●北京市第四中學(xué) 常毓喜

能力提升的根本在課堂
——從點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)談起

●北京市第四中學(xué) 常毓喜

現(xiàn)在有不少學(xué)生經(jīng)常提出這樣的疑問：自己上課時都聽懂了，還做了那么多的題，但是為什么考試成績不理想？對于解析幾何試題，為什么找不到好的解題思路，或者雖然有思路，但是經(jīng)常算不出最后結(jié)果？問題的根源在于我們的課堂教學(xué)，特別是公式的教學(xué).現(xiàn)在許多老師為了趕進(jìn)度，在公式教學(xué)時往往直接給出公式，然后就是應(yīng)用，做大量的練習(xí)，雖然短時間內(nèi)好像有效，但是長此以往，學(xué)生的能力得不到培養(yǎng)與提升，遇到稍有新意的題目就會一籌莫展.掌握一個公式，應(yīng)該包括三個方面，首先，要掌握公式的推導(dǎo)方法，其次，掌握公式的特征，第三是公式的變形與應(yīng)用.之所以要求掌握公式的推導(dǎo)方法，是因?yàn)檫@不僅可以使我們了解公式的來龍去脈，而且推導(dǎo)過程蘊(yùn)含著許多重要的思想方法，這可以幫助我們解決許多問題.

下面以“點(diǎn)到直線的距離公式”的推導(dǎo)為例，談一談如何利用公式推導(dǎo)所蘊(yùn)含的思想方法，解決上述學(xué)生提出的解析幾何學(xué)習(xí)中的問題.

問題：設(shè)坐標(biāo)平面上有點(diǎn)P（x0，y0）和直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），求點(diǎn)P到直線l的距離.

一、解析法

過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，寫出直線PQ的方程，然后求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PQ的長，即為點(diǎn)P到直線l的距離.

點(diǎn)評：解析法是解析幾何的基本方法，這也是我們解決許多解析幾何問題采用的方法.但是為什么很多學(xué)生不會利用解析法解決問題呢？這與我們在課堂教學(xué)中過分注重所謂的答題技巧，而忽視數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)涵有一定關(guān)系.

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等

（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P，使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：好多同學(xué)在解決解析幾何有關(guān)問題時常常找不到正確的思路，往往隨便找一條直線方程代入求出曲線方程，然后利用韋達(dá)定理寫出兩根的和與兩根的積，再往下就不知道該怎么辦了.其實(shí)解析法是尋找思路的一種重要方法.

二、“斜”化“直”

若兩點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸垂直，則其距離容易求出，所以可以考慮轉(zhuǎn)化為求與坐標(biāo)軸垂直的線段的長度.

點(diǎn)評：好多同學(xué)之所以在解決解析幾何問題時，雖然有思路，但是經(jīng)常算不出最后結(jié)果，與解析幾何問題本身計(jì)算量比較大有關(guān)系，同時也與自身的運(yùn)算能力不