段金怡 丁彥欽 李睿

摘要：數(shù)列求和在高考中占有很重要的地位，其中，出現(xiàn)頻率較高的是運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法來解題。本文介紹的運(yùn)用錯(cuò)位相減求和的解決方法，是從總體出發(fā)，縷清思路，明確步驟，減少步驟，降低出錯(cuò)率，從而使問題得以快速準(zhǔn)確地解決。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；錯(cuò)位相減；方法總結(jié)

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)行高中教材中，只對等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行了計(jì)算推導(dǎo)，而數(shù)列種類繁多，形式復(fù)雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。很多同學(xué)遇到數(shù)列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學(xué)把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時(shí)間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯(cuò)位相減是一個(gè)比較重要的內(nèi)容，也是一個(gè)及其有效的解決數(shù)列求和的簡便方法，但是由于它的計(jì)算量比較大，同時(shí)要反復(fù)列出幾個(gè)式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導(dǎo)致一些同學(xué)放棄或者只計(jì)算其中的一部分。實(shí)際上，通過分層次練習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，并找到規(guī)律，這類問題的求解會變得相當(dāng)?shù)暮唵巍?/p>

一、錯(cuò)位相減理論分析

錯(cuò)位相減是高中數(shù)學(xué)教材中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一種思想方法，它在解決由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積所構(gòu)成的數(shù)列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨(dú)特性與實(shí)用性，并且與課本知識緊密結(jié)合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以把它轉(zhuǎn)化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯(cuò)位相減，就得到了一個(gè)含有等比數(shù)列的等式，細(xì)心計(jì)算，便不難求解。

二、錯(cuò)位相減題目舉例

首先，我們先看一道最簡單的例題，從簡單題中得到啟發(fā)。

例1.已知數(shù)列an=n·λnλ，求數(shù)列的和。

解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1）λn-1+nλn，JY①

兩邊同時(shí)乘以λ，得

λTn=λ2+2λ3+…+n-1）λn+nλn+1，JY②

①-②，得

JZ1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，

JZ∴1-λ）Tn=SXλ1-λn）1-λSX）-nλn+1，

JZ∴Tn=SXλ1-λn）1-λ）2SX）-SXnλn+11-λSX）.

這是一個(gè)最簡單的錯(cuò)位相減，同時(shí)也是解決錯(cuò)位相減問題的一個(gè)基礎(chǔ)題目。

下面，我們來看一道有些麻煩的題目。

例二.an=1-2n）·2n，求Sn.

解：由題意知，JZan=（1-2n）·2n，

JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，

即

DKSn=（1-2）·2+（1-4）·22+（1-6）·23+…+（1-2n）·2nDK）JY①

①×2得

DK2Sn=（1-2）·22+（1-4）·23+…+（3-2n）·2n+（1-2n）·2n+1DK）JY②

②-①得

JZSn=2+2·22+23+…+2·2n-（2n-1）·2n+1

JZ=2+2·SX4（1-2n-1）1-2SX）-（2n-1）2n+1

JZ=（1-n）2n+2+2n+1-6

例二是一個(gè)具體化的錯(cuò)位相減問題，對于這些直接列出的題目，大多數(shù)的學(xué)生都可以做出來，出錯(cuò)率也比較的低，但是，在如今這樣一個(gè)考驗(yàn)學(xué)生綜合素質(zhì)=的社會中，我們遇到的大多都是多個(gè)知識點(diǎn)結(jié)合的題目。下面我們通過一道高考題來進(jìn)一步認(rèn)識一下錯(cuò)位相減。

例三.已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)bn=（4-an）qn-1q≠0，n∈求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

解：（1）設(shè){an}的公差為d，則由已知得

JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB）即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB）

解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1）=4-n.

（2）由（1）知，bn=n·qn-1，

于是JZSn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1，

若q≠1，上式兩邊同時(shí)乘以q.

JZqSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+n·qn-1，

兩式相減得：

JZ（1-q）Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n·qn=SX1-qn1-qSX）-n·qn.

JZ∴Sn=SX1-qn（1-q）2SX）-SXn·qn1-qSX）=SXn·qn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）.

若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1）2SX），

JZ∴Sn=JB{HL2SXn（n+1）2SX）（q=1）

SXnqn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）q≠1）HL）JB）

針對這個(gè)問題，許多同學(xué)容易忽視對于q的討論致使題目出錯(cuò)。這個(gè)問題的關(guān)鍵是對于等比數(shù)列的定義的認(rèn)識，若是忽視了等比數(shù)列定義中對于公比的界定，則很容易導(dǎo)致問題出錯(cuò)。我們回顧例一可以發(fā)現(xiàn)，在例一中我們對公比進(jìn)行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進(jìn)行討論。

三.方法總結(jié)

A.分析題型，確定類型。錯(cuò)位相減問題具有很強(qiáng)的規(guī)律性，當(dāng)然也適應(yīng)特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯(cuò)位相減法是否使用。首先，確定是否為數(shù)列類型的題目；其次再確定是否為求和問題；最后，通過觀察通項(xiàng)的類型，確定是否可以使用錯(cuò)位相減法解決問題。錯(cuò)位相減法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的有效結(jié)合，即

JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列。

B.錯(cuò)位相減的做題方法

以例1為例，即

Tn=λ+2λ2+…+（n-1）λn-1+nλnJY①

λTn=λ2+2λ3+…+（n-1）λn+nλn+1JY②

（1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

1.①×公比λ得②式（或乘以公比的倒數(shù)，解題方法類似）；

2.①-②得③（③式為：留①頭，減②尾，中間對應(yīng)次數(shù)相減的同系數(shù)）；

3.③里面含有n+1項(xiàng)；

4.按照等比數(shù)列求和方法求③式的前n項(xiàng)的和，減去第n-1項(xiàng)；

5.③式兩邊同時(shí)除以SX1λ-1SX）得最后的結(jié)果。

在使用錯(cuò)位相減求和時(shí)，一定要善于識別這類題目，準(zhǔn)確的識別是正確解題的關(guān)鍵。同時(shí)要十分注意等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形，此外，一定要注意在書寫的時(shí)候注意將①②兩式的“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，即將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對齊，這樣有一個(gè)式子（即式①）前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子（即式②）后面就會多出一項(xiàng)，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，剩下的n-1項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列。當(dāng)然認(rèn)真細(xì)致，悉心體會，記住規(guī)律，耐住性子也是相當(dāng)重要的。

“知行統(tǒng)一”的重要性大家應(yīng)該都知道，當(dāng)我們記住了理論的知識，勤加練習(xí)，反復(fù)運(yùn)用才會使我們事倍功半，恰巧，錯(cuò)位相減正需要我們的大量練習(xí)，在不斷的練習(xí)，反復(fù)的刺激我們的記憶細(xì)胞下才有可能使我們在做題的時(shí)理論練習(xí)實(shí)際，減少出錯(cuò)率。（作者單位：1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；2.河南師范大學(xué)商學(xué)院；3.河南師范大學(xué)政治與公共管理學(xué)院）