馮建梅

摘 要：主要在介紹數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的基礎(chǔ)上，通過具體舉例來體會如何在數(shù)學(xué)課堂上有效指導(dǎo)學(xué)生進行“再創(chuàng)造”，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂；再創(chuàng)造；理論依據(jù)；必要性；策略

在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中普遍存在著這樣的一些現(xiàn)象，對大部分學(xué)生而言，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法仍然習(xí)慣于上課不停地做筆記，到做作業(yè)時，同筆記上的內(nèi)容進行對照，這樣就形成了一種循環(huán)。老師上課講得越多、覆蓋面越廣，則學(xué)生會的就越多，但是一旦脫離了教師，遇上一些富有拓展性或是研究性的問題就顯得力不從心、無從下手，這一現(xiàn)象體現(xiàn)了學(xué)生在系統(tǒng)知識的理解運用能力上還是比較欠缺。因此如何從這樣的一種現(xiàn)狀中擺脫出來，值得我們深思。它需要我們師生共同努力，而在教學(xué)中逐步滲透“再創(chuàng)造”的教學(xué)法則是一種較為合理的方式。

一、數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)的理論依據(jù)

數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”是由世界著名教學(xué)教育權(quán)威弗賴登塔爾提出的，他認(rèn)為：

1.數(shù)學(xué)是最容易創(chuàng)造的一種學(xué)科，它實質(zhì)上是人們常識的系統(tǒng)化，教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學(xué)生，而應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學(xué)生在實踐的過程中，自己去發(fā)現(xiàn)或是“再創(chuàng)造”出各種法則和各種定律。

2.歷史上很多數(shù)學(xué)原理是在世界各個地方獨立發(fā)現(xiàn)的，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進程是如此，個人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進程也是如此，每個人都應(yīng)該在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。

3.每個人有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，因而可達到不同的水平。教師應(yīng)當(dāng)針對各個學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實和思維水平的不同，通過適當(dāng)?shù)膯l(fā)，引導(dǎo)學(xué)生加強反思，使學(xué)生的創(chuàng)造活動由不自覺的狀態(tài)發(fā)展為有意識的活動。

4.“再創(chuàng)造”應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)教育的全過程。數(shù)學(xué)教育的整個過程學(xué)生都應(yīng)該積極參與，教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供廣闊的天地，讓各種不同的思維、不同的方法自由發(fā)展，這樣在數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程中，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的潛力與標(biāo)準(zhǔn)，在教師一定的指導(dǎo)下，抓住機會去鉆研、去探索通向這個標(biāo)準(zhǔn)的道路，從而達到他們力所能及的高度與深度。

另外，從教育學(xué)、心理學(xué)的角度來看，在數(shù)學(xué)教學(xué)中實施“再創(chuàng)造”還有以下幾點好處：

1.學(xué)生通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，便于知識的遷移、能力的發(fā)展，一般來說，還可以保持較長久的記憶。

2.“再創(chuàng)造”包含了發(fā)現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進行學(xué)習(xí)能引起學(xué)生的興趣，并激發(fā)學(xué)生深入探索研究的學(xué)習(xí)動力。

3.“再創(chuàng)造”方式，可以進一步促使人們借助自身的體驗形成這樣的觀念：數(shù)學(xué)是一種人類的活動，數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種人類的活動。

二、教學(xué)中要對學(xué)生進行有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認(rèn)為：“學(xué)一個活動的最好方法是實踐?！边@一提法的目的是強調(diào)教學(xué)的重點從教轉(zhuǎn)向?qū)W，從教師的行為轉(zhuǎn)向?qū)W生的活動。

在“再創(chuàng)造”的過程中，對于學(xué)生各種獨特的解法，要讓他們充分發(fā)展，充分享有“再創(chuàng)造”的自由，同時教師要在適當(dāng)?shù)臅r機引導(dǎo)學(xué)生加強反思，鞏固已經(jīng)獲得的知識，以提高學(xué)生的思維水平，尤其必須有意識地啟發(fā)，使學(xué)生的“創(chuàng)造”活動逐步由不自覺或無目的的狀態(tài)，進而發(fā)展成為有意識、有目的的創(chuàng)造活動，以便盡量促使每個人所能達到的水平盡可能地提高，這也正是有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”的真正含義所在。因為有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”意味著在創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性之間以及在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，達到一種微妙的平衡。

在講解選修1-2類比推理時，類比圓的概念和性質(zhì)，推理球的概念和性質(zhì)時，很多學(xué)生不知從何下手，很是困惑。此時，我問學(xué)生：“大家想想，由圓形怎樣得到球體呢？”學(xué)生異口同聲地說：“圍繞圓的直徑旋轉(zhuǎn)一周可以得到?！蔽矣终f：“那么，圓的這些性質(zhì)隨著圓的旋轉(zhuǎn)成為球的什么性質(zhì)呢？”這一下子激活了學(xué)生的思維，有的還拿著圓在不停地旋轉(zhuǎn)、體會，很快學(xué)生類比得到了球的概念和性質(zhì)。這樣的有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”教學(xué)，不僅讓學(xué)生再創(chuàng)造了知識，還讓學(xué)生體會到遇到問題要尋找事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時教師也較好地完成了教學(xué)任務(wù)。

三、如何有效地對學(xué)生指導(dǎo)“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認(rèn)為，“再創(chuàng)造”教學(xué)就是讓學(xué)生“參與到一種活動中去”。在這整個活動過程中，在教師的有效引導(dǎo)下，學(xué)生以積極、創(chuàng)造的狀態(tài)參與這個活動，感覺到創(chuàng)造的需要，然后進行“再創(chuàng)造”。在這個過程中，教師怎樣有效地指導(dǎo)學(xué)生呢？

1.從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，選擇適當(dāng)契機提出問題，促進學(xué)生橫向與縱向的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”。

在一般的課堂里，教師通常有預(yù)先設(shè)計好的教學(xué)計劃，這樣在實施教學(xué)的過程中，教師可以憑直覺和經(jīng)驗利用班級平時表現(xiàn)的情境，自由地掌握這種情境，使之適合于“再創(chuàng)造”教學(xué)。

如，在教學(xué)必修五圓錐曲線中的拋物線時，有的學(xué)生提出，拋物線的開口由什么決定呢？橢圓的圓扁、雙曲線開口的寬窄都是由離心率決定的，拋物線開口的寬窄也是由離心率決定的嗎？很快很多學(xué)生就否定了，因為根據(jù)拋物線的定義可知所有的拋物線離心率都是1，那是由什么決定的呢？學(xué)生陷入沉思中，此時我提示學(xué)生，初中我們就學(xué)習(xí)過拋物線的有關(guān)知識，是由什么決定拋物線開口呢？很快就有很多學(xué)生受到啟發(fā)，說是由2p（p>0）決定的，2p越大，■越小，開口越大，反之，2p越小，■越大，開口越窄。此時，學(xué)生露出了會心的笑容。

2.教師要及時地肯定和鼓勵學(xué)生自己的成果。這顯然是“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)方式中的一條基本原則。教師是否肯定并鼓勵學(xué)生自己的成果，是反映教師對“再創(chuàng)造”原理的認(rèn)識、理解程度的試金石，也是能否真正貫徹“再創(chuàng)造”原理的試金石。在承認(rèn)和鼓勵學(xué)生自己成果的同時，教師明顯地從傳統(tǒng)的“傳授”地位上退隱下來，從而更有力地鼓舞了學(xué)生的主動參與性。

已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點），求m的值。

有一個學(xué)生的解法很有新意，是在原有知識的基礎(chǔ)上再創(chuàng)造來解決問題的。他是這樣講解的：我們之前學(xué)習(xí)直線系方程和圓系方程時有這樣的結(jié)論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設(shè)為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿造上述結(jié)論設(shè)為：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標(biāo)為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；聯(lián)立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩講解獲得了同學(xué)和老師的掌聲，在這個過程中，老師與同學(xué)，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越來越多的學(xué)生會更積極地參與到數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教學(xué)體系——學(xué)案教學(xué)

這里的相互作用不僅體現(xiàn)在一種班級與教師關(guān)系的意義上，甚至可能更多地體現(xiàn)在學(xué)生與學(xué)生之間的一種相互關(guān)系上，讓幕后的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。

“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”教學(xué)能夠真正地將課堂教學(xué)中心由“教”轉(zhuǎn)到“學(xué)”，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，他們在課堂上通過討論、爭辯，使得知識越來越清晰，老師也能更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生中集中的問題，采取針對性的措施。

總之，實施數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)新精神，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讓我們繼續(xù)踐行，探索其中的奧妙。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué).上海教育出版社，1995-01.

[2]邱學(xué)華，蘇春景.邱學(xué)華與嘗試教學(xué)法.中國青年出版社，2002.

（作者單位 山西省太原市并州東街2號太原市實驗中學(xué)）

？誗編輯 張珍珍

已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點），求m的值。

有一個學(xué)生的解法很有新意，是在原有知識的基礎(chǔ)上再創(chuàng)造來解決問題的。他是這樣講解的：我們之前學(xué)習(xí)直線系方程和圓系方程時有這樣的結(jié)論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設(shè)為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿造上述結(jié)論設(shè)為：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標(biāo)為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；聯(lián)立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩講解獲得了同學(xué)和老師的掌聲，在這個過程中，老師與同學(xué)，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越來越多的學(xué)生會更積極地參與到數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教學(xué)體系——學(xué)案教學(xué)

這里的相互作用不僅體現(xiàn)在一種班級與教師關(guān)系的意義上，甚至可能更多地體現(xiàn)在學(xué)生與學(xué)生之間的一種相互關(guān)系上，讓幕后的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。

“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”教學(xué)能夠真正地將課堂教學(xué)中心由“教”轉(zhuǎn)到“學(xué)”，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，他們在課堂上通過討論、爭辯，使得知識越來越清晰，老師也能更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生中集中的問題，采取針對性的措施。

總之，實施數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)新精神，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讓我們繼續(xù)踐行，探索其中的奧妙。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué).上海教育出版社，1995-01.

[2]邱學(xué)華，蘇春景.邱學(xué)華與嘗試教學(xué)法.中國青年出版社，2002.

（作者單位 山西省太原市并州東街2號太原市實驗中學(xué)）

？誗編輯 張珍珍

已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點），求m的值。

有一個學(xué)生的解法很有新意，是在原有知識的基礎(chǔ)上再創(chuàng)造來解決問題的。他是這樣講解的：我們之前學(xué)習(xí)直線系方程和圓系方程時有這樣的結(jié)論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設(shè)為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿造上述結(jié)論設(shè)為：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標(biāo)為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；聯(lián)立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩講解獲得了同學(xué)和老師的掌聲，在這個過程中，老師與同學(xué)，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越來越多的學(xué)生會更積極地參與到數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教學(xué)體系——學(xué)案教學(xué)

這里的相互作用不僅體現(xiàn)在一種班級與教師關(guān)系的意義上，甚至可能更多地體現(xiàn)在學(xué)生與學(xué)生之間的一種相互關(guān)系上，讓幕后的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。

“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”教學(xué)能夠真正地將課堂教學(xué)中心由“教”轉(zhuǎn)到“學(xué)”，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，他們在課堂上通過討論、爭辯，使得知識越來越清晰，老師也能更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生中集中的問題，采取針對性的措施。

總之，實施數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)新精神，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讓我們繼續(xù)踐行，探索其中的奧妙。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué).上海教育出版社，1995-01.

[2]邱學(xué)華，蘇春景.邱學(xué)華與嘗試教學(xué)法.中國青年出版社，2002.

（作者單位 山西省太原市并州東街2號太原市實驗中學(xué)）

？誗編輯 張珍珍