林昭濤

摘 要：數(shù)列試題的講解不僅在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，同時(shí)在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中依然有一定的指導(dǎo)價(jià)值?？v觀最近幾年來，全國各地的高考數(shù)學(xué)試題的構(gòu)成，數(shù)列知識(shí)的考察已成為其主要考點(diǎn)之一。但在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)有很大一部分學(xué)生對(duì)數(shù)列試題的解題手足無措，覺得無從下手，常常望而生畏。但數(shù)列知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)類似，經(jīng)探索亦能總結(jié)出具有針對(duì)性的解題規(guī)律。本文主要探討了高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧，旨在為學(xué)生提供一定的學(xué)習(xí)指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)列 解題 技巧

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）04（c）-0085-01

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列試題解題方法與技巧的講授一直以來都是許多數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)研究的問題，目前雖已有部分研究者對(duì)高中數(shù)列試題的解題展開了研究，但大多數(shù)研究方式均是就題論題的形式，并沒有較全面系統(tǒng)地分析解題的規(guī)律與技巧。以下首先介紹了高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)的教學(xué)地位，然后分析了數(shù)列問題的解題策略。

1 數(shù)列知識(shí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要地位

數(shù)列知識(shí)在教材中是一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)，在高中數(shù)學(xué)教材中有其重要的地位?；谥R(shí)聯(lián)系的方面而言，數(shù)列知識(shí)屬較多數(shù)學(xué)知識(shí)的交叉點(diǎn)，許多綜合性習(xí)題均能以數(shù)列作為背景，考察學(xué)生對(duì)各方面數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，不等式、函數(shù)、方程等知識(shí)的考察均能與數(shù)列進(jìn)行緊密結(jié)合。包括學(xué)生今后進(jìn)入大學(xué)所學(xué)到的極限等方面的內(nèi)容同樣也與數(shù)列知識(shí)有一定的聯(lián)系。數(shù)列知識(shí)屬于離散數(shù)學(xué)的范疇，它同樣是一種較為特殊的函數(shù)表現(xiàn)，在高中階段，學(xué)生掌握了完整的數(shù)列知識(shí)能夠?yàn)榻窈髮W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2 數(shù)列試題的解題方法與技巧研究

分析近幾年來高考試卷中對(duì)數(shù)列知識(shí)考查的特點(diǎn)，通常是以其基本概念、性質(zhì)作為切入口，考查與數(shù)列知識(shí)相交叉的部分內(nèi)容，旨在判定學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)綜合知識(shí)的掌握。以下主要總結(jié)不同類型數(shù)列試題的解題策略。

2.1 基礎(chǔ)概念、性質(zhì)的考察

（1）通項(xiàng)、求和公式的直接運(yùn)用。針對(duì)此類習(xí)題，通常沒有一定的技巧，學(xué)生僅需熟記相關(guān)公式，代入運(yùn)用即可。以11年天津文科數(shù)學(xué)卷中的11題為例。

已知為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且n，若，求S10。

分析：據(jù)已知條件分析，可知結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式與其前n項(xiàng)和求和公式，可將該數(shù)列的首項(xiàng)與公差求出，根據(jù)已知條件，將求出結(jié)果代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式中，即可求出S10的值。

此類習(xí)題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基本概念及公式的掌握，因此，老師在教學(xué)過程中需要強(qiáng)化對(duì)概念知識(shí)的講授，深化學(xué)生知識(shí)的積累。

（2）性質(zhì)的靈活考查。在高考數(shù)學(xué)試卷的基礎(chǔ)題中，常常以變換說法的形式，來考查學(xué)生對(duì)數(shù)列性質(zhì)的掌握。以11年重慶地區(qū)的數(shù)學(xué)高考卷理科第一題為例。

已知在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37，則求a2+a4+a6+a8。

我們知道等差及等比數(shù)列有這樣一個(gè)性質(zhì)，即當(dāng)m+n=p+q時(shí)，則可得出：

據(jù)題目，我們不難發(fā)現(xiàn)3+7=4+6=2+8，因此可以將以上性質(zhì)應(yīng)用于解題中，得出a2+a4+a6+a8=2（a3+a7）=2*37=74.此題主要考查學(xué)生對(duì)基本數(shù)列性質(zhì)知識(shí)的理解，老師在教學(xué)過程中需要注重對(duì)性質(zhì)來源的推導(dǎo)與講解，注重學(xué)生對(duì)性質(zhì)的理解。

2.2 通項(xiàng)公式及方法考查

在近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中，針對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的考察亦屬較為常見的題型，數(shù)列求和一直以來都是數(shù)列知識(shí)講授中的重點(diǎn)內(nèi)容，同樣也是必考點(diǎn)之一。一般數(shù)列求和的方法包括錯(cuò)位相減法、分組求和法與合并求和法。以下主要分別介紹此三種有效的解題方法。

（1）錯(cuò)位相減法。此種方法在近幾年來的高考試題中均有所涉及，它主要是在推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式中運(yùn)用的一般方法。通常此種解題方法主要運(yùn)用于諸如{等差數(shù)列·等比數(shù)列}數(shù)列前n項(xiàng)和的求和中。

若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）。

①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

②求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn。

分析此類習(xí)題的特點(diǎn)為其所求數(shù)列是由等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘的求和類型，此時(shí)便可運(yùn)用錯(cuò)位相減法，首先求出等比數(shù)列an的首項(xiàng)、公比，然后表示出其等比公式，得出an=。然后便可得出Tn的表達(dá)式，據(jù)表達(dá)式特征將3Tn表達(dá)出來，并采取錯(cuò)位相減法，將兩式相減，得出

Tn=≥

由于n=1也亦滿足上式，則可得出n的范圍為N*。錯(cuò)位相減法通常適用于{等差數(shù)列·等比數(shù)列}數(shù)列前n項(xiàng)和的求和中，因此，在課堂講授時(shí)，老師需要注重對(duì)學(xué)生解題思路的引導(dǎo)，總結(jié)出一般規(guī)律，讓學(xué)生看到類似的習(xí)題便能馬上想到對(duì)應(yīng)的解題方法。

（2）分組法求和。在數(shù)列試題考察中，有一類數(shù)列既不屬于等差數(shù)列的范疇，亦不屬于等比數(shù)列，但若將其拆分，可以將其劃分為幾個(gè)不同的等差數(shù)列或等比數(shù)列的組成，針對(duì)此類數(shù)列的求和，一般選取分組求和法。將其拆分為對(duì)應(yīng)易求和的數(shù)列，分別求和，最終將其合并。

（3）合并法求和。在數(shù)列試題中，通常存在一些較為特殊的數(shù)列類型，通過將其中某些項(xiàng)的整合，便可發(fā)掘其計(jì)算的特殊性，因此，在針對(duì)特殊數(shù)列的求和時(shí)，老師需引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的組合項(xiàng)，首先求出具備特殊性質(zhì)各項(xiàng)的和，然后整體求和，將題目化難為易。

2.3 經(jīng)典數(shù)列的文化考查

新課改的理念要求老師在數(shù)學(xué)課程講授中灌輸數(shù)學(xué)在人類文化發(fā)展中的主要作用，幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀念。同樣針對(duì)數(shù)列試題的講授而言，也必須體現(xiàn)其文化價(jià)值。在數(shù)列知識(shí)講授的部分亦有許多蘊(yùn)含著較深數(shù)學(xué)文化背景的研究題目。諸如楊輝三角、斐波那契數(shù)列等。因此，在數(shù)列習(xí)題專題的講授過程中，老師也需要將此類習(xí)題進(jìn)行歸納講授，幫助學(xué)生建立正確的解題思維。

3 結(jié)語

綜上所述，數(shù)列知識(shí)的考察作為當(dāng)前高考考查的重點(diǎn)，亦作為高中數(shù)學(xué)課堂知識(shí)講授中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，為了克服學(xué)生的畏難心理，提高數(shù)列課程教學(xué)的效率，為學(xué)生今后解題提供一定的指導(dǎo)，在課堂教學(xué)中，老師需要注重對(duì)數(shù)列試題解題方法與技巧的講授，針對(duì)不同的習(xí)題類型，選取不同的解題方法，將常規(guī)的錯(cuò)位相減法、分組法求和、合并法求和的針對(duì)性數(shù)列求和進(jìn)行歸納與總結(jié)，讓學(xué)生能夠在閱讀完題干后迅速聯(lián)想到有效的解題方法，提高解題的效率。

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