王幼蘭

摘 要：數(shù)列問題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能較廣泛，也包含了幾乎所有的數(shù)學(xué)思想.舉例說明方程思想、函數(shù)思想、分類討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等幾種數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)列；應(yīng)用

數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生普遍認(rèn)為是高中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容較難學(xué)的章節(jié)之一，其涉及的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能較廣泛，也包含了幾乎所有的數(shù)學(xué)思想.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解數(shù)列題時(shí)要注意運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法，同時(shí)也要注意運(yùn)用整體的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想等數(shù)學(xué)思想與方法去解題.以下是本人多年教學(xué)的一點(diǎn)體會(huì)，介紹一下常用的幾種數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用.

一、方程思想

等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中共含有五個(gè)量，如果已知其中的任意三個(gè)量，通過解方程（組）可求出其余的兩個(gè)量.

例1.a1=20，an=54，Sn=999，求n與d.

解：∵Sn=■，即■=999，易得n=27

又an=a1+（n-1）d，即20+26d=54，d=■

∴n=27，d=■

此題雖然是一道基礎(chǔ)題，但是卻蘊(yùn)涵著《數(shù)列》這一章基本知識(shí)點(diǎn)考查的基本解題方法——代基本公式，解方程求未知量.

二、函數(shù)思想

等差數(shù)列的求和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以解題時(shí)可借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

例2.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n-7，求前n項(xiàng)和Sn的最小值.

解：易知{an}為等差數(shù)列，∵an=2n-7 ∴a1=-5

Sn=■=■=n2-6n=（n-3）2-9

當(dāng)n=3時(shí)，（Sn）min=-9

運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，用求解二次函數(shù)最值時(shí)常用的方法，往往能讓此類題目解起來較為容易.

三、分類討論思想

等比數(shù)列的求和公式中分母出現(xiàn)了1-q，解題時(shí)要注意分q=1，或q≠1兩種情況進(jìn)行討論.

例3.已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和q.

解：當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1=6符合題意，此時(shí)a3=a1=2

當(dāng)q≠1時(shí)，S3=■=■=6，解得q=-2

故a3=a1q2=2×（-2）2=8

綜上所述，a3=2，q=1或a3=8，q=-2

此題很容易漏掉討論q=1的情況，容易忽略了公式Sn=■是以分母不為零（q≠1）為前提的，如果沒注意需要分情況討論，極有可能出現(xiàn)漏解情況.

四、整體思想

解決數(shù)列問題有時(shí)候要有點(diǎn)整體意識(shí)、總攬全局，避開分別求解所帶來的麻煩及思維的混亂，從而簡化運(yùn)算過程、減少運(yùn)算量.

例4.等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，Sn=390，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù).

解：依題意得a1+a2+a3=34an-2+an-1+an=146

兩式相加得：（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）=180

由等差數(shù)列的性質(zhì)a1+an=a2+an-1=a3+an-2得3（a1+an）=180

∴（a1+an）=60，又Sn=■？圯n=13

此題如果代基本公式求a1，d，n運(yùn)算上會(huì)比較繁瑣，把已知條件整體來考慮，運(yùn)算過程更為簡捷.

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解決函數(shù)問題我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，一些數(shù)列問題如果用數(shù)形結(jié)合的角度去考慮，也會(huì)使問題變得簡捷.

例5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，Sm=Sn（m≠n），求Sm+n.

解：由數(shù)列的性質(zhì)知，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，它可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，令f（x）=Ax2+Bx，依題意有f（m）=f（n），結(jié)合圖像，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=■，又f（0）=0，所以f（m+n）=0，即Sm+n=0.

此題含有的字母較多，不少學(xué)生可能一看就找不著思路，但如果有上面的函數(shù)意識(shí)及數(shù)形結(jié)合的思想，顯然解題也是較簡捷的.

六、轉(zhuǎn)化與化歸思想

所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是利用所學(xué)的知識(shí)去揭示新與舊，繁與簡，抽象與具體，整體與局部等問題間的關(guān)系，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，變未知為已知的探索過程.

例6.已知數(shù)列{an}中，an=2n-7，求a1+a2+…+a15

解：另an=2n-7>0，得n>■，即數(shù)列從第四項(xiàng)a4開始為正數(shù)

a1+a2+…+a15=-a1-a2-a3+a4+…+a15=-S3+（S15-S3）=S15-2S3

∵an=2n-7，a1=-5 ∴Sn=■=n2-6n

a1+a2+…+a15=（152-6×15）-2（32-6×3）=153

此題把絕對(duì)值求和這一未知知識(shí)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和運(yùn)用，體現(xiàn)了變未知為已知的探索過程.

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不光是要會(huì)算，也不只是說要學(xué)會(huì)一些解題方法，更重要的是要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想，用數(shù)學(xué)思想來解決實(shí)際問題.作為教學(xué)者，在教學(xué)中隨時(shí)引導(dǎo)學(xué)生、對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面的培養(yǎng)，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力有及其重要的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]周仁國.數(shù)學(xué)思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn).學(xué)生之友，2009（07）.

[2]任志鴻.高中同步測控：優(yōu)化設(shè)計(jì).人民教育出版社，2004.

（作者單位 福建省南安第一中學(xué)）

？誗編輯 司 楠