李建鋼

摘 要：隨著新一輪基礎(chǔ)教育改革工作的開展，幾何教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，近年來隨著教育體制的不斷深入改革，傳統(tǒng)幾何的刪減與邏輯思維發(fā)生了很大變化，同時引起了社會的廣泛關(guān)注。人們對于幾何的學(xué)習(xí)變得更加重視，對幾何的數(shù)學(xué)知識運(yùn)用更為廣泛。對幾何證明題的練習(xí)能很好地鍛煉學(xué)生的思維能力，是教材中的重要內(nèi)容，也是各地中考題的熱點。結(jié)合初中幾何題證明，對初中生幾何題證明問題、困境現(xiàn)狀和應(yīng)對方式進(jìn)行了簡單的分析。

關(guān)鍵詞：幾何證明；書寫問題；教學(xué)困境；有效策略

作為整個初中教學(xué)的重要內(nèi)容，幾何證明一直被視為初中教學(xué)的重點、難點，它為高中立體幾何、解析結(jié)合的學(xué)習(xí)奠定了很好的基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生的推理邏輯、語言組織能力具有重大影響。因此，在初中幾何教學(xué)中，必須正視初中生幾何題證明存在的問題，通過分析問題困境，改善教學(xué)途徑，提高教學(xué)質(zhì)量與效益。

一、初中生幾何題證明書寫存在的問題與教學(xué)困境

1.初中生幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

從初中數(shù)學(xué)教學(xué)反饋的信息來看，很多初中生并不喜歡幾何，而且很討厭復(fù)雜的幾何書寫與證明。在被調(diào)查的初中生中，近一半的學(xué)生表示能夠證明幾何題，但是只會書寫一部分，一旦難度上升，就會出現(xiàn)一籌莫展的局面。如：矩形四邊形中線與點相連構(gòu)成菱形，試想菱形的四條邊中點構(gòu)成的圖形是什么？敘述結(jié)論，并且證明。針對該題很多學(xué)生在仔細(xì)觀察后也能得出一部分矩形結(jié)論，但是卻很難給出精確的證明。即使寫出了證明過程，由于書寫不規(guī)范，表達(dá)有誤，失分現(xiàn)象依然嚴(yán)重。25%左右的初中生不喜歡計算，特別是求圖形面積與勾股定理等內(nèi)容。

在幾何語言應(yīng)用中，只有少部分學(xué)生能用規(guī)范的語言表述解答過程。而在書寫解題過程時，受學(xué)習(xí)心理與答題時間影響，書寫存在問題。如：不知道怎樣正確表述角，將△ABC寫成三角形ABC，將△AEB≌△ACD書寫成△AEB全等于△ACD等。

總結(jié)起來看，初中生在幾何題證明書寫中存在問題的原因有：概念認(rèn)識模糊，還停留在理解上；不知道怎樣運(yùn)用幾何知識解答遇到的問題，與已有的知識結(jié)構(gòu)缺乏聯(lián)系；不適應(yīng)語言、應(yīng)用和圖像符號之間的轉(zhuǎn)換，過于依賴邏輯思維，忽略了形象思維與常規(guī)推理等。

2.初中生幾何證明書寫存在問題的原因

（1）教師的問題

很多幾何題都存在證明難度，一部分?jǐn)?shù)學(xué)老師為了讓學(xué)生能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣莆照Z言表述，剛進(jìn)初一就嚴(yán)格要求學(xué)生證明過程、書寫嚴(yán)謹(jǐn)，從一開始就過于強(qiáng)調(diào)抽象、嚴(yán)密的推理過程，這無意中增加了幾何學(xué)習(xí)與表述的門檻，讓入門語言變得更加艱難。由于沒有引導(dǎo)好學(xué)生，反讓學(xué)生不得已退至門外。加上很多數(shù)學(xué)老師不會聯(lián)系實際，對生活實例與幾何素材采取漠視的態(tài)度，從講臺到書本，學(xué)生缺乏將所學(xué)知識與生活實際聯(lián)系的機(jī)會，這嚴(yán)重影響了學(xué)生空間理念、想象力的培養(yǎng)與完善。甚至還有一部分老師受教學(xué)設(shè)施與自身技能的約束，不會運(yùn)用多媒體課件，缺乏豐富多彩的教學(xué)活動，教學(xué)過程過于死板、陳舊，講出的內(nèi)容缺乏生動性與趣味性，都極大約束了學(xué)生思維的發(fā)展。

受應(yīng)試背景的影響，師生過于關(guān)注考試，忽略了學(xué)習(xí)能力的提高。很多數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中尊崇考什么教什么的原則。在課堂教學(xué)中經(jīng)常忽略不考試的內(nèi)容，這樣不僅放棄了很多應(yīng)該學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時極大影響了學(xué)生的興趣，使對這些內(nèi)容感興趣的學(xué)生開始漠視幾何。另外，教學(xué)課堂公式化，老師為了迎合新課標(biāo)提出的小組討論、合作探究等教學(xué)要求，忽略了靈活掌控與應(yīng)用課堂等要求，很多學(xué)生為了活動而活動，在活動與討論結(jié)束后，馬虎地寫上證明過程，缺乏對證明思路的深入理解與探析，這也是幾何書寫一直存在問題的重要原因。

（2）學(xué)生的原因

從幾何答題不理想出現(xiàn)的原因來看，很多初中生在幾何認(rèn)圖上存在很嚴(yán)重的問題，由于過于依賴圖形，在解題時沒有認(rèn)真分析各種隱性條件。因為學(xué)生還不善于將題型中的圖形與教材圖形整合起來，所以很難正確運(yùn)用定理。一部分學(xué)生過于依賴圖形，如：看到兩個三角形形狀類似，就開始證明這兩個三角形全等；即使例題中的條件不夠，也會自己創(chuàng)設(shè)條件，將沒有關(guān)系的圖形拉到一塊。從學(xué)生的理解能力來看，很多學(xué)生過于依賴視覺感受，忽略了推理。如：在理解圖形特點時，要求用語言描述看到的圖形，很多學(xué)生卻將重點放在描述形狀上。

學(xué)生缺乏對入門問題的正確理解，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只是對簡單圖形的認(rèn)識并且還會借助實驗與觀察得到，即使研究圖形也只是側(cè)重于體積、面積計算。在思維上，形象思維成為主體。雖然老師在解題過程與書寫證明中也有所要求，但是運(yùn)用到具體的題型中，學(xué)生明顯存在問題。

幾何語言和文言文相似，幾何語言很有可能將通俗語言搞亂。如：怎樣比較兩線段的大??？常規(guī)做法人人都會，即一端對齊，往另一端看。幾何教科書上卻是：將線段a′b′移到ab上。讓a′和a重合，a′b′沿著ab飄下，如果b′位于a點與b點間，則說明線段a′b′<線段ab，也可記作：a′b′

最后是定理多，記憶存在困難。例如，在平面幾何學(xué)習(xí)中，一旦學(xué)生不夠理解已有知識，沒有能力完善與開發(fā)已有的學(xué)習(xí)策略，在死記硬背與生搬硬套中只會出現(xiàn)似懂非懂、一知半解的情形，從而在概括與感知中造成思維斷層。

二、改善初中生幾何證明書面表達(dá)的策略

1.重視概念，做好基本功練習(xí)

在幾何證明中，幾何中的定理、概念、公式作為論證推理的依據(jù)，為了規(guī)范初中生幾何證明的書寫過程，必須從提升學(xué)生的理解能力著手。在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對定理、概念一知半解時就去求證，結(jié)果在證明時亂碰胡套，使思維越來越混亂，解題能力沒有達(dá)到預(yù)想的目標(biāo)。針對這些問題，在初中幾何教學(xué)中，可以先將起點降到已有知識與現(xiàn)實生活中，通過為其提供生動、感性的知識，打好根基，充分發(fā)揮師生的主導(dǎo)作用與主體功能。在再現(xiàn)公式情境與定理的基礎(chǔ)上，根據(jù)事物規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。例如，在角的平分線定理中，可以設(shè)計成：什么是角的平分線？任意畫一個角，并且作出平分線；在平分線上任意選取兩點，作出到兩邊的距離，并且比較。從而讓學(xué)生將感性知識變成理性知識。這樣就能得出角平分線上的點到兩邊的距離相等。

首先，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生識圖，不僅要學(xué)會觀察，還要認(rèn)識與分析幾何圖形，既能識別簡單圖形概念，又能從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出某個概念的圖形。畫圖是指獨(dú)立正確地展示各種圖形，根據(jù)圖形與例題的對應(yīng)關(guān)系，讓畫出的圖形滿足題意。

其次，幾何語言與做好幾何題證明也有很大關(guān)系，幾何語言作為幾何的專門性語言，具體包含圖形、符號和文字語言。運(yùn)用好幾何語言對幾何證明有很大影響。因此，在學(xué)習(xí)幾何時，必須將符號、文字與圖形有機(jī)整合起來，這樣才能規(guī)范例題證明。

再次，確保每個推理都有因果與理由，并且因果關(guān)系合理。例如：①∵在△ABC中，∴∠A+∠B+∠C=180°；②∵△ABC≌△EFG，∴∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（全等三角形對應(yīng)角相等），AB=EF，BC=FG，BC=EG（全等三角形對應(yīng)邊相等）。

最后，明確證明書寫的層次關(guān)系。幾何證明由邏輯推理構(gòu)成，包含多個因果關(guān)系。

2.熟悉著眼點，更好地解決問題

在某個問題還沒有切實解決前，必須捕捉有利于解決問題的著眼點。如：△ABC為正三角形，三角形的內(nèi)部一點P，讓PA=3，PB=4，PC=5，試求∠APB的度數(shù)，該題中的3、4、5構(gòu)成了勾股數(shù)字，也就是說需要創(chuàng)設(shè)直角三角形。然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)知識把△ABP繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，再連接PQ，得到△PBQ為正三角形，△PQC為直角三角形，即∠APB=150°。

另外，還需要正視常用的輔助線法。如：例題中出現(xiàn)圓切線，那么輔助線就是過切點的半徑、直徑出現(xiàn)的直角。反之，如果條件中的圓為半徑、直徑，輔助線就是過半徑、直徑端點的切線。也就是說，直徑與切線互相為輔助線。作輔助線最主要的作用是幫我們找準(zhǔn)著眼點，在問題簡單化的前提下，確保證明書寫和解題思路正確。

3.執(zhí)果索因，充分運(yùn)用分析

在幾何定理中，為了確保幾何題書寫證明正確，必須遵循命題原則，在嚴(yán)格推理與分析的基礎(chǔ)上，辯證地轉(zhuǎn)化知識，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這樣才有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和知識運(yùn)用能力。例如：AD為△ABC的高，AE為△ABC外接圓直徑，試證AB×AC=AE×AD。分析：AB×AC=AE×AD可以寫成AB/AE=AD/AC，為了證明AB/AE=AD/AC，只要說明該線段為兩個三角形對應(yīng)線段就可以。整合命題與圖形中已有的條件，只要說明△AEB和△ADC相似，就能解決問題。

在幾何教學(xué)中，規(guī)范學(xué)生解題證明作為一種課堂教學(xué)藝術(shù)，對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)有效性具有重要作用。在書寫上，除了規(guī)范解題證明過程，更多地需要深化知識結(jié)構(gòu)，鞏固已有知識和知識應(yīng)用能力。因此，在幾何證明中，必須從基礎(chǔ)知識出發(fā)，整合學(xué)生的實際情況，使用多種教學(xué)方式提高學(xué)生技能，這樣才能快速培養(yǎng)學(xué)生的技能，拓展學(xué)生的視野。

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編輯 王夢玉