郭麗 楊月婷

【摘要】討論了幾何直觀教學(xué)在近世代數(shù)教學(xué)的作用和重要性，從概念的引入、定理的幾何意義及應(yīng)用等方面闡述了加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)的意義，并通過(guò)例子加以說(shuō)明.在群論教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀教學(xué)法不僅有助于利用形象思維理解和運(yùn)用抽象的概念和結(jié)論，同時(shí)也突出了抽象的概念和結(jié)論在處理復(fù)雜幾何圖形時(shí)的作用.由此可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用近世代數(shù)知識(shí)的能力.

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；群；對(duì)稱性變換；群作用

【中圖分類號(hào)】O152.2

近世代數(shù)是研究各種代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)的運(yùn)算性質(zhì)，并用來(lái)解決代數(shù)學(xué)、其他數(shù)學(xué)、其他科學(xué)以及工程技術(shù)中的一些問(wèn)題的學(xué)科.近年來(lái)已廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)、微分方程、現(xiàn)代控制理論等數(shù)學(xué)分支和工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)與社會(huì)科學(xué)等眾多領(lǐng)域.因此，近世代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程.由于該課程具有高度的抽象性和邏輯性且概念多而雜，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往很難理解其中抽象的概念和結(jié)論，有的學(xué)生雖然理論上聽(tīng)懂了，習(xí)題卻做不出來(lái).究其原因，在于學(xué)生對(duì)其中的基本概念和結(jié)論掌握得不夠深刻和準(zhǔn)確.如何使學(xué)生更好地掌握該課程的基礎(chǔ)知識(shí)，領(lǐng)略近世代數(shù)的思想精髓，一直是我們必須面對(duì)的一個(gè)難題.

熟知抽象是數(shù)學(xué)的基本屬性之一，然而“抽象思維如果脫離直觀一般是很有限度的，同樣，如果在抽象中看不出直觀，一般說(shuō)明還沒(méi)有把握住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)”.由此看出，抽象性和直觀性是數(shù)學(xué)的兩個(gè)密不可分的部分.我們從多年的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，幾何直觀仍是領(lǐng)悟近世代數(shù)基本思想的有效方法.在教學(xué)中，利用幾何圖形的直觀性引導(dǎo)學(xué)生理解其中抽象的概念和性質(zhì)，掌握結(jié)論的應(yīng)用等，不僅可以順利地達(dá)到教學(xué)目的，而且可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)近世代數(shù)的畏難情緒，達(dá)到事半功倍的效果.本文將從教學(xué)實(shí)踐的角度闡明近世代數(shù)的群論教學(xué)中加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)的方法和好處.

群論是近世代數(shù)的重要組成部分.群是刻畫(huà)事物對(duì)稱性的工具，它既可以刻畫(huà)圖形的對(duì)稱性，也可以刻畫(huà)多個(gè)變量函數(shù)和物理系統(tǒng)的對(duì)稱性，對(duì)稱與群緊密相連.因此從刻畫(huà)簡(jiǎn)單的幾何圖形的對(duì)稱性引入群的定義并討論其基本性質(zhì)，可以很自然地引導(dǎo)學(xué)生將群論中抽象的概念和相關(guān)結(jié)論與現(xiàn)實(shí)幾何圖形的變換聯(lián)系起來(lái)，對(duì)群論的基本概念看得見(jiàn)，摸得著，在頭腦中留下深刻的印象，從而降低對(duì)概念理解的難度，激發(fā)他們深入學(xué)習(xí)的興趣.

例如刻畫(huà)正多邊形的對(duì)稱性是理解群的定義的典型例子.在求正四多形所有對(duì)稱性變換時(shí)，既用到了人們對(duì)圖形的直觀認(rèn)識(shí)，又用到了群的運(yùn)算性質(zhì)，加深了學(xué)生對(duì)群的概念的

幾何直觀理解，同時(shí)也說(shuō)明運(yùn)用群的定義和性質(zhì)可以解決一些實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中很好地加以利用.另一方面，要想靠觀察幾何圖形的特點(diǎn)給出復(fù)雜圖形的對(duì)稱性群卻遇到困難，因此在教學(xué)中應(yīng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生了解，必須深入學(xué)習(xí)群論的更多知識(shí)，才能讓看起來(lái)難以解決的問(wèn)題迎刃而解.例如，用有限群作用下的軌道長(zhǎng)說(shuō)明正立方體的對(duì)稱性群G.把立方體的六個(gè)面做成集合M，記為M={1，2，3，4，5，6}，其中上、下兩底面分別記為1，3；前、后兩面為2，4；左、右兩側(cè)面為6，5.G中元素把立方體變到自身，因而把它的各個(gè)面仍變到它的面.這說(shuō)明G在M上有群作用，且該群作用是傳遞的.再考慮將立方體繞Ox軸旋轉(zhuǎn)0°，90°，180°，270°就把面1分別變到面1，面2，面3，面4；繞Oy軸轉(zhuǎn)90°，270°就把面1變到面5和面6（以上旋轉(zhuǎn)都按右手旋轉(zhuǎn)）.把這6個(gè)旋轉(zhuǎn)依次記為Ti（i=1，2，…，6）.易知G在面1處的穩(wěn)定化子StabG（1）有8個(gè)元：4個(gè)繞Oz軸的旋轉(zhuǎn)及分別對(duì)于xOz面、AOz面、yOz面及BOz面的鏡面反射.由軌道長(zhǎng)的公式有G=А6[]i=1TiStabG（1）.進(jìn)而知G由48個(gè)元組成的.

實(shí)踐證明，在群論教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀教學(xué)法，不僅有助于利用形象思維理解和運(yùn)用抽象的概念和結(jié)論，而且突出了抽象的理論在處理復(fù)雜幾何圖形時(shí)的作用.兩者相輔相成，使學(xué)生在形象思維與抽象思維的和諧統(tǒng)一中更深刻地掌握群論的內(nèi)涵，同時(shí)也深切地領(lǐng)略到抽象研究的力量，不失為近世代數(shù)教學(xué)的好方法之一.正如法國(guó)數(shù)學(xué)家紹蓋在講演《幾何和直觀在數(shù)學(xué)中的作用》最后所說(shuō)的：“如果你們把幾何這個(gè)詞不僅理解為歐幾里得原本中所出現(xiàn)的意義，并且還把它理解為實(shí)際世界經(jīng)過(guò)運(yùn)用具體直觀后的數(shù)學(xué)化，那么幾何必須在任何水平上貫穿在我們的整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中.”

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