李小蘭

[摘要]代數(shù)與幾何圖形的綜合題是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是中考的一類熱點(diǎn)問題.而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解題是一個(gè)比較好的途徑.主要針對(duì)學(xué)生解題的失誤，結(jié)合了一些例子分析了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，對(duì)教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”有很好的促進(jìn)作用.

[關(guān)鍵詞]中考?jí)狠S題 思考 數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）080045

2011年又一次課改后，各省的中考?jí)狠S題很大程度上都圍繞著函數(shù)展開命題，如何將函數(shù)問題考出特色，考出新意，成了命題者不懈的追求.2012年玉林市數(shù)學(xué)中考試卷第25題正是朝著這個(gè)方向努力，并且做到了初中代數(shù)與幾何的綜合考查.只可惜閱卷結(jié)果令人痛心，大部分考生只在第一個(gè)問題上得分，個(gè)別考場(chǎng)沒有一個(gè)考生著筆第二、三個(gè)問題.許多考生在解題中出現(xiàn)很多問題，這值得我們教師深思.筆者也走訪了本縣的部分畢業(yè)班，發(fā)現(xiàn)了一些問題，下面通過反思師生的失誤反觀我們的教育教學(xué).

一、題目呈現(xiàn)

【例1】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點(diǎn)A的雙曲線y=kx的一支在第一象限交梯形對(duì)角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E.

（1）填空：雙曲線的另一支在第 象限，k的取值范圍是 ；

（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，陰影部分的面積S最??？

（3）若ODOC=12，S△OAC=2，求雙曲線的解析式.

二、解析

（1）由概念得出答案：三，k>0.

（2）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（k2，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，k2），∴S陰影部分=S△ACE+S△OBE=18（k-2）2+32，可求E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最??；

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，ka），可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，2ka）和A點(diǎn)坐標(biāo)為（a2，2ka）.∵S△OAC=2，得12×（2a-a2）×2ka=2，解得k=43.

三、錯(cuò)誤分析

（1）此題的第二個(gè)問題應(yīng)該屬于中檔難度的題目，可部分班級(jí)平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生卻無從下筆，筆者歸納了訪問到的教師和學(xué)生的一些說法，并進(jìn)行了原因分析.

①生1：沒見過此類題目，題目求三角形的面積卻沒給出任何線段的長(zhǎng)度.

②生2：只知道點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），沒有辦法求出點(diǎn)E和點(diǎn)A的坐標(biāo).

③師：學(xué)生函數(shù)題目練了很多，但就是不懂利用坐標(biāo)求線段長(zhǎng).

分析：本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.由于幾何圖形與函數(shù)圖形結(jié)合在一起，學(xué)生分析問題需要進(jìn)行“幾何圖形——數(shù)量關(guān)系——函數(shù)圖形”之間的互相轉(zhuǎn)化.同時(shí)考慮到動(dòng)靜轉(zhuǎn)換原則，此題可以把動(dòng)態(tài)的點(diǎn)E想象成靜態(tài)的點(diǎn)E，即得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，k2）.學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中沒有歸納總結(jié)解題方法，教師在教學(xué)過程中也沒有著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，導(dǎo)致學(xué)生在考試中失分.

四、教學(xué)思考

筆者有幸參加了當(dāng)年的中考閱卷，這道題得分率較低的情況值得我們深思，根據(jù)這類問題的錯(cuò)誤分析，我們應(yīng)在教學(xué)中采取相應(yīng)的策略.

1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題意識(shí)

在課堂教學(xué)中，注意選擇一些非常典型的、能很好地發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法優(yōu)勢(shì)的例題進(jìn)行講解，在精講過程中，注意用問題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.講解完畢后，還可以對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行總結(jié)和反思.通過對(duì)一道題的總結(jié)和反思，我們得到一類問題的解題方法，從而大大深化了我們對(duì)知識(shí)的理解，豐富了我們的知識(shí)，提高了我們的解題能力.

【例2】 （2014·玉林·26）若P是拋物線y=-14x2+1上任一點(diǎn)，過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn).求證：OP=PQ.

分析：此類題目是以形助數(shù)的幾何問題.首先應(yīng)畫出大致的示意圖.發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP、PQ的值，再進(jìn)行比較.這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y=-14x2+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，-14x2+1），進(jìn)而易求OP、PQ.

2.數(shù)形結(jié)合求解問題的主要途徑

利用數(shù)形結(jié)合求解問題，必須采取一定的切入途徑，這是解題得以成功的重要保證，這里我們只介紹羅增儒的觀點(diǎn).

羅增儒在總結(jié)了數(shù)式與圖形對(duì)應(yīng)的基本數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)上提出了三個(gè)主要途徑：①通過坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系；②轉(zhuǎn)化；③構(gòu)造.

【例3】 （2014·湖南岳陽）如圖3，已知點(diǎn)A是直線y=x與反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的交點(diǎn)，B是y=kx的圖像上的另一點(diǎn).BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C（圖中“→”所示路線）勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C.過點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M，N.設(shè)四邊形OMPN的面積為S，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致為（ ）.

分析：本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想在“幾何圖形——數(shù)量關(guān)系——函數(shù)圖形”之間互相轉(zhuǎn)化，但關(guān)鍵是通過坐標(biāo)系構(gòu)造出動(dòng)態(tài)的四邊形OMPN，同時(shí)運(yùn)用了動(dòng)靜轉(zhuǎn)換原則，列出四邊形OMPN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，最后，由函數(shù)的圖像得出答案B.

3.滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

（1）由數(shù)思形，培養(yǎng)思維的靈活性.思維的靈活性是指多方位、多角度思考問題的靈活程度.

【例4】 已知a、b均為正數(shù)，a+b=2，求a2+4+b2+1的值.

分析：這是一道代數(shù)計(jì)算題，單從代數(shù)方面思考顯得深?yuàn)W難解，而利用逆反原則則可“化數(shù)為形”，從而使問題快速獲解.這樣有效地提高了學(xué)生思維的靈活性.

分析：如圖4，先畫線段AB=2，在線段AB上截取AE=a，BE=b，過A作AC⊥AB，且AC=2，過B作BD⊥AB，且BD=1，則CE=a2+4，DE=b2+1，原題即求CE+DE的最小值.易得a2+4+b2+1=13.

（2）由形思數(shù)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

【例5】 等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，求頂角的度數(shù).

分析：因?yàn)轭}目中沒有繪出圖形，學(xué)生在畫圖時(shí)往往不能準(zhǔn)確地理解題意，畫出所有符合條件的圖形，犯了“以偏概全”之錯(cuò).此題學(xué)生往往會(huì)漏掉等腰三角形是鈍角三角形的情況.因此，教師應(yīng)有針對(duì)性地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，促使學(xué)生逐步養(yǎng)成思維的嚴(yán)密性.

（3）數(shù)形兼顧，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.

創(chuàng)造性思維是一種綜合性思維.法國(guó)遺傳學(xué)家F·雅各布說：“創(chuàng)造就是重新組合.”數(shù)形結(jié)合中，由數(shù)想形，可培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想解題思維；由形想數(shù)，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲及學(xué)習(xí)興趣.數(shù)形結(jié)合把發(fā)散思維和收斂思維有機(jī)結(jié)合起來，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

【例6】 如圖5，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同時(shí)從B出發(fā)，以每秒1單位長(zhǎng)度分別沿BADC和BCD方向運(yùn)動(dòng)至相遇時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△BPQ的面積為S（平方單位），S與t的函數(shù)圖像如圖6所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）.

A.當(dāng)t=4秒時(shí)，S=43

B.當(dāng)4≤t≤8時(shí)，S=23t

C.AD=4

D.當(dāng)t=9秒時(shí)，BP平分梯形ABCD的面積

分析：本題考查了動(dòng)線、面積、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想、方程思想、函數(shù)思想、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換法等.

華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”的確，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想和一柄雙刃解題利劍.教師只有在平時(shí)的教學(xué)中落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，學(xué)生才能見數(shù)思形、見形思數(shù)、見形助數(shù)、以數(shù)輔形，真正利用好這柄雙刃解題利劍，而不僅僅是為了做題而做題.讓我們的學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中得以解脫，真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）