周紅芹

[摘 要]“教學(xué)有法，教無定法.”教學(xué)方法的提煉與選擇有助于提高教學(xué)效益.構(gòu)造法可以幫助學(xué)生將各種數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，使學(xué)生達(dá)到融會(huì)貫通、提高效率的目的.有機(jī)地將構(gòu)造法運(yùn)用于數(shù)列、幾何圖形、函數(shù)的教學(xué)之中，可以事半功倍地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的解題水平.

[關(guān)鍵詞]構(gòu)造法 數(shù)列 幾何圖形 函數(shù)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）230035

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要給學(xué)生傳授具有針對(duì)性的解題方法，其中構(gòu)造法就是一種值得推廣的方法.無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)還是解題，構(gòu)造法都能夠幫助學(xué)生將各種數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生在熟練、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的情況下學(xué)會(huì)舉一反三、融會(huì)貫通，從而提高學(xué)習(xí)效率.下面筆者談?wù)剺?gòu)造法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

一、構(gòu)造法在數(shù)列中的運(yùn)用

構(gòu)造法解題的過程就是將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程，轉(zhuǎn)化是解題的重點(diǎn).數(shù)列的內(nèi)涵就是按照固定的規(guī)律排列成一列數(shù)，此種規(guī)律一般就是通項(xiàng)公式.因此求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題型，也是教學(xué)的重點(diǎn).除了求數(shù)列的通項(xiàng)公式外，求數(shù)列的前n項(xiàng)和也是較為常見的題型，此時(shí)可以根據(jù)具體的問題采用相應(yīng)的構(gòu)造法.

以構(gòu)造法在數(shù)列通項(xiàng)公式中的運(yùn)用為例，此類題目通常給出的是遞推公式，運(yùn)用構(gòu)造法能夠構(gòu)造出新的數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如這樣一道題：在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1-an-（2n+1）an+1an=0，求通項(xiàng)公式an.在解題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)考慮到對(duì)遞推式進(jìn)行移項(xiàng)，將（2n+1）an+1an移到等式的右側(cè)；其次，考慮在等式兩邊同時(shí)除以an+1an，由此構(gòu)造出新的等差數(shù)列.由遞推式an+1-an=（2n+1）an+1an，兩邊同時(shí)除以an+1an（an+1an≠0，否則會(huì)與a1=1相互矛盾）得

1an+1-

1an

=-（2n+1）.采用構(gòu)造法構(gòu)造輔助數(shù)列{bn}，令bn=

1an+1-

1an

，則{bn}是以-3為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列.

1an-1a1

=（1an+1an-1）+

（1an-1-1an-2）+…+（1a2-1a1）=bn-1+bn-2+…+b1=-3n-

2×（n-1）（n-2）2=

-n2+1.

將a1=1代入公式，得an=12-n2.在解題中需注意，一般學(xué)生通常會(huì)將{1an}構(gòu)造成新的數(shù)列{bn}，但這里則是將{1an+1-

1an

}當(dāng)作新的數(shù)列.在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)，還需注意叮囑學(xué)生在運(yùn)算時(shí)應(yīng)當(dāng)注意對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，不要弄錯(cuò).

二、構(gòu)造法在幾何圖形中的運(yùn)用

代數(shù)運(yùn)算雖然較為直接，但多數(shù)情況下較為抽象，且運(yùn)算具有一定的復(fù)雜性，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.而合適的構(gòu)造法能夠?qū)⑶蠼獾膯栴}變得更加簡(jiǎn)潔明了，使學(xué)生從其他角度找到全新的解題方法.例如這樣一道題：一個(gè)周長(zhǎng)為6，面積是整數(shù)的直角三角形存在與否？假如不存在，請(qǐng)證明；假如存在，請(qǐng)證明一共有幾個(gè).在解題時(shí)，先假設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊則為c，面積S為整數(shù)，可利用原題中的條件列出方程：a+b+c=6；a2+b2=c2；12ab=S.因?yàn)轭}目是證明面積S為整數(shù)，因此可由前兩個(gè)公式得出ab=18-6c.由韋達(dá)定理可構(gòu)造出以a與b為根的方程：x2-（6-c）x+（18-6c）=0.Δ=（6-c）2-4×1×（18-6c）=c2+12c-36.假如方程有解，則Δ≥0，即c≥-6+62.因?yàn)閏三、構(gòu)造法在函數(shù)中的運(yùn)用

構(gòu)造函數(shù)思想屬于數(shù)學(xué)中的一種較為重要的思想方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生掌握這一數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生開拓思路，解決問題.構(gòu)造法在函數(shù)中的運(yùn)用一般是通過特定的手段，設(shè)計(jì)并構(gòu)造出一個(gè)與待解決問題有關(guān)的函數(shù)，借助函數(shù)自身的性質(zhì)或者運(yùn)算結(jié)果來解決原有的問題.構(gòu)造函數(shù)法的思想范圍較為廣闊，具有一定的靈活性，因此需要靈活運(yùn)用.例如，假如函數(shù)滿足以下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)g，使f′（g）=

f（b）-f（a）b-a

.證明：做輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）b-a（x-a）.F（a）=F（b）=0，且F（x）在[a，b]上滿足羅爾定理的條件，因此g∈（a，b），F(xiàn)′（g）=

f′（g）-f（b）-f（a）b-a

=0，移項(xiàng)得f′（g）=f（b）-f（a）b-a.在證明的過程中需注意函數(shù)與變形式，構(gòu)造函數(shù)法可幫助學(xué)生開拓思路，最終解決問題.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用構(gòu)造法能夠有效地幫助學(xué)生整合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度看待問題，有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）