費勁男

（江蘇省南通市平潮高級中學，南通 226311）

“數(shù)形結(jié)合”是一種基本的數(shù)學方法，也是貫穿整個高中階段的一種重要的思想方法，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀，利用它可使復雜問題變得簡單、抽象問題變得具體，是優(yōu)化解題過程的重要方法之一。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，在代數(shù)與幾何圖形之間進行相互轉(zhuǎn)化，從而拓寬解題思路，提高解題速度與質(zhì)量。熟練運用數(shù)形結(jié)合來解題，可起到事半功倍的效果。

“方程根的個數(shù)”是高三復習的一個重要題型，也是函數(shù)與方程的一個重要應用，一般出現(xiàn)在填空題的后幾題或是解答題中。在解決這類問題時，通常采用將方程的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點，再利用數(shù)形結(jié)合直觀的找到結(jié)果。整個的解題過程中，圖象是最關(guān)鍵的一部分，畫圖是否準確，有沒有忽視考慮圖形的整體性，如等價性原則等，都會導致圖象出錯。如何作出正確的函數(shù)圖象，要注意以下兩個問題：

一、正確確定變量的取值范圍

“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”。數(shù)形結(jié)合就是利用函數(shù)和函數(shù)圖象來解決問題的一種思想方法，對于“根的個數(shù)”是方程問題，所以要解決這類問題首先要將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，這過程就要注意等價性原則，在不改變原先變量范圍的基礎(chǔ)上進行等價變形。

例 1、若方程 l g（x-1）+l g（3-x）=l g（a-x）只有一個根，則 α的取值范圍是＿＿ 。分析：本題是對數(shù)方程求解問題，需將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，此時就要先確定的范圍，再將其變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)。

即轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=a與函數(shù)y=-x2+5 x-3 x∈（1,3）的圖象只有一個交點，如圖所示，在同一坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)圖象，要使兩個函數(shù)圖象只有一個公共點，則α的取值范圍是（1,3］∪｝。

點評：所有的等式變形轉(zhuǎn)化問題，都要先考慮變量的范圍，再進行等價變形，在有范圍約束的條件下，做出正確的函數(shù)圖象，同時注意圖象的端點。

例2、事實證明：總存在正實數(shù)a，b（a

分析：本題是指數(shù)的形式，需等式兩邊同取對數(shù)，將指數(shù)下移，再轉(zhuǎn)換成函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合來解決。

點評：本題利用構(gòu)造函數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象問題，容易出錯的地方：1.不考慮x>e時，函數(shù)值0

二、注意漸近線的應用

有些函數(shù)的定義域是一個區(qū)間中去掉一個或幾個值，那么這些值體現(xiàn)在圖象中很可能就是它的漸近線，比如函數(shù)y=，定義域為（-∞，0）∪（1，+∞），直線x=0就是它的一條漸近線。再比如函數(shù)y=1 n│x-1│定義域為（-∞，0）∪（1，+∞），直線x=1是漸近線。也有些函數(shù)是由一些圖像本身就有漸近線的基本函數(shù)，如y=ex，y=1 n x等，通過平移、翻折等變換得到的，那么，這些函數(shù)也就有漸近線。

分析：本題中提到解的個數(shù)，很顯然利用圖像最直觀。

在同一坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)圖象，

有圖可知，當0≤ae時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，即f（x）=0有兩解。

點評：本題的關(guān)鍵是在等價變形的過程中，1 n x≠0，即x≠1，函數(shù)圖象不可能與直線x=1有交點，所以x=1只能是它的一條漸近線。

分析：本題將方程轉(zhuǎn)化后得到含絕對值的函數(shù)，關(guān)鍵是如何作出其圖像。

點評：本題的漸近線是由函數(shù)y=2x經(jīng)過平移、翻折之后保留下來的。

本文的四個例題都采用了數(shù)形結(jié)合的思想，很直觀的找到所需要的結(jié)果。文中提到的兩個注意點是本人在數(shù)形結(jié)合的教學中學生錯誤率較高的兩個問題，當然還存在著其他的一些，比如由方程的解轉(zhuǎn)化為哪兩個函數(shù)圖象的交點，有參數(shù)的是否一定要分離之后才進行數(shù)形結(jié)合，等等。其實，最關(guān)鍵的是讓學生知道在什么情況下使用數(shù)形結(jié)合的方法，以及如何作出正確的函數(shù)圖像。

從例題中不難發(fā)現(xiàn)，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀、容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程，特別是在解填空題時更能體現(xiàn)出其優(yōu)越性。高中數(shù)學教學過程中，許多抽象性的問題學生往往覺得難以理解，不知該如何去應用解決，遇到問題，望而卻步，如果教師能及時靈活地引導學生進行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀易懂的問題，學生就容易理解，進而解決問題并獲得成功的體驗。學生如果運用數(shù)形結(jié)合思想解決了一些有難度的問題，這對于提高學生學習數(shù)學的積極性并增強其學好數(shù)學的信心有很大的幫助。