方永聰

摘 要： 本文以幾道經(jīng)常出現(xiàn)的方案選擇問題的應(yīng)用題為例闡述了在應(yīng)用題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.

關(guān)鍵詞： 方案選擇問題 應(yīng)用題教學(xué) 建模能力 信息整理能力

近年來，隨著市場經(jīng)濟的迅速發(fā)展，社會對數(shù)學(xué)的需求并不僅僅是會解答數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)家，而是需要大量善于用數(shù)學(xué)知識和思維方法解決實際問題的各種人才.數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用是教材及近年來各地中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，對于如何開展這類問題的教學(xué)，我談?wù)効捶ā?/p>

一、培養(yǎng)學(xué)生認真讀題的習(xí)慣，增強建模能力

要培養(yǎng)學(xué)生認真讀題，提煉有用條件，抓住關(guān)鍵詞，過好閱讀關(guān)，理解問題的實際背景，分析處理有關(guān)數(shù)據(jù)，把握已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系.審題時，要準確理解關(guān)鍵語句的數(shù)學(xué)意義，再創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，選取基本變量，將文字語言抽象概括成數(shù)學(xué)語言，依據(jù)有關(guān)定義、公理和數(shù)學(xué)知識，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型.

例1：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發(fā)現(xiàn)由于擁擠每分鐘只能通過3人，自己前面還有36人等待通過，通過道口后，還要7分鐘才可以到達學(xué)校.（1）此時，繞道而行，要15分鐘到達學(xué)校.從節(jié)省時間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校，還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常，結(jié)果王老師比擁擠情況下提前6分鐘通過道口，問維持秩序的時間為多少？

這道題的背景來自考生經(jīng)常碰到道口擁擠的問題，這是一道非常簡單的方案優(yōu)化問題.（1）小題需要分別明確兩個方案（過道口和繞行）所用的時間，這是一道簡單的算術(shù)應(yīng)用題.（2）小題關(guān)鍵是有維持秩序和沒有維持秩序“過道口的時間差”，相等關(guān)系是：擁擠情況下王老師通過道口所用時間等于維持持續(xù)的時間加上維持持續(xù)維持好之后前邊的人通過所用的時間，還要加上疏通后比原來提前的時間，這只是一道一元一次方程的應(yīng)用題.

分析：（1）先分別求得通過擁擠的通道和繞道去學(xué)校的時間，比較即可選擇。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以應(yīng)該選擇繞道去學(xué)校.

（2）設(shè)維持秩序的時間x分鐘，如果不維持秩序，王老師要用36÷3=12分鐘才能通過，現(xiàn)在提前6分鐘，說明他只用了12-6=6分鐘，在這6分鐘內(nèi)，花了x分鐘維持秩序，通過3x人，又花了（6-x）分鐘按正常秩序等待，通過了9（6-x）人，共通過36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培養(yǎng)學(xué)生巧用字母表示未知數(shù)的能力

在應(yīng)用題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生準確地用字母表示未知數(shù)的能力是一個重要環(huán)節(jié).有些題目的未知的量不止一個，有的學(xué)生往往不敢下手，這時必須引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)題，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何種方法.

例2：某移動通訊公司開設(shè)兩種業(yè)務(wù)：“全球通”：先繳50元月租費，然后每通話一跳次，再付0.4元；“神州行”：不繳月租費，每通話一跳次，付話費0.6元.請你分析判斷選擇哪一種付費方式更合算？

這是一道一元一次方程相關(guān)的應(yīng)用題也是一次函數(shù)相關(guān)的方案選擇問題的應(yīng)用題，題目的答案不是唯一的，而需要不同的通話時間決定.題目沒有提供準確的數(shù)據(jù)，未知量有三個，所以必須教學(xué)生合理設(shè)未知量，把未知的量先用字母表示.若設(shè)一個月通話x次，兩種方式的費用分別為y■元和y■元，把題目中的y■與x的關(guān)系式、y■與x的關(guān)系式正確寫出來：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）兩種費用相同時，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再對通話時間大于250分或小于250分鐘進行討論.

三、增強學(xué)生信息整理能力

通過對應(yīng)用題文字的理解與疏通，對收集得來的數(shù)據(jù)進行整理，有些題目提供的信息多且雜亂，教學(xué)中應(yīng)教學(xué)生把零碎的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、科學(xué)化，形成一個整體思維，可以結(jié)合簡單的表格、數(shù)軸等圖示，把復(fù)雜的條件分類，從而為分析解決應(yīng)用題提供了理論依據(jù).

例3：A市和B市分別有某種庫存機器12臺和6臺，現(xiàn)決定支援C市10臺機器，D市8臺機器.已知從A市調(diào)運一臺機器到C市的運費為400元，到D市的運費為800元；從B市調(diào)運一臺機器到C市的運費為300元，到D市的運費為500元.

（1）若要求總運費不超過9000元，共有幾種調(diào)運方案？

（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？

這道題題目提供的數(shù)據(jù)多不容易與數(shù)學(xué)模型直接聯(lián)系，處理這類問題時要對數(shù)據(jù)進行分類，畫出表格進行處理就容易.如圖所示：不妨設(shè)A市運往C市為x臺，先讓學(xué)生分析由已知條件填出下表：

填完表格后，必須讓學(xué)生明白此時字母x的取值范圍，再讓學(xué)生建模.本題目是總費用不超過9000元，比較明顯是不等式方面的應(yīng)用題，列出不等關(guān)系就不難了，為了第二步的方便，引入函數(shù)來解更容易.

解：根據(jù)題意得：設(shè)總費用為W，則有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因運費不超過9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

則x=8，9，10，所以有三種調(diào)運方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x=10時，W的值最小，最小值為8600元，此時的調(diào)運方案是：B市運至C村0臺，運至D村6臺，A市運往C市10臺，運往D村2臺，最低總運費為8600元.

實際上，優(yōu)化方案應(yīng)用問題呈現(xiàn)的形式是多種多樣的，但一般是以函數(shù)形式、方程形式和不等式的形式出現(xiàn).選擇方案應(yīng)用題與普通應(yīng)用題相比較，涉及的事物比較多，各事物之間的關(guān)系復(fù)雜，理清事情的思路顯得有些難.這就使得理解題的意義成為解答選擇方案應(yīng)用題的一個難點.突破這個難點的思路有多條，基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰.可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉.文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關(guān)系.也可以重新整理描述事物的順序，使應(yīng)用題的解題脈絡(luò)更清晰.

參考文獻：

[1]尹必磊.方案設(shè)計題的常見類型及解法.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008，9.endprint

摘 要： 本文以幾道經(jīng)常出現(xiàn)的方案選擇問題的應(yīng)用題為例闡述了在應(yīng)用題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.

關(guān)鍵詞： 方案選擇問題 應(yīng)用題教學(xué) 建模能力 信息整理能力

近年來，隨著市場經(jīng)濟的迅速發(fā)展，社會對數(shù)學(xué)的需求并不僅僅是會解答數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)家，而是需要大量善于用數(shù)學(xué)知識和思維方法解決實際問題的各種人才.數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用是教材及近年來各地中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，對于如何開展這類問題的教學(xué)，我談?wù)効捶ā?/p>

一、培養(yǎng)學(xué)生認真讀題的習(xí)慣，增強建模能力

要培養(yǎng)學(xué)生認真讀題，提煉有用條件，抓住關(guān)鍵詞，過好閱讀關(guān)，理解問題的實際背景，分析處理有關(guān)數(shù)據(jù)，把握已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系.審題時，要準確理解關(guān)鍵語句的數(shù)學(xué)意義，再創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，選取基本變量，將文字語言抽象概括成數(shù)學(xué)語言，依據(jù)有關(guān)定義、公理和數(shù)學(xué)知識，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型.

例1：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發(fā)現(xiàn)由于擁擠每分鐘只能通過3人，自己前面還有36人等待通過，通過道口后，還要7分鐘才可以到達學(xué)校.（1）此時，繞道而行，要15分鐘到達學(xué)校.從節(jié)省時間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校，還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常，結(jié)果王老師比擁擠情況下提前6分鐘通過道口，問維持秩序的時間為多少？

這道題的背景來自考生經(jīng)常碰到道口擁擠的問題，這是一道非常簡單的方案優(yōu)化問題.（1）小題需要分別明確兩個方案（過道口和繞行）所用的時間，這是一道簡單的算術(shù)應(yīng)用題.（2）小題關(guān)鍵是有維持秩序和沒有維持秩序“過道口的時間差”，相等關(guān)系是：擁擠情況下王老師通過道口所用時間等于維持持續(xù)的時間加上維持持續(xù)維持好之后前邊的人通過所用的時間，還要加上疏通后比原來提前的時間，這只是一道一元一次方程的應(yīng)用題.

分析：（1）先分別求得通過擁擠的通道和繞道去學(xué)校的時間，比較即可選擇。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以應(yīng)該選擇繞道去學(xué)校.

（2）設(shè)維持秩序的時間x分鐘，如果不維持秩序，王老師要用36÷3=12分鐘才能通過，現(xiàn)在提前6分鐘，說明他只用了12-6=6分鐘，在這6分鐘內(nèi)，花了x分鐘維持秩序，通過3x人，又花了（6-x）分鐘按正常秩序等待，通過了9（6-x）人，共通過36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培養(yǎng)學(xué)生巧用字母表示未知數(shù)的能力

在應(yīng)用題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生準確地用字母表示未知數(shù)的能力是一個重要環(huán)節(jié).有些題目的未知的量不止一個，有的學(xué)生往往不敢下手，這時必須引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)題，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何種方法.

例2：某移動通訊公司開設(shè)兩種業(yè)務(wù)：“全球通”：先繳50元月租費，然后每通話一跳次，再付0.4元；“神州行”：不繳月租費，每通話一跳次，付話費0.6元.請你分析判斷選擇哪一種付費方式更合算？

這是一道一元一次方程相關(guān)的應(yīng)用題也是一次函數(shù)相關(guān)的方案選擇問題的應(yīng)用題，題目的答案不是唯一的，而需要不同的通話時間決定.題目沒有提供準確的數(shù)據(jù)，未知量有三個，所以必須教學(xué)生合理設(shè)未知量，把未知的量先用字母表示.若設(shè)一個月通話x次，兩種方式的費用分別為y■元和y■元，把題目中的y■與x的關(guān)系式、y■與x的關(guān)系式正確寫出來：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）兩種費用相同時，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再對通話時間大于250分或小于250分鐘進行討論.

三、增強學(xué)生信息整理能力

通過對應(yīng)用題文字的理解與疏通，對收集得來的數(shù)據(jù)進行整理，有些題目提供的信息多且雜亂，教學(xué)中應(yīng)教學(xué)生把零碎的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、科學(xué)化，形成一個整體思維，可以結(jié)合簡單的表格、數(shù)軸等圖示，把復(fù)雜的條件分類，從而為分析解決應(yīng)用題提供了理論依據(jù).

例3：A市和B市分別有某種庫存機器12臺和6臺，現(xiàn)決定支援C市10臺機器，D市8臺機器.已知從A市調(diào)運一臺機器到C市的運費為400元，到D市的運費為800元；從B市調(diào)運一臺機器到C市的運費為300元，到D市的運費為500元.

（1）若要求總運費不超過9000元，共有幾種調(diào)運方案？

（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？

這道題題目提供的數(shù)據(jù)多不容易與數(shù)學(xué)模型直接聯(lián)系，處理這類問題時要對數(shù)據(jù)進行分類，畫出表格進行處理就容易.如圖所示：不妨設(shè)A市運往C市為x臺，先讓學(xué)生分析由已知條件填出下表：

填完表格后，必須讓學(xué)生明白此時字母x的取值范圍，再讓學(xué)生建模.本題目是總費用不超過9000元，比較明顯是不等式方面的應(yīng)用題，列出不等關(guān)系就不難了，為了第二步的方便，引入函數(shù)來解更容易.

解：根據(jù)題意得：設(shè)總費用為W，則有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因運費不超過9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

則x=8，9，10，所以有三種調(diào)運方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x=10時，W的值最小，最小值為8600元，此時的調(diào)運方案是：B市運至C村0臺，運至D村6臺，A市運往C市10臺，運往D村2臺，最低總運費為8600元.

實際上，優(yōu)化方案應(yīng)用問題呈現(xiàn)的形式是多種多樣的，但一般是以函數(shù)形式、方程形式和不等式的形式出現(xiàn).選擇方案應(yīng)用題與普通應(yīng)用題相比較，涉及的事物比較多，各事物之間的關(guān)系復(fù)雜，理清事情的思路顯得有些難.這就使得理解題的意義成為解答選擇方案應(yīng)用題的一個難點.突破這個難點的思路有多條，基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰.可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉.文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關(guān)系.也可以重新整理描述事物的順序，使應(yīng)用題的解題脈絡(luò)更清晰.

參考文獻：

[1]尹必磊.方案設(shè)計題的常見類型及解法.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008，9.endprint

摘 要： 本文以幾道經(jīng)常出現(xiàn)的方案選擇問題的應(yīng)用題為例闡述了在應(yīng)用題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.

關(guān)鍵詞： 方案選擇問題 應(yīng)用題教學(xué) 建模能力 信息整理能力

近年來，隨著市場經(jīng)濟的迅速發(fā)展，社會對數(shù)學(xué)的需求并不僅僅是會解答數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)家，而是需要大量善于用數(shù)學(xué)知識和思維方法解決實際問題的各種人才.數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用是教材及近年來各地中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，對于如何開展這類問題的教學(xué)，我談?wù)効捶ā?/p>

一、培養(yǎng)學(xué)生認真讀題的習(xí)慣，增強建模能力

要培養(yǎng)學(xué)生認真讀題，提煉有用條件，抓住關(guān)鍵詞，過好閱讀關(guān)，理解問題的實際背景，分析處理有關(guān)數(shù)據(jù)，把握已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系.審題時，要準確理解關(guān)鍵語句的數(shù)學(xué)意義，再創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，選取基本變量，將文字語言抽象概括成數(shù)學(xué)語言，依據(jù)有關(guān)定義、公理和數(shù)學(xué)知識，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型.

例1：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發(fā)現(xiàn)由于擁擠每分鐘只能通過3人，自己前面還有36人等待通過，通過道口后，還要7分鐘才可以到達學(xué)校.（1）此時，繞道而行，要15分鐘到達學(xué)校.從節(jié)省時間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校，還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常，結(jié)果王老師比擁擠情況下提前6分鐘通過道口，問維持秩序的時間為多少？

這道題的背景來自考生經(jīng)常碰到道口擁擠的問題，這是一道非常簡單的方案優(yōu)化問題.（1）小題需要分別明確兩個方案（過道口和繞行）所用的時間，這是一道簡單的算術(shù)應(yīng)用題.（2）小題關(guān)鍵是有維持秩序和沒有維持秩序“過道口的時間差”，相等關(guān)系是：擁擠情況下王老師通過道口所用時間等于維持持續(xù)的時間加上維持持續(xù)維持好之后前邊的人通過所用的時間，還要加上疏通后比原來提前的時間，這只是一道一元一次方程的應(yīng)用題.

分析：（1）先分別求得通過擁擠的通道和繞道去學(xué)校的時間，比較即可選擇。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以應(yīng)該選擇繞道去學(xué)校.

（2）設(shè)維持秩序的時間x分鐘，如果不維持秩序，王老師要用36÷3=12分鐘才能通過，現(xiàn)在提前6分鐘，說明他只用了12-6=6分鐘，在這6分鐘內(nèi)，花了x分鐘維持秩序，通過3x人，又花了（6-x）分鐘按正常秩序等待，通過了9（6-x）人，共通過36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培養(yǎng)學(xué)生巧用字母表示未知數(shù)的能力

在應(yīng)用題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生準確地用字母表示未知數(shù)的能力是一個重要環(huán)節(jié).有些題目的未知的量不止一個，有的學(xué)生往往不敢下手，這時必須引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)題，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何種方法.

例2：某移動通訊公司開設(shè)兩種業(yè)務(wù)：“全球通”：先繳50元月租費，然后每通話一跳次，再付0.4元；“神州行”：不繳月租費，每通話一跳次，付話費0.6元.請你分析判斷選擇哪一種付費方式更合算？

這是一道一元一次方程相關(guān)的應(yīng)用題也是一次函數(shù)相關(guān)的方案選擇問題的應(yīng)用題，題目的答案不是唯一的，而需要不同的通話時間決定.題目沒有提供準確的數(shù)據(jù)，未知量有三個，所以必須教學(xué)生合理設(shè)未知量，把未知的量先用字母表示.若設(shè)一個月通話x次，兩種方式的費用分別為y■元和y■元，把題目中的y■與x的關(guān)系式、y■與x的關(guān)系式正確寫出來：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）兩種費用相同時，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再對通話時間大于250分或小于250分鐘進行討論.

三、增強學(xué)生信息整理能力

通過對應(yīng)用題文字的理解與疏通，對收集得來的數(shù)據(jù)進行整理，有些題目提供的信息多且雜亂，教學(xué)中應(yīng)教學(xué)生把零碎的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、科學(xué)化，形成一個整體思維，可以結(jié)合簡單的表格、數(shù)軸等圖示，把復(fù)雜的條件分類，從而為分析解決應(yīng)用題提供了理論依據(jù).

例3：A市和B市分別有某種庫存機器12臺和6臺，現(xiàn)決定支援C市10臺機器，D市8臺機器.已知從A市調(diào)運一臺機器到C市的運費為400元，到D市的運費為800元；從B市調(diào)運一臺機器到C市的運費為300元，到D市的運費為500元.

（1）若要求總運費不超過9000元，共有幾種調(diào)運方案？

（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？

這道題題目提供的數(shù)據(jù)多不容易與數(shù)學(xué)模型直接聯(lián)系，處理這類問題時要對數(shù)據(jù)進行分類，畫出表格進行處理就容易.如圖所示：不妨設(shè)A市運往C市為x臺，先讓學(xué)生分析由已知條件填出下表：

填完表格后，必須讓學(xué)生明白此時字母x的取值范圍，再讓學(xué)生建模.本題目是總費用不超過9000元，比較明顯是不等式方面的應(yīng)用題，列出不等關(guān)系就不難了，為了第二步的方便，引入函數(shù)來解更容易.

解：根據(jù)題意得：設(shè)總費用為W，則有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因運費不超過9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

則x=8，9，10，所以有三種調(diào)運方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x=10時，W的值最小，最小值為8600元，此時的調(diào)運方案是：B市運至C村0臺，運至D村6臺，A市運往C市10臺，運往D村2臺，最低總運費為8600元.

實際上，優(yōu)化方案應(yīng)用問題呈現(xiàn)的形式是多種多樣的，但一般是以函數(shù)形式、方程形式和不等式的形式出現(xiàn).選擇方案應(yīng)用題與普通應(yīng)用題相比較，涉及的事物比較多，各事物之間的關(guān)系復(fù)雜，理清事情的思路顯得有些難.這就使得理解題的意義成為解答選擇方案應(yīng)用題的一個難點.突破這個難點的思路有多條，基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰.可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉.文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關(guān)系.也可以重新整理描述事物的順序，使應(yīng)用題的解題脈絡(luò)更清晰.

參考文獻：

[1]尹必磊.方案設(shè)計題的常見類型及解法.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008，9.endprint