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        HPM視角下的一道風(fēng)頭浪尖上的高考題

        2015-10-12 03:42:04江蘇省江陰市華士高級中學(xué)沈亞軍
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年21期
        關(guān)鍵詞:四面體高考題理科

        ●江蘇省江陰市華士高級中學(xué) 沈亞軍

        HPM視角下的一道風(fēng)頭浪尖上的高考題

        ●江蘇省江陰市華士高級中學(xué) 沈亞軍

        2015年高考數(shù)學(xué)湖北卷引起了軒然大波,因?yàn)槔砜凭淼?9題、文科卷第20題采用生僻詞“陽馬”與“鱉臑”.一時間輿論嘩然,褒貶不一.有學(xué)生感慨“數(shù)學(xué)題中竟然有不認(rèn)識的字.”有網(wǎng)友吐槽“鱉臑!出卷老師你別鬧!”及“別鬧(鱉臑),回家養(yǎng)馬(陽馬)吧.”也有教師認(rèn)為“這兩個詞對于解題并沒有影響,只是穿了個馬甲而已.只要考生靜心讀兩遍,就能看明白.”果真如此?本文試從一個數(shù)學(xué)教師的角度談?wù)勛约旱目捶?

        一、原題再現(xiàn),探究命題人出題之意圖

        例1《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

        如圖1,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

        (文科Ⅰ)證明:DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由.

        圖1

        (文科Ⅱ)記陽馬P-ABCD的體積為V2,四面體EBCD的體積為V,求的值.

        (理科Ⅰ)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由.

        簡析:該題是理科卷第19題、文科卷第20題,兩題題干相同,問題相近,實(shí)為姊妹題.文科Ⅰ通過一次線面垂直(即BC⊥平面PCD)證得DE⊥平面PBC;而理科Ⅰ則需通過兩次線面垂直(即BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC)證得PB⊥平面DEF,是文科Ⅰ的遞進(jìn).文科Ⅱ求體積之比,運(yùn)用體積公式即可,相比之下,理科Ⅱ則困難得多,體現(xiàn)了文理科不同的學(xué)習(xí)要求,解決方法可以直接作出二面角,也可以利用射影面積法,理科生還可以建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)法解題,體現(xiàn)了理科解題的多樣性、靈活性.

        這道題讓人眼前一亮,并發(fā)出“高考題題源還可以是古代數(shù)學(xué)”之感嘆.如此處理,命題人出于何種考慮?是慣性使然,是嘩眾取寵,還是試圖利用高考的高關(guān)注度傳播數(shù)學(xué)文化,從文化學(xué)的角度理解數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育呢?筆者認(rèn)為答案顯然是后者.事實(shí)上,武漢中學(xué)數(shù)學(xué)教研組長楊銀舟老師在考后介紹說:“從數(shù)學(xué)古籍中尋找古代數(shù)學(xué)問題來作為高考試題,是湖北省一貫的傳統(tǒng).”筆者統(tǒng)計(jì)了2011~2015年湖北省高考卷涉及古代數(shù)學(xué)的問題(如表1).

        表1

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