屈娟

摘 ? ?要： 復(fù)積分是復(fù)變函數(shù)論中比較重要的一部分，本文從教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的學(xué)習(xí)能力出發(fā)，給出復(fù)積分計(jì)算的課堂教學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞： 復(fù)積分 ? ?柯西—古薩定理 ? ?留數(shù)定理 ? ?教學(xué)目標(biāo)

《復(fù)變函數(shù)》課程是工科專業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)的一門課程，它的理論和方法有助于學(xué)生對專業(yè)課的學(xué)習(xí).因此，學(xué)好《復(fù)變函數(shù)》對學(xué)生來說是非常重要的一件事情.復(fù)積分是《復(fù)變函數(shù)》中非常重要的一部分，不僅是討論解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，而且為后面的積分變換打下基礎(chǔ).再者復(fù)積分計(jì)算比實(shí)變函數(shù)的積分復(fù)雜、困難.如何在課堂教學(xué)中使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)具有分析問題、解決問題的能力，即在有限的時(shí)間使學(xué)生拿到復(fù)積分的題目就能迅速準(zhǔn)確地做出來？本文首先介紹復(fù)積分計(jì)算的教學(xué)目標(biāo)，然后通過例子分析具體復(fù)積分的計(jì)算，最后進(jìn)行總結(jié).

制定教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是具體實(shí)施教學(xué)的重要前提.一節(jié)課的成敗關(guān)鍵在于教學(xué)目標(biāo)是否全面、準(zhǔn)確、具體和切合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力.復(fù)積分計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)是：首先，學(xué)生理解掌握幾種情形下的復(fù)積分計(jì)算的方法;其次，從復(fù)積分的計(jì)算中學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)思考問題，分析問題，解決問題的能力;最后，學(xué)生應(yīng)總結(jié)復(fù)積分計(jì)算的心得，在學(xué)習(xí)方法上得到啟示，研究創(chuàng)造出更好更有效的學(xué)習(xí)其他課程的方法.制定這樣的教學(xué)目標(biāo)，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)活動(dòng)，而不是灌輸式的教學(xué)，讓學(xué)生敢于懷疑，研究，創(chuàng)造.具體在教學(xué)中，課堂開始，教師首先說出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，提出問題，啟發(fā)學(xué)生找到解決問題的思路和方法.總之，在復(fù)積分的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)掌握基本概念和基本理論，并將所學(xué)的東西應(yīng)用到實(shí)際生活中.

再者，考慮學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)能力這兩個(gè)方面.首先是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)積分計(jì)算的興趣，這對學(xué)習(xí)復(fù)積分計(jì)算這一節(jié)有著很重要的作用.大部分的工科學(xué)生學(xué)習(xí)了一年的《高等數(shù)學(xué)》后，對大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)充滿了畏懼、害怕的情緒，認(rèn)為自己學(xué)不懂，覺得知識很難.此外，很多《高等數(shù)學(xué)》中積分計(jì)算方法都不能使用等一些問題使復(fù)積分的計(jì)算的學(xué)習(xí)更加困難.如何讓學(xué)生喜愛這節(jié)課將成為學(xué)好復(fù)積分計(jì)算的重要前提.我主要從以下方面做起：首先，樹立他們能夠?qū)W懂的信心.其次，講一些涉及復(fù)積分計(jì)算的一些科學(xué)家的故事和有趣的事情，培養(yǎng)起他們學(xué)習(xí)的興趣.最后，將復(fù)積分和《高等數(shù)學(xué)》中的實(shí)積分進(jìn)行比較，再加以補(bǔ)充.

下面具體說明：在《高等數(shù)學(xué)》中，函數(shù)在積分區(qū)間[a，b]上的積分值等于被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間[a，b]上的增量.讓學(xué)生思考，復(fù)變函數(shù)在積分區(qū)間上的積分值計(jì)算可否求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后計(jì)算原函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的差值.如果可以，則需要滿足怎樣的條件？接下來給出定理并舉例說明.如果在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，G（z）為f（z）的一個(gè)原函數(shù)，那么 ?f（z）dz=G（z ）-G（z ），其中z ，z 為D內(nèi)的點(diǎn).

例1.計(jì)算積分 coszdz.

解： coszdz=-sinz| = （e -e ）.

高等數(shù)學(xué)中計(jì)算定積分的方法有湊微分法，分部積分法等，這些求定積分的方法都可以平移過來.

例2：計(jì)算積分

解：由于在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)處處解析，則 ze dz= zd（e ）=e ·z| -？ e =e （1+i）-e | =ie .

《高等數(shù)學(xué)》中，計(jì)算曲線積分時(shí)，需要將曲線積分的積分路徑的參數(shù)方程寫出來，然后將曲線積分轉(zhuǎn)化成定積分.提出問題，復(fù)變函數(shù)中，被積函數(shù)沿著積分路徑的復(fù)積分可否用同樣的方法呢？即寫出積分路徑的復(fù)參數(shù)方程，轉(zhuǎn)換成復(fù)積分，然后計(jì)算.給出定理：設(shè)曲線C的參數(shù)方程為z（t）=x（t）+iy（t），a≤t≤b，則復(fù)積分 ?f（z）dz= ?f（z（t））z′（t）dt.

例3：計(jì)算 ?zdz，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+2i的直線段.

解：直線方程可寫成：z（t）=t+i2t，0≤t≤1，因此

zdz= ?（1+2i） tdt=（1+2t） ? tdt= （1+2i） .

這種方法重點(diǎn)在于要將曲線方程的參數(shù)方程寫出來，然后再計(jì)算定積分即可.在實(shí)際教學(xué)過程中，多舉幾個(gè)例子，發(fā)現(xiàn)上述的方法計(jì)算復(fù)積分時(shí)，有時(shí)復(fù)積分與積分路徑有關(guān)，有時(shí)復(fù)積分值又與積分路徑無關(guān)，因此提出一個(gè)問題：復(fù)變函數(shù)在什么條件下積分值與路徑無關(guān)呢？再者聯(lián)想到《高等數(shù)學(xué)》中，曲線積分與路徑無關(guān)的幾個(gè)等價(jià)條件中有一個(gè)是沿著區(qū)域D中任意一條簡單閉曲線積分值等于0.而這個(gè)問題1825年的法國數(shù)學(xué)家柯西解決了這個(gè)問題.即柯西積分定理（柯西-古薩定理）.柯西-古薩定理是指如果f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則f（z）在D內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線C的積分 ?f（z）dz=0.

例4：計(jì)算復(fù)積分 dz.

解：函數(shù)在內(nèi)處處解析，根據(jù)柯西-古薩定理，可知： dz=0.

例5：計(jì)算復(fù)積分 ?sinzdz，其中C是圓|z-1|=1的上半圓周，定向從0到2.

解：因在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)解析，由柯西積分定理，發(fā)現(xiàn)題目的積分與積分路徑無關(guān)，于是取另外一條積分路徑（沿實(shí)軸從0到2），這樣有 ?sinzdz= ?sinzdz= ?sinzdz=1-cos2.

繼續(xù)分析問題，上述的柯西積分定理中，f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)處處解析，如果f（z）在區(qū)域D內(nèi)不解析，即函數(shù)f（z）在區(qū)域D有奇點(diǎn)時(shí)，函數(shù)沿閉曲線的積分怎么來求？根據(jù)柯西積分定理的推論，函數(shù)f（z）沿一條閉曲線C的積分，歸結(jié)為求C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)和.

下面介紹留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z ，z ，…，z 外處處解析，C是D內(nèi)包含各孤立奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則 ? f（z）dz=2πi Res[f（z），z ].留數(shù)定理為計(jì)算復(fù)積分提供了一個(gè)新的方法、即函數(shù)沿閉曲線C的積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C中的各孤立奇點(diǎn)的留數(shù).

例6：計(jì)算復(fù)積分 dz.

解：函數(shù) 在|z|≤1有一個(gè)2015及極點(diǎn)，則復(fù)積分 dz=2πi· = .

此外，若函數(shù)f（z）在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z ，z ，…，z ，∞，那么f（z）在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零.計(jì)算復(fù)變函數(shù)沿閉曲線積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算函數(shù)在∞點(diǎn)的留數(shù)，這又是一種計(jì)算函數(shù)沿閉曲線的復(fù)積分的方法.

例7：計(jì)算積分 dz，C為正向圓周|z|=2.

解：函數(shù) 在|z|=2的外部除點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn).則 ?dz=-2πiRes[f（z），∞]=2πiRes[f（z） ，0]=2πiRes[f（z） ]=2πiRes[ ，0]=0.

到目前為止，所有的復(fù)積分計(jì)算方法都討論了.從上述討論過程可看出，培養(yǎng)了學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力.通過歸納，總結(jié)《高等數(shù)學(xué)》中積分的計(jì)算方法，以及和復(fù)積分的區(qū)別之處，找出解決問題的本質(zhì).整個(gè)教學(xué)中注意到了方法之間的聯(lián)系和區(qū)別.為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和動(dòng)腦、動(dòng)手能力，課堂最后，留一些合適的思考題.這些思考題可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑和方法.此外，還要求學(xué)生找一些自己本專業(yè)里面的一些涉及復(fù)積分的問題去解決，檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)效果.當(dāng)然，布置一些相應(yīng)的作業(yè)題是必需的，從作業(yè)中可看出學(xué)生掌握知識的程度，再對課堂教學(xué)加以改進(jìn).

以上主要探討了復(fù)積分計(jì)算的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和心得體會(huì)，希望這樣的總結(jié)和歸納能夠幫助更多的學(xué)生學(xué)好復(fù)積分.

參考文獻(xiàn)：

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