許冰彬

【摘 要】“形”和“數(shù)”是數(shù)學(xué)大廈的基石，“形”又是構(gòu)成幾何的素材。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一，充分體現(xiàn)了幾何直觀的價(jià)值。而幾何直觀的形成需要一個(gè)逐步的過程，尤其在小學(xué)階段應(yīng)該依托圖形的引導(dǎo)和構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

【關(guān)鍵詞】“圖導(dǎo)” “圖構(gòu)” 幾何直觀 新視域

圖形在我們生活中已占有越來越重要的地位。在教學(xué)中，教師應(yīng)該通過對(duì)數(shù)學(xué)圖形的導(dǎo)學(xué)、分析和構(gòu)造，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)使用圖形的意識(shí)和習(xí)慣，從而有效理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

一、“圖導(dǎo)”——打好幾何直觀的基礎(chǔ)

“圖導(dǎo)”就是根據(jù)教材中提供的圖，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)服務(wù)。

（一）強(qiáng)化用圖意識(shí)，建立抽象與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系

表象是幾何直觀思維的基礎(chǔ)元素，學(xué)生大腦中的表象越豐富，越容易抓住問題的本質(zhì)。例如，教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體”單元，其中第34頁的思考題（改編后）：將邊長為3的紅色正方體分割成邊長為1的小正方體。分割后，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個(gè)？可以通過多媒體演示讓學(xué)生直觀感受一面、二面、三面為紅色的正方體分別在原正方體上所處的不同位置，引導(dǎo)學(xué)生分別以正方體的頂點(diǎn)、面、棱長為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類計(jì)數(shù)。通過對(duì)實(shí)物、模型、圖形的觀察、拼擺等活動(dòng)，幫助學(xué)生積累豐富的幾何表象。

（二）善用讀圖能力，實(shí)現(xiàn)表象與言語的轉(zhuǎn)換

幾何直觀要求將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形有機(jī)地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)表象系統(tǒng)與言語系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。例如，蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學(xué)例題（小明家和小芳家分別在學(xué)校的西面和東面。小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，他倆同時(shí)從家里出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過4分鐘兩人在校門口相遇，他們兩家相距多少米？）時(shí)，學(xué)生意識(shí)到題目中的信息紛雜，產(chǎn)生了畫圖或列表的需要。學(xué)生畫出線段圖后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從畫出的圖中分析數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。通過“看”圖“想”事，突出學(xué)生的思維過程；再由圖“說”理，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、“圖構(gòu)”——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的突破口

幾何直觀可以形象地描述幾何特征或數(shù)學(xué)問題，借助直觀領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，誘發(fā)空間聯(lián)想，從而揭示解題思路。因此，如何構(gòu)建一個(gè)合理并有啟發(fā)性的“圖”顯得非常重要。在教學(xué)中，教師應(yīng)從用“圖”導(dǎo)學(xué)逐步走向引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)“圖”。

（一）關(guān)注運(yùn)動(dòng)想象，貫穿表征與概念的統(tǒng)一

幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何也是整個(gè)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它既是學(xué)生學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的方法。

1.以圖形變換為主，拓展圖像表征的深度。

在教學(xué)中，最基本的圖形是軸對(duì)稱圖形，如圓、正多邊形、長方形、菱形等。在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究不對(duì)稱圖形時(shí)，往往可以運(yùn)用這些軸對(duì)稱圖形。例如，教學(xué)蘇教版六下《圓柱和圓錐》一課時(shí)，練習(xí)中有這樣一道題：

■

矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以形成錐體，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體。圖形平移、旋轉(zhuǎn)，可以使得“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”。借助變換為主的圖形教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知過程，培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用變式圖形思考問題的能力。

2.以想象聯(lián)想為主，提升圖形表征的高度。

聯(lián)想和想象是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主渠道，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五下《圓的面積》一課中，教材分別將圓分割為16份和64份，教師可以利用多媒體演示，將剪開后拼成的圖形想象成一個(gè)近似的長方形，利用長方形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式。在學(xué)習(xí)過程中，既可以溝通長方形和圓形的聯(lián)系，也能夠發(fā)揮學(xué)生對(duì)拼接后圖形的想象并滲透極限思想。

（二）巧于構(gòu)造圖形，尋找代數(shù)與幾何的平衡

笛卡爾創(chuàng)造了頗具直觀意義的數(shù)學(xué)工具——直角坐標(biāo)系，歐拉化抽象為直觀的數(shù)學(xué)圖（用點(diǎn)和線畫出網(wǎng)絡(luò)狀圖）解決了哥尼斯堡七橋問題。構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹薪閳D形，將抽象的代數(shù)問題幾何化，問題就會(huì)簡易化。

1.抓住問題的幾何特征，突破解題難點(diǎn)。

日常解題要尋找代數(shù)問題的幾何表征，對(duì)于數(shù)學(xué)思考是有效的，既能實(shí)現(xiàn)問題形式化的表達(dá)，又強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，就可以打開數(shù)學(xué)模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實(shí)現(xiàn)解題突破和解題優(yōu)化。例如，教學(xué)人教版五下“統(tǒng)計(jì)”單元中《打電話》一課時(shí)，出示下題：如果你是老師，有件緊急事情要用打電話的方式通知同學(xué)，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時(shí)間，能使多少人收到通知？

■

教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用線段、點(diǎn)等圖形來描述題目信息，從而完成設(shè)計(jì)方案。從上圖中可以清楚地看出：1分鐘通知1個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍。通過構(gòu)造圖，可以把題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡明直觀地呈現(xiàn)出來，并能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣的教學(xué)不僅能解決實(shí)際的問題，還可以借助圖形教會(huì)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

2.數(shù)形有效結(jié)合，提升思維深度。

借助幾何直觀，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的理解，優(yōu)化解題過程。學(xué)生的幾何直觀能力增強(qiáng)了，對(duì)其提高數(shù)學(xué)理解能力有很大的幫助。例如，教學(xué)蘇教版六下《解決問題的策略》一課，計(jì)算“■+■+■+■”。

■

解題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出一個(gè)邊長為1的正方形（如上圖），要計(jì)算的結(jié)果正好就是正方形的一部分面積，根據(jù)圖形的引導(dǎo)，學(xué)生很容易就能得出計(jì)算的結(jié)果。計(jì)算題和圖形看似沒有任何關(guān)系，但將分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成圖形表示后，不僅避開了復(fù)雜的運(yùn)算，還提升了學(xué)生思維的深度，將數(shù)與形更好地結(jié)合了起來。

我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，在教學(xué)中，圖形是學(xué)生思維的腳手架。同時(shí)，我們也應(yīng)該注意到，由數(shù)轉(zhuǎn)化成形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。圖形的導(dǎo)學(xué)可以為學(xué)生形成幾何直觀能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而圖形的構(gòu)建從另一個(gè)方面體現(xiàn)了幾何直觀方法的實(shí)際運(yùn)用，兩者的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中得到了完美的呈現(xiàn)。因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該行進(jìn)在“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”的路上，通過適度的“圖導(dǎo)”和巧妙的“圖構(gòu)”，適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮圖形的教學(xué)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學(xué)校第一附屬小學(xué)教育集團(tuán)）

【摘 要】“形”和“數(shù)”是數(shù)學(xué)大廈的基石，“形”又是構(gòu)成幾何的素材?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一，充分體現(xiàn)了幾何直觀的價(jià)值。而幾何直觀的形成需要一個(gè)逐步的過程，尤其在小學(xué)階段應(yīng)該依托圖形的引導(dǎo)和構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

【關(guān)鍵詞】“圖導(dǎo)” “圖構(gòu)” 幾何直觀 新視域

圖形在我們生活中已占有越來越重要的地位。在教學(xué)中，教師應(yīng)該通過對(duì)數(shù)學(xué)圖形的導(dǎo)學(xué)、分析和構(gòu)造，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)使用圖形的意識(shí)和習(xí)慣，從而有效理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

一、“圖導(dǎo)”——打好幾何直觀的基礎(chǔ)

“圖導(dǎo)”就是根據(jù)教材中提供的圖，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)服務(wù)。

（一）強(qiáng)化用圖意識(shí)，建立抽象與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系

表象是幾何直觀思維的基礎(chǔ)元素，學(xué)生大腦中的表象越豐富，越容易抓住問題的本質(zhì)。例如，教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體”單元，其中第34頁的思考題（改編后）：將邊長為3的紅色正方體分割成邊長為1的小正方體。分割后，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個(gè)？可以通過多媒體演示讓學(xué)生直觀感受一面、二面、三面為紅色的正方體分別在原正方體上所處的不同位置，引導(dǎo)學(xué)生分別以正方體的頂點(diǎn)、面、棱長為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類計(jì)數(shù)。通過對(duì)實(shí)物、模型、圖形的觀察、拼擺等活動(dòng)，幫助學(xué)生積累豐富的幾何表象。

（二）善用讀圖能力，實(shí)現(xiàn)表象與言語的轉(zhuǎn)換

幾何直觀要求將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形有機(jī)地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)表象系統(tǒng)與言語系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。例如，蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學(xué)例題（小明家和小芳家分別在學(xué)校的西面和東面。小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，他倆同時(shí)從家里出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過4分鐘兩人在校門口相遇，他們兩家相距多少米？）時(shí)，學(xué)生意識(shí)到題目中的信息紛雜，產(chǎn)生了畫圖或列表的需要。學(xué)生畫出線段圖后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從畫出的圖中分析數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。通過“看”圖“想”事，突出學(xué)生的思維過程；再由圖“說”理，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、“圖構(gòu)”——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的突破口

幾何直觀可以形象地描述幾何特征或數(shù)學(xué)問題，借助直觀領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，誘發(fā)空間聯(lián)想，從而揭示解題思路。因此，如何構(gòu)建一個(gè)合理并有啟發(fā)性的“圖”顯得非常重要。在教學(xué)中，教師應(yīng)從用“圖”導(dǎo)學(xué)逐步走向引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)“圖”。

（一）關(guān)注運(yùn)動(dòng)想象，貫穿表征與概念的統(tǒng)一

幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何也是整個(gè)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它既是學(xué)生學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的方法。

1.以圖形變換為主，拓展圖像表征的深度。

在教學(xué)中，最基本的圖形是軸對(duì)稱圖形，如圓、正多邊形、長方形、菱形等。在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究不對(duì)稱圖形時(shí)，往往可以運(yùn)用這些軸對(duì)稱圖形。例如，教學(xué)蘇教版六下《圓柱和圓錐》一課時(shí)，練習(xí)中有這樣一道題：

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矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以形成錐體，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體。圖形平移、旋轉(zhuǎn)，可以使得“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”。借助變換為主的圖形教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知過程，培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用變式圖形思考問題的能力。

2.以想象聯(lián)想為主，提升圖形表征的高度。

聯(lián)想和想象是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主渠道，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五下《圓的面積》一課中，教材分別將圓分割為16份和64份，教師可以利用多媒體演示，將剪開后拼成的圖形想象成一個(gè)近似的長方形，利用長方形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式。在學(xué)習(xí)過程中，既可以溝通長方形和圓形的聯(lián)系，也能夠發(fā)揮學(xué)生對(duì)拼接后圖形的想象并滲透極限思想。

（二）巧于構(gòu)造圖形，尋找代數(shù)與幾何的平衡

笛卡爾創(chuàng)造了頗具直觀意義的數(shù)學(xué)工具——直角坐標(biāo)系，歐拉化抽象為直觀的數(shù)學(xué)圖（用點(diǎn)和線畫出網(wǎng)絡(luò)狀圖）解決了哥尼斯堡七橋問題。構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹薪閳D形，將抽象的代數(shù)問題幾何化，問題就會(huì)簡易化。

1.抓住問題的幾何特征，突破解題難點(diǎn)。

日常解題要尋找代數(shù)問題的幾何表征，對(duì)于數(shù)學(xué)思考是有效的，既能實(shí)現(xiàn)問題形式化的表達(dá)，又強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，就可以打開數(shù)學(xué)模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實(shí)現(xiàn)解題突破和解題優(yōu)化。例如，教學(xué)人教版五下“統(tǒng)計(jì)”單元中《打電話》一課時(shí)，出示下題：如果你是老師，有件緊急事情要用打電話的方式通知同學(xué)，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時(shí)間，能使多少人收到通知？

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教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用線段、點(diǎn)等圖形來描述題目信息，從而完成設(shè)計(jì)方案。從上圖中可以清楚地看出：1分鐘通知1個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍。通過構(gòu)造圖，可以把題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡明直觀地呈現(xiàn)出來，并能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣的教學(xué)不僅能解決實(shí)際的問題，還可以借助圖形教會(huì)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

2.數(shù)形有效結(jié)合，提升思維深度。

借助幾何直觀，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的理解，優(yōu)化解題過程。學(xué)生的幾何直觀能力增強(qiáng)了，對(duì)其提高數(shù)學(xué)理解能力有很大的幫助。例如，教學(xué)蘇教版六下《解決問題的策略》一課，計(jì)算“■+■+■+■”。

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解題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出一個(gè)邊長為1的正方形（如上圖），要計(jì)算的結(jié)果正好就是正方形的一部分面積，根據(jù)圖形的引導(dǎo)，學(xué)生很容易就能得出計(jì)算的結(jié)果。計(jì)算題和圖形看似沒有任何關(guān)系，但將分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成圖形表示后，不僅避開了復(fù)雜的運(yùn)算，還提升了學(xué)生思維的深度，將數(shù)與形更好地結(jié)合了起來。

我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，在教學(xué)中，圖形是學(xué)生思維的腳手架。同時(shí)，我們也應(yīng)該注意到，由數(shù)轉(zhuǎn)化成形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。圖形的導(dǎo)學(xué)可以為學(xué)生形成幾何直觀能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而圖形的構(gòu)建從另一個(gè)方面體現(xiàn)了幾何直觀方法的實(shí)際運(yùn)用，兩者的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中得到了完美的呈現(xiàn)。因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該行進(jìn)在“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”的路上，通過適度的“圖導(dǎo)”和巧妙的“圖構(gòu)”，適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮圖形的教學(xué)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學(xué)校第一附屬小學(xué)教育集團(tuán)）

【摘 要】“形”和“數(shù)”是數(shù)學(xué)大廈的基石，“形”又是構(gòu)成幾何的素材?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一，充分體現(xiàn)了幾何直觀的價(jià)值。而幾何直觀的形成需要一個(gè)逐步的過程，尤其在小學(xué)階段應(yīng)該依托圖形的引導(dǎo)和構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

【關(guān)鍵詞】“圖導(dǎo)” “圖構(gòu)” 幾何直觀 新視域

圖形在我們生活中已占有越來越重要的地位。在教學(xué)中，教師應(yīng)該通過對(duì)數(shù)學(xué)圖形的導(dǎo)學(xué)、分析和構(gòu)造，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)使用圖形的意識(shí)和習(xí)慣，從而有效理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

一、“圖導(dǎo)”——打好幾何直觀的基礎(chǔ)

“圖導(dǎo)”就是根據(jù)教材中提供的圖，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)服務(wù)。

（一）強(qiáng)化用圖意識(shí)，建立抽象與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系

表象是幾何直觀思維的基礎(chǔ)元素，學(xué)生大腦中的表象越豐富，越容易抓住問題的本質(zhì)。例如，教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體”單元，其中第34頁的思考題（改編后）：將邊長為3的紅色正方體分割成邊長為1的小正方體。分割后，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個(gè)？可以通過多媒體演示讓學(xué)生直觀感受一面、二面、三面為紅色的正方體分別在原正方體上所處的不同位置，引導(dǎo)學(xué)生分別以正方體的頂點(diǎn)、面、棱長為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類計(jì)數(shù)。通過對(duì)實(shí)物、模型、圖形的觀察、拼擺等活動(dòng)，幫助學(xué)生積累豐富的幾何表象。

（二）善用讀圖能力，實(shí)現(xiàn)表象與言語的轉(zhuǎn)換

幾何直觀要求將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形有機(jī)地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)表象系統(tǒng)與言語系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。例如，蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學(xué)例題（小明家和小芳家分別在學(xué)校的西面和東面。小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，他倆同時(shí)從家里出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過4分鐘兩人在校門口相遇，他們兩家相距多少米？）時(shí)，學(xué)生意識(shí)到題目中的信息紛雜，產(chǎn)生了畫圖或列表的需要。學(xué)生畫出線段圖后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從畫出的圖中分析數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。通過“看”圖“想”事，突出學(xué)生的思維過程；再由圖“說”理，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、“圖構(gòu)”——培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的突破口

幾何直觀可以形象地描述幾何特征或數(shù)學(xué)問題，借助直觀領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，誘發(fā)空間聯(lián)想，從而揭示解題思路。因此，如何構(gòu)建一個(gè)合理并有啟發(fā)性的“圖”顯得非常重要。在教學(xué)中，教師應(yīng)從用“圖”導(dǎo)學(xué)逐步走向引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)“圖”。

（一）關(guān)注運(yùn)動(dòng)想象，貫穿表征與概念的統(tǒng)一

幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何也是整個(gè)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它既是學(xué)生學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的方法。

1.以圖形變換為主，拓展圖像表征的深度。

在教學(xué)中，最基本的圖形是軸對(duì)稱圖形，如圓、正多邊形、長方形、菱形等。在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究不對(duì)稱圖形時(shí)，往往可以運(yùn)用這些軸對(duì)稱圖形。例如，教學(xué)蘇教版六下《圓柱和圓錐》一課時(shí)，練習(xí)中有這樣一道題：

■

矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以形成錐體，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體。圖形平移、旋轉(zhuǎn)，可以使得“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”。借助變換為主的圖形教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知過程，培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用變式圖形思考問題的能力。

2.以想象聯(lián)想為主，提升圖形表征的高度。

聯(lián)想和想象是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主渠道，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五下《圓的面積》一課中，教材分別將圓分割為16份和64份，教師可以利用多媒體演示，將剪開后拼成的圖形想象成一個(gè)近似的長方形，利用長方形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式。在學(xué)習(xí)過程中，既可以溝通長方形和圓形的聯(lián)系，也能夠發(fā)揮學(xué)生對(duì)拼接后圖形的想象并滲透極限思想。

（二）巧于構(gòu)造圖形，尋找代數(shù)與幾何的平衡

笛卡爾創(chuàng)造了頗具直觀意義的數(shù)學(xué)工具——直角坐標(biāo)系，歐拉化抽象為直觀的數(shù)學(xué)圖（用點(diǎn)和線畫出網(wǎng)絡(luò)狀圖）解決了哥尼斯堡七橋問題。構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹薪閳D形，將抽象的代數(shù)問題幾何化，問題就會(huì)簡易化。

1.抓住問題的幾何特征，突破解題難點(diǎn)。

日常解題要尋找代數(shù)問題的幾何表征，對(duì)于數(shù)學(xué)思考是有效的，既能實(shí)現(xiàn)問題形式化的表達(dá)，又強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，就可以打開數(shù)學(xué)模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實(shí)現(xiàn)解題突破和解題優(yōu)化。例如，教學(xué)人教版五下“統(tǒng)計(jì)”單元中《打電話》一課時(shí)，出示下題：如果你是老師，有件緊急事情要用打電話的方式通知同學(xué)，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時(shí)間，能使多少人收到通知？

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教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用線段、點(diǎn)等圖形來描述題目信息，從而完成設(shè)計(jì)方案。從上圖中可以清楚地看出：1分鐘通知1個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍。通過構(gòu)造圖，可以把題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡明直觀地呈現(xiàn)出來，并能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣的教學(xué)不僅能解決實(shí)際的問題，還可以借助圖形教會(huì)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

2.數(shù)形有效結(jié)合，提升思維深度。

借助幾何直觀，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的理解，優(yōu)化解題過程。學(xué)生的幾何直觀能力增強(qiáng)了，對(duì)其提高數(shù)學(xué)理解能力有很大的幫助。例如，教學(xué)蘇教版六下《解決問題的策略》一課，計(jì)算“■+■+■+■”。

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解題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出一個(gè)邊長為1的正方形（如上圖），要計(jì)算的結(jié)果正好就是正方形的一部分面積，根據(jù)圖形的引導(dǎo)，學(xué)生很容易就能得出計(jì)算的結(jié)果。計(jì)算題和圖形看似沒有任何關(guān)系，但將分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成圖形表示后，不僅避開了復(fù)雜的運(yùn)算，還提升了學(xué)生思維的深度，將數(shù)與形更好地結(jié)合了起來。

我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，在教學(xué)中，圖形是學(xué)生思維的腳手架。同時(shí)，我們也應(yīng)該注意到，由數(shù)轉(zhuǎn)化成形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。圖形的導(dǎo)學(xué)可以為學(xué)生形成幾何直觀能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而圖形的構(gòu)建從另一個(gè)方面體現(xiàn)了幾何直觀方法的實(shí)際運(yùn)用，兩者的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中得到了完美的呈現(xiàn)。因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該行進(jìn)在“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”的路上，通過適度的“圖導(dǎo)”和巧妙的“圖構(gòu)”，適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮圖形的教學(xué)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省連云港師范高等?？茖W(xué)校第一附屬小學(xué)教育集團(tuán)）