黃曰東

摘 要：華羅庚先生說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！睌?shù)形結(jié)合，巧妙地將數(shù)量關(guān)系、空間形式有機(jī)結(jié)合，分析代數(shù)意義的同時又揭示幾何意義，有助于把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;問題;參數(shù)

數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是用“以數(shù)輔形”“以型輔數(shù)”的方式將圖形關(guān)系、幾何位置、空間形式、數(shù)量關(guān)系綜合起來使得問題具體化、簡單化。本文結(jié)合筆者多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，闡述了數(shù)形結(jié)合思想的重要性和具體措施，使得學(xué)生提高自身對數(shù)形結(jié)合的運用，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想的意義

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！薄皵?shù)”“形”亦是最先研究的數(shù)學(xué)對象，正確地運用數(shù)形結(jié)合思想很重要。

（1）有利于數(shù)學(xué)概念的理解。數(shù)學(xué)概念往往過于繁雜、單調(diào)、難理解，利用數(shù)形結(jié)合可以深化學(xué)生對概念的解讀。一是能優(yōu)化學(xué)生對知識體系的梳理，數(shù)形結(jié)合使得學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化，有益于對知識的運用。二是化抽象為具體，運用數(shù)學(xué)結(jié)合，為數(shù)學(xué)概念賦予文字、圖形解釋，有助于學(xué)生對知識的理解，讓學(xué)生易于理解和接受。

（2）有助于解決數(shù)學(xué)問題。在做數(shù)學(xué)題目時，學(xué)生常常找不到突破點，對于有難度的大題、思考題常常露怯，這也是許多學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合不一定是解題方法，但可以作為很好的思維策略，在解題受阻時可以成為很好的解題突破口。很大程度上，數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的導(dǎo)向。學(xué)生具有個體性，有的學(xué)生思維能力強(qiáng)思考問題時間短，有的學(xué)生則比較弱思維鏈常常冗雜且無序性，數(shù)形結(jié)合能很好地將問題直觀化、簡單化、模型化，有利于形成圖形、數(shù)式模塊，提高學(xué)生整體的解題速度，有助于思維能力的提高。做題時很多題目都是通過直觀的圖形得到啟發(fā)，然后稍加計算推導(dǎo)解決問題的，結(jié)合了豐富的直觀圖形實現(xiàn)了由直觀形象到抽象邏輯思維的飛躍，也鍛煉了學(xué)生將復(fù)雜問題簡化為直觀形象思維的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的直覺思維。

二、 運用數(shù)形結(jié)合需注意的問題

（1）合理設(shè)置參數(shù)，實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是聯(lián)系圖像和數(shù)學(xué)語言，靈活實現(xiàn)幾何問題數(shù)化或代數(shù)問題幾何化。參數(shù)能刻畫事物變化的狀態(tài)，揭示變化因素內(nèi)在聯(lián)系，所以恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)參數(shù)設(shè)置參數(shù)，利用圖形可以簡化解題過程。

【例題】已知正四棱錐S-ABCD（如圖1）的側(cè)面與底面的夾角為？茁，相鄰兩側(cè)面的夾角為a，求證：cosa=-cos2？茁。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

【分析】要證明cosa=-cos2？茁，就先要求出a、？茁的余弦，在圖形中可以連AC、BD交于O，連SO;取BC中點F，連SF、OF;作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO= ？茁，∠DEB=a。這時關(guān)鍵就是設(shè)置參數(shù)，根據(jù)圖形分析，可以設(shè)BC=a，表示出SF、SC，又因為BE=■，而BE、SF、SC都有含a、？茁式子表示，最后根據(jù)余弦定理就可證明cosa=-cos2？茁。

要注意的是：很多時候，參數(shù)只是個輔助，設(shè)而不求。所以，不要害怕設(shè)置參數(shù)怕解不出來。圖像是突破口，設(shè)哪些因素為參數(shù)可以通過圖形分析出來，要把握好兩者的結(jié)合。

（2）確定參數(shù)的取值范圍。常常解題要用到參數(shù)，但切記在設(shè)置參數(shù)的同時就要把參數(shù)取值范圍給寫出來，以免解出的答案不符合值域要求。

【例題】若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。

【分析】首先注意的就是參數(shù)x是有范圍的，3-x>0-x2+3x-m>0-x2+3x-m=3-x即得出3-x>0（x-2）2=1-m，此時可以設(shè)新的函數(shù)y，y1=（x-2）2，x∈（0，3）和y2=1-m，并畫出圖2，通過圖形可以直觀地看出有兩種情形：當(dāng)1-m=0，或當(dāng)1≤1-m<4，就能求出m的范圍。

（3）明確代數(shù)特征、代數(shù)概念、幾何意義。明確概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征十分重要，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論有一定的分析和理解能力。教師要有機(jī)結(jié)合和利用，注重概念與圖形的綜合。

例如在學(xué)習(xí)集合的時候，為了讓學(xué)生更好地理解，我先介紹了一種表示方法維恩（Venn）圖，用封閉曲線的內(nèi)部表示集合，先讓學(xué)生畫出兩封閉曲線存在的位置關(guān)系圖。無疑有四種，如圖3。接著，引導(dǎo)他們用集合語言加以描述，發(fā)現(xiàn)①沒有公共的部分，即集合A、B沒有共同的元素;②有公共的部分，即集合A、B有共同的元素;③A完全在B的內(nèi)部;④A與B重合，即集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們把集合A叫做集合B的子集。通過維恩（Venn）圖的直觀表示，學(xué)生就能理解一些抽象概念，接著再用相似的方法介紹“子集”“真子集”“集合相等”等概念，就使學(xué)生體會了數(shù)形結(jié)合的思想。

本文主要講述的是“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”的數(shù)形結(jié)合思想，當(dāng)然還有其他解題思維方法如函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。總之，數(shù)學(xué)課堂要求我們教師要不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，多方面培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)而提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

（江蘇省射陽縣高級中學(xué)）