●青海師范大學(xué)2013級教育碩士

●江蘇省沭陽縣華沖中學(xué) 張娟林

賞析命題特色 探究能力考查
——以2015年北京高考導(dǎo)數(shù)為例

●青海師范大學(xué)2013級教育碩士

●江蘇省沭陽縣華沖中學(xué) 張娟林

新課程考試大綱要求高考命題按照“考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意的命題思想，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，以及考查考生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平.檢驗(yàn)一道高考試題成敗的標(biāo)準(zhǔn)也在于此.本文通過對2015年北京卷導(dǎo)數(shù)命題的分析，探究試題對考生能力考查的視角.

一、問題展示

二、能力探究

本題第（Ⅰ）問是導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接應(yīng)用，即求曲線在某點(diǎn)的切線方程，屬于基礎(chǔ)題，體現(xiàn)了高考既注重基礎(chǔ)又注重能力的考查要求.解題中需要注意“在”某一點(diǎn)的切線與“過”某一點(diǎn)的切線的區(qū)別，“在”某點(diǎn)……，即該點(diǎn)為切點(diǎn)，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率.“過”某一點(diǎn)……，該點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，可通過設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出切線的斜率，再利用切點(diǎn)與已知點(diǎn)表示出切線的斜率，令二者相等，解方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程.

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)性質(zhì)問題的有利工具，導(dǎo)數(shù)的引入使得函數(shù)問題的解答變得程序化.解題的一般步驟如下：

1.求函數(shù)定義域

函數(shù)的性質(zhì)都受其定義域的限制，如果脫離了定義域，則性質(zhì)的研究成了無本之木.我們常說定義域優(yōu)先原則，即在于此.

本題函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）.

2.求導(dǎo)

導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)大于0，則原函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，反之則單調(diào)遞減.從而可求出函數(shù)的極值、最值.

本題可通過移項(xiàng)合并構(gòu)造新函數(shù)，進(jìn)而將證明不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理.此函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，可直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.

3.判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時，則導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)伴隨著對參數(shù)的分類討論.常見形式是導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)型，若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)k，通常分k=0，k>0，k<0三種情況討論.當(dāng)k<0時，導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)得出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)k>0時，先利用判別式法，判斷導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，若判別式大于0，則可利用因式分解或求根公式求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，如果兩個零點(diǎn)大小不確定，再進(jìn)行分類討論；若判別式小于0，則可得出原函數(shù)恒為單調(diào)增函數(shù).當(dāng)k<0時，同理可得.

但本題導(dǎo)函數(shù)為四次函數(shù)，若按上述方式進(jìn)行分類討論，問題極為復(fù)雜.解題中處理問題的基本原則是從問題的最簡單形式入手，本題最簡單的形式是什么？顯然使導(dǎo)函數(shù)恒為正或恒為負(fù)時最簡潔，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)k∈［0，2］時，F(xiàn)′（x）=恒為正，故可以此為突破口，進(jìn)行分類討論.

當(dāng)k∈［0，2］時，F(xiàn)′（x）≥0，函數(shù)在（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，F(xiàn)（x）>F（0）=0，符合題意，此時k的最大值為2.

x （0，x0） x0 （x0，1）F′（x）-0+F（x） 坨 極小值 坭

如何求F（x0）？又是一個難點(diǎn).此時可轉(zhuǎn)換方向，去求F（0），而F（0）=0，故F（x0）<0，所以F（x）>0不成立.

綜上所述，可知k的最大值為2.

三、解法優(yōu)化

高考解答題的設(shè)置含有多問，在沒有限制條件的情況下，前后兩問通常會有所關(guān)聯(lián)，即前一問的結(jié)論，有可能就是后一問的條件.細(xì)心的同學(xué)可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，第（Ⅱ）問求證：當(dāng)x∈（0，1）時，（fx）>23；第（Ⅲ）問設(shè)實(shí)數(shù)k使得3對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．僅僅是常數(shù)2與參數(shù)k的區(qū)別，由（Ⅱ）可知，當(dāng)k≤2時3對x∈（0，1）恒成立.故分類標(biāo)準(zhǔn)也自然地確定了.

四、問題拓展

教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)本題與2014年北京市海淀區(qū)高三期中試題中的導(dǎo)數(shù)試題的命制及解法上都極為相似.試題及解答如下.

變式：已知函數(shù)f（x）=2alnx-x2+1.

（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若a>0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，+∞）上的最大值；

（Ⅲ）若f（x）≤0在區(qū)間［1，+∞）上恒成立，求a的最大值.

x 1 （1， a%姨 ，+∞）f′（x） + 0 -f（x）0坭alna-a+1坨姨 ） a%姨 （ a%

所以函數(shù)（fx）在區(qū)間［1，+∞）上的最大值為（f姨%a ）=alna-a+1.

綜上所述：當(dāng)01時，函數(shù)（fx）在區(qū)間［1，+∞）上的最大值為

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)0

綜上所述，a的最大值為1.

當(dāng)然高考命題的原創(chuàng)性不容置疑，但也不排除考題命制過程中會參考以往的試題.因此也為考生的備考提供了方向.總之高考真題是考生備考最權(quán)威的向?qū)?，希望廣大教師不斷地對高考真題做深入的探究，挖掘其中的命題思想及問題的本質(zhì)，以此為依據(jù)培養(yǎng)考生的解題能力.