李曉敏 李延波

摘 要： 本文結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)實(shí)際，對(duì)該課程的教學(xué)方法作了探討，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法解決問題的能力。

關(guān)鍵詞： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 教學(xué)方法 學(xué)習(xí)興趣 應(yīng)用能力

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高等院校本科生必修的數(shù)學(xué)課程之一，與生產(chǎn)及工程實(shí)踐密切相關(guān)。不僅涉及面廣，而且是許多后續(xù)專業(yè)課（如生物統(tǒng)計(jì)、試驗(yàn)設(shè)計(jì)等）的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中應(yīng)用較廣泛的一門課程。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，它的思想方法與學(xué)生以前接觸過的任何一門學(xué)科均不相同，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要改變以往的思考方式，因此概率統(tǒng)計(jì)一直是學(xué)生認(rèn)為比較困難的課程。而以往概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中，常常是照本宣科，重視理論的系統(tǒng)性，強(qiáng)調(diào)詳細(xì)的推導(dǎo)與證明，導(dǎo)致學(xué)生輕視理論聯(lián)系實(shí)際、把學(xué)到的理論知識(shí)用到實(shí)際中解決實(shí)踐中的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題，忽視探究實(shí)踐的培養(yǎng)，必然導(dǎo)致學(xué)生缺乏創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，無法適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。這樣的教學(xué)方法已明顯不能滿足發(fā)展的需要，因此，非常有必要對(duì)這門課程的教學(xué)方法作探討。

一、以學(xué)生為中心，充分發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性

以學(xué)生為中心，就是把學(xué)生視為整個(gè)課堂教學(xué)過程中的主體和知識(shí)的主動(dòng)構(gòu)建者。教師不再是絕對(duì)的主導(dǎo)者，而是扮演著組織者、領(lǐng)路人、協(xié)助者和促進(jìn)者的角色。在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重和諧師生關(guān)系的營造[1]，做到對(duì)學(xué)生“嚴(yán)中有愛”?！耙詫W(xué)生為中心”的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)是以學(xué)生為主體，針對(duì)在課堂教學(xué)中的現(xiàn)有問題，提出新的教學(xué)模式和方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而最大限度地提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生從“知識(shí)型”人才向“創(chuàng)新型”人才發(fā)展。

二、引經(jīng)據(jù)典，消除學(xué)生的畏懼心理

由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法與其他數(shù)學(xué)學(xué)科不同，因此比較難以掌握。很多學(xué)生對(duì)該門課都有畏懼心理，因此在每學(xué)期的第一次課，首先可以向?qū)W生介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源和發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性，還可以介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些熱門運(yùn)用，比如在經(jīng)濟(jì)、保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用等，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最后可以列舉一些發(fā)生在身邊的事，比如各大商場(chǎng)的促銷活動(dòng)，隨處可見的彩票銷售中心，馬路上的車來車往，到街頭小攤設(shè)獎(jiǎng)的騙局，班上同學(xué)的生日和身高，自己接到的一個(gè)保險(xiǎn)電話，父母的一次投資，甚至是我們經(jīng)常說的一句諺語，摸球、擲骰子等游戲，使學(xué)生在愉快的氛圍中開始本門課程的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)積極性無疑會(huì)有很大的提高。

三、合理設(shè)疑置障，激發(fā)學(xué)生思維[2]

疑問式教學(xué)法是指通過提出疑問、分析疑問、解決疑問而進(jìn)行教學(xué)的方法。該方法有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生積極思考、勇于批判、勇于超越等良好的心理素質(zhì)，是貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一種有效方法。例如：在講概率部分時(shí)，教師可以給出概率論中的幾個(gè)經(jīng)典問題，并且合理設(shè)置疑問。如生日問題，在給一個(gè)有90人左右的班級(jí)授課時(shí)，可首先提出一個(gè)結(jié)論：“在座的同學(xué)中，至少有兩名同學(xué)的生日相同?！边@一結(jié)論表面上并不是一個(gè)問題，但學(xué)生聽了以后無不產(chǎn)生疑問，因而迫切希望知道其中原因。又如：在講授概率的統(tǒng)計(jì)定義時(shí)，由于事件A的概率P（A）是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)事件A發(fā)生頻率fn（A）的穩(wěn)定值，因此初學(xué)者會(huì)誤解為概率就是頻率的極限。為避免這種情況發(fā)生，在敘述了概率的統(tǒng)計(jì)定義后，教師可直接提出：“由概率的統(tǒng)計(jì)定義，能否可簡(jiǎn)單地概括為■fn（A）=P（A）？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)極限定義的回憶及將其與概率的統(tǒng)計(jì)定義對(duì)比，從而不但看出了它們本質(zhì)上的差別，而且對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義的認(rèn)識(shí)更清楚、更準(zhǔn)確。有時(shí)，為了使學(xué)生對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)引起重視，也可以故意設(shè)置障礙，甚至進(jìn)行誤導(dǎo)，通過糾誤尋源，積極引導(dǎo)學(xué)生思考。例如：投兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，試求事件A={點(diǎn)數(shù)之和等于4}的概率?？紤]到考察的兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，因而樣本空間可構(gòu)造如下Ω={2，3，4，…，12}，而A={4}，故由概率的古典定義得P（A）=1/11。仔細(xì)分析，就可以看出結(jié)論是錯(cuò)的。錯(cuò)的原因是該樣本空間中的11個(gè)基本事件的出現(xiàn)不是等可能的。從而注意到用概率的古典定義解題時(shí)所建立的樣本空間必須滿足“有限性”及“等可能性”的要求?？傊?，合理地、恰到好處地設(shè)疑置障可以打破學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激起積極思維的層層浪花。

四、實(shí)施案例教學(xué)，理論聯(lián)系實(shí)際

案例式教學(xué)法[3]是指要求學(xué)生結(jié)合所學(xué)的理論，以實(shí)際情況為背景，對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行深入分析，指出其存在的問題、根源，并策劃出解決問題的方案。這種方法有利于活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。例如兩賭金分配問題[4]：1654年，賭徒德·梅累向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱很久的分賭本問題：甲、乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50法郎，每次賭局中無平局。他們約定，誰先贏3局則得到全部100法郎的賭本。當(dāng)甲贏了2局，乙贏了1局時(shí)，因故要中止賭博?，F(xiàn)問這100法郎如何分才算公平？事實(shí)上，很容易設(shè)想出下面兩種分法。

（1）考慮到甲、乙兩人賭技相同，平均分配賭金：即甲得50法郎，乙得50法郎。這種分法沒有照顧到甲已經(jīng)比乙多贏1局這個(gè)現(xiàn)實(shí)，對(duì)甲顯然是不公平的。

（2）考慮到已經(jīng)進(jìn)行的3局比賽結(jié)果，按照賭局輸贏次數(shù)的比例分配賭金：甲得200/3法郎，乙得100/3法郎。這種分法沒有考慮到如果繼續(xù)比下去就會(huì)出現(xiàn)什么情形，即沒有照顧2人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對(duì)比賽結(jié)果的一種期待。那么，這更合理的第3種分法又該怎樣分呢？提醒學(xué)生思考如果賭局進(jìn)行下去，會(huì)出現(xiàn)的情況：最多只需再賭2局即可結(jié)束這場(chǎng)賭博。而再賭2局可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以有序?qū)Ρ硎?，如（甲，乙）表示第一?chǎng)賭局甲贏，第二場(chǎng)賭局乙贏。由于2人賭技相同，這4種情況出現(xiàn)的概率應(yīng)相等，2場(chǎng)賭局結(jié)果的分布概率如下表所示。

2局結(jié)果及概率分布

如前3種結(jié)果發(fā)生，都是甲先贏3局，即甲贏得全部賭金100法郎，相應(yīng)的概率為3/4，而甲得0法郎的概率為1/4，故甲獲得的期望賭金為E（甲贏3局）=3/4×100+1/4×0=75（法郎），而乙應(yīng)分得25法郎。因此，既考慮到甲已經(jīng)比乙多贏一局的事實(shí)，又考慮到后續(xù)可能出現(xiàn)的結(jié)果，按照數(shù)學(xué)期望的思想分配賭金是比較公平的。在這個(gè)故事中，出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，也是“數(shù)學(xué)期望”這個(gè)術(shù)語名稱的由來。分賭本問題的思想可以進(jìn)行推廣，例如應(yīng)用到投資問題：甲乙兩人合資辦廠，經(jīng)營一段時(shí)間后，甲乙兩人都要單獨(dú)經(jīng)營或者由于某種原因不能繼續(xù)合作下去，應(yīng)該怎樣分配經(jīng)營成果；或者因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)不善而虧損，應(yīng)該如何分?jǐn)倐鶆?wù)等相關(guān)問題。這些思考對(duì)于經(jīng)管相關(guān)專業(yè)的學(xué)生是有所裨益的。在案例教學(xué)中，把教學(xué)內(nèi)容和其他學(xué)科聯(lián)系起來，針對(duì)不同系、不同專業(yè)的學(xué)生，采用不同的案例，與學(xué)生專業(yè)聯(lián)系起來。用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決他們專業(yè)的一些問題，讓學(xué)生感覺學(xué)有所用，學(xué)有所值。這樣學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地“學(xué)”，而不是被動(dòng)地“教”。精彩生動(dòng)的聯(lián)系學(xué)生專業(yè)的案例，需要教師挖掘。

以上是筆者對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法的體會(huì)和所作的探討，“授人以魚，不如授人以漁”，好的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)尤其重要。在這個(gè)高速發(fā)展的社會(huì)，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)要適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要，堅(jiān)持教學(xué)改革，不斷提高教學(xué)質(zhì)量，積極發(fā)揮該課程在數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的重要作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]方展畫，羅杰斯.“學(xué)生為中心”教學(xué)理論述評(píng)[M].北京：教育科學(xué)出版社，1990.

[2]徐群芳.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（1）：10-13.

[3]趙妹淳.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)創(chuàng)新教學(xué)模式初探[J].高等教育研究學(xué)報(bào)，2001，5（1）：49-52.

[4]王昕等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)方法探析[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，31（3）：372-375.