要的思想如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等在初中后期教學(xué)階段已經(jīng)開始積極滲透，這些對(duì)于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題有著較為重要的作用，可以稱之為知識(shí)型思想方法。

另一方面來說，數(shù)學(xué)思想方法還有下面這些，如特殊與一般、具體與抽象、轉(zhuǎn)化與化歸、類比等等，這些思想方法明顯比上述知識(shí)型的思想方法來得更為高端。為什么這么說？筆者以為，知識(shí)型的思想方法固然重要，但其依舊只解決了就題論題的層面，無(wú)法給予學(xué)生更多的學(xué)習(xí)能力上的提高，而特殊與一般、具體與抽象、轉(zhuǎn)化與化歸、類比等等思想方法卻在更高的層面引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思維的開發(fā)，比如：從特殊到一般的思想可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)抽象問題的具體解決，可以采用先嘗試特殊進(jìn)而總結(jié)歸納一般的探索之路;類比思想可以用來將未知范疇內(nèi)的問題通過已經(jīng)所掌握知識(shí)比較解決，這是一種思想、意識(shí)形態(tài)上的提高.因此，本文將從類比思想的視角去審視教學(xué)的一些探索，以圓與橢圓的類比進(jìn)行嘗試，與大家交流。

1.圓和橢圓類比伸縮的認(rèn)識(shí)

眾所周知橢圓 + =1（a>b>0）可以看作是圓x2+y2=a2在縱向均勻壓縮為原來的 倍，橫向不變得到的——這就是“縱向伸縮變換”。（本文研究的橢圓均為焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)在y軸的類似）記：已知圓上點(diǎn)P（x，y）變換成P′（x′，y′），縱向變換為f：x=x′y= y′，顯然這是一個(gè)一一映射（可逆的），且由于P，P′橫坐標(biāo)相等，因此PP′連線必垂直x軸。同理：有橫向伸縮變換。

2.圓和橢圓類比伸縮的性質(zhì)

性質(zhì)1：f將直線變換為直線，且變換后直線斜率為原來直線斜率的 倍。

簡(jiǎn)證：設(shè)原直線斜為y=kx+m，經(jīng)過變換后直線為 y′=kx′+m，即斜率k′= k。

說明：由此可知，變換前后兩直線平行性保持不變。

性質(zhì)2：f將分線段AB為定比λ的點(diǎn)P變換成分線段A′B′為同一分比的點(diǎn)P′。

說明：由定比分點(diǎn)公式可知證明易，不贅述.此性質(zhì)說明變換前后同一直線上的點(diǎn)分線段所成的比是不會(huì)改變的。

性質(zhì)3：一個(gè)面積為的三角形經(jīng)變換后的三角形面積S′= S。

簡(jiǎn)證：設(shè)△A1A2A3三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Ai（xi，yi），則xi=xi′，yi=yi′（i=1，2，3），所以：

S′= x1 ?y1 1x2 ?y2 1x3 ?y3 1= · x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= S。

說明：此性質(zhì)可以推廣到多邊形的面積，即變換前后兩個(gè)多邊形面積之比為 = 。

3.圓和橢圓類比伸縮的運(yùn)用

例1：已知橢圓 + =1（a>b>0），A，B分別為橢圓左右頂點(diǎn)，P為橢圓上任意異于A，B的點(diǎn).求證：KAP·KBP是定值。

圖1

證明：把縱坐標(biāo)變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖1，已知圓中KAP·KBP=-1，由性質(zhì)1得：kAP·kBP= KAP· KBP=- 。（本性質(zhì)可以再橢圓中進(jìn)行證明，但是運(yùn)算量比通過伸縮變換證明稍顯復(fù)雜一些。）

例2：已知橢圓 + =1（a>b>0），P為橢圓上任意異于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩直線PA，PB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求證：只要P點(diǎn)給定，則kAB為定值。

證明：把縱坐標(biāo)變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖2，經(jīng)過同樣的伸縮變換，圓中

圖2

兩直線斜率KPA+KPB=0，在圓中作P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)D（恰在圓O上），則∠APD=∠BPD，故 = ，連接AB，OD，易知OD⊥AB，顯然KAB=- ，只要P點(diǎn)給定，即可知KAB為定值，由性質(zhì)1，橢圓中kAB= KAB為定值。

注： 高三復(fù)習(xí)卷中時(shí)常出現(xiàn)為定點(diǎn)，求kAB為定值的試題，筆者將試題改編為只要P點(diǎn)坐標(biāo)可知的任意點(diǎn)，均可求證kAB為定值.可以想象，任意的點(diǎn)P代數(shù)計(jì)算較繁瑣，利用橢圓和圓的伸縮變換達(dá)到了簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。

例3：點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓 + =1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ（0<β< ），直線l2與直線l1： + =1垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為α，直線l2的傾斜角為γ。

求證：點(diǎn)是橢圓 + =1與直線l1的唯一交點(diǎn)。（安徽高考數(shù)學(xué)09年理科20）

分析：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)就是證明直線l1是橢圓在點(diǎn)P的切線方程。由過圓x2+y2=a2上一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=a2，可知利用伸縮變換得到直線l1： + =1即為過點(diǎn)P的橢圓切線。

證明：把縱坐標(biāo)變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，則過圓上點(diǎn)Q（X0，Y0）（Q為P的一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)）的切線方程為：X0x+Y0y=a2，又伸縮變換f：X=xY= y，代入得x0x+ y0 y=a2，整理得： + =1即為直線l1的方程.因此，l1就是橢圓在點(diǎn)P的切線方程。證畢。

例4 求橢圓 + =1（a>b>0）內(nèi)接n邊形面積的最大值.

解析：把縱坐標(biāo)變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖3，可知在圓中：

圖3

記∠AiOAi+1=θ（1≤i≤n-1），∠AnOA1=θn，且 θi=2π，S=SA A …A = a2（ sinθi）…（*），因?yàn)閒（θ）=sinθ在（0，π）上為凸函數(shù)，由琴聲不等式（*）≤ a2（n·sin ）= a2·sin （當(dāng)且僅當(dāng)θ1=θ2=…θn= 等號(hào)成立），由性質(zhì)3，橢圓中內(nèi)接n邊形面積S′= ·S≤ ·sin ，即為橢圓中內(nèi)接n邊形面積最大值。

4.類比教學(xué)探索的思考

上述運(yùn)用類比性質(zhì)進(jìn)行的圓和橢圓問題的探索，是筆者教學(xué)中一些數(shù)學(xué)問題積累的總結(jié)。通過研究，筆者發(fā)現(xiàn)橢圓是圓的更為一般化的形態(tài)和情形。用一個(gè)形象的比喻來說，對(duì)于圓的研究是最基本、最為對(duì)稱的圖形深入思考，猶如三角函數(shù)中最基本的函數(shù)模型，那么類比研究經(jīng)過伸縮變換的三角函數(shù)模型恰如橢圓般的圖形，這種變換關(guān)系存在于數(shù)學(xué)知識(shí)的很多知識(shí)之中。

本文所闡述的是圓和橢圓的類比伸縮教學(xué)研究，其實(shí)從更高的角度而言，筆者思考了一個(gè)問題：從圓錐曲線第二定義的角度來說，橢圓、雙曲線、拋物線本質(zhì)是一個(gè)統(tǒng)一體，只不過是其到定點(diǎn)的距離與到定直線距離比值不同的曲線形態(tài)，那么圓既然可以類比到橢圓，那么圓應(yīng)該也可以突破更高的限制（諸如曲線不需要封閉之類特性），類比得到相對(duì)應(yīng)的雙曲線、拋物線中去，得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)性質(zhì)和更高的研究突破能力，值得有興趣的教師做進(jìn)一步的思考。

通過類比教學(xué)研究，筆者也有幾點(diǎn)不成熟的思考與大家交流：

（1）上述幾個(gè)例題，有少數(shù)來自學(xué)生的提出和探索，筆者覺得學(xué)生對(duì)于感興趣的數(shù)學(xué)問題研究興趣和熱情遠(yuǎn)遠(yuǎn)在教師之上。教師的作用更在于進(jìn)行良好的引導(dǎo)，給予這樣的學(xué)生更寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也有助于學(xué)生研究問題能力的提高。

（2）意識(shí)類的思想方法教學(xué)要更注重在教學(xué)中的滲透，尤其是特殊與一般、類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等等。這些思想看似無(wú)形， 卻每時(shí)每刻出現(xiàn)在學(xué)生待解決的數(shù)學(xué)問題中，通過引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)過的指數(shù)類比解決未知范疇內(nèi)的知識(shí)，這正是努力培養(yǎng)學(xué)生自主探索和積極建構(gòu)的有效途徑，而且從一定程度上對(duì)于教師的專業(yè)化水平提高有較為明顯的幫助。

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（作者單位：江蘇省泰興中學(xué)）